Boltzmannkonstante

Die Boltzmann-Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines Teilchens aus der Temperatur und tritt im Gasgesetz für ideale Gase auf. Sie wurde von Max Planck nach Ludwig Boltzmann benannt. Sie ist nicht mit der Stefan-Boltzmann-Konstante zu verwechseln.

Ihr Wert beträgt nach der aktuellen CODATA-Empfehlung CODATA (2006): Boltzmann constant , NIST.

k = 1,380 650 4(24) · 10⁻²³ J/K.

Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die auf ein Mol bezogene Universelle Gaskonstanten R = N_A · k mittels der Avogadro-Konstante N_A.

Ideales Gasgesetz

Die Boltzmann-Konstante ist eine der möglichen Proportionalitätskonstanten des idealen Gasgesetzes

$p\; V\; =\; N\; \backslash ,\; k\; \backslash ,\; T$.

Bedeutung der Formelzeichen:

• p - Druck
• V - Volumen
• N - Teilchenanzahl
• T - Absolute Temperatur

Die Gasgleichung kann auch bezogen auf Normalbedingungen mit der Temperatur T₀ und dem Druck p₀ mit der Loschmidt-Konstante N_L umformuliert werden zu

$n\; =\; \backslash frac\{N\}\{V\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{k\}\; \backslash frac\{p\}\{T\}\; =\; N\_\backslash mathrm\{L\}\; \backslash left(\backslash frac\{T\_\{0\}\}\{p\_\{0\}\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{p\}\{T\}\backslash right)$.

Die Boltzmannkonstante entspricht dem Quotienten der doppelten mittleren kinetischen Energie eines idealen Gasteilchens in einer Raumdimension und der Temperatur. In 3 Dimensionen gilt für die mittlere kinetische Energie eines (klassischen) punktförmigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht:

$\backslash langle\; E\_\{\backslash rm\; kin\}\backslash rangle\; =\backslash frac\{3\}\{2\}\; k\; T$

Hat das Teilchen f Freiheitsgrade, gilt folgendes:

$\backslash langle\; E\_\{\backslash rm\; kin\}\backslash rangle\; =\backslash frac\{f\}\{2\}\; k\; T$

So hat z.B. ein punktförmiges Teilchen 3 Translationsfreiheitsgrade, ein zweiatomiges Molekül hat zusätzlich 2 Rotationsfreiheitsgrade (durch Rotation entlang der 3. Achse − der Symmetrieachse − kann keine Energie speichern, da das Trägheitsmoment hier vergleichsweise klein ist). Ein Molekül ohne eine solche Symmetrie hat 3 Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt 6. Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungen der Bindungen. So hat z.B. Wasser eine extrem hohe Wärmekapazität durch eine große Zahl solcher Schwingungsfreiheitsgrade.

Rolle der Boltzmannkonstante in der statistischen Physik

Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der Wahrscheinlichkeitsdichte beliebiger Systeme der Statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf: Die thermische Wahrscheinlichkeitsdichte solcher Systeme bei der Thermodynamischen Temperatur $T$ lautet $e^\{-\backslash frac\{H\}\{k\; T\}\}/Z$ mit einer Normierungskonstanten $Z$, wobei $H$ die Energiefunktion bezeichnet, also in der Klassischen Physik die Hamilton-Funktion, in der Quantenphysik den Hamilton-Operator. Die Normierungskonstante $Z$ wird auch Zustandssumme genannt. Der Term $e^\{-\backslash frac\{H\}\{k\; T\}\}$ heißt auch Boltzmann-Faktor.

Rolle der Boltzmannkonstante in der Halbleiterphysik

In Halbleitern besteht eine Abhängigkeit des Stromes durch bzw. der Spannung über einen p-n-Übergang, der mit Hilfe der Temperaturspannung $\backslash phi\_T$ oder $U\_T$ beschrieben werden kann:

$\backslash phi\_T\; =\; U\_T\; =\; \backslash frac\{k\; \backslash ,T\}\{e\}$

Dabei ist $T$ die absolute Temperatur in Kelvin, $k$ die Boltzmannkonstante und $e$ die Elementarladung. Bei Raumtemperatur (T = 300 K) beträgt der Wert der Temperaturspannung ungefähr 25 mV oder 1/40 V. Siehe auch Diode.

Anwendungsbereich:

• Plancksches Strahlungsgesetz
• Maxwell-Boltzmann-Verteilung
• Nernst-Gleichung
• Gibbs-Thomson-Effekt
• Johnson-Rauschen
• Rauschzahl
• Desorption
• Rauschtemperatur
• Heißleiter
• Fugazität
• Dopplertemperatur
• Curie-Konstante
• Debye-Temperatur
• Debye-Länge
• Jeans-Kriterium
• Hawking-Strahlung
• Durchbruchspannung

Siehe auch

• Kinetische Gastheorie
• Physikalische Konstante

Quellen

Weblinks

• CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants beim NIST