Eichtransformation

Der Begriff Eichtransformation bezeichnet das Umeichen einer bestimmten Größe durch das Addieren bzw. Subtrahieren von sog. Eichtermen (bzw. in der Quantenmechanik auch durch Multiplikation mit solchen Termen). Dies muss allerdings unter der Bedingung geschehen, dass die physikalischen Gesetze durch die Umeichung nicht beeinträchtigt werden. Mathematisch hat man es mit sog. Eichtheorien zu tun.

Beispiel:

In der Elektrodynamik gelten in sog. Gaußschen Maßsystemen die folgenden Eichtransformationen für das Vektorpotential und das skalare Potential:

$\backslash vec\; A\text{'}(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; \backslash vec\; A(\backslash vec\; r,\; t)\; -\; \backslash nabla\; \backslash psi(\backslash vec\; r,\; t)$

$\backslash phi\text{'}(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; \backslash phi(\backslash vec\; r,\; t)\; +\; \backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash psi(\backslash vec\; r,\; t)$

Im sog. Internationalen Maßsystem gelten dieselben Beziehungen mit c -> 1.

Die Gleichungen, die das elektrische und das magnetische Feld unter Verwendung dieser Potentiale definieren, liefern nach Einsetzen der transformierten Potentiale dasselbe Ergebnis wie zuvor. Für das Magnetfeld erhält man

$\backslash vec\; B\text{'}(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; rot(\backslash vec\; A\text{'}(\backslash vec\; r,\; t))\; =\; rot(\backslash vec\; A(\backslash vec\; r,\; t))\; -\; rot(\backslash nabla\; \backslash psi(\backslash vec\; r,\; t))$

Es gilt

$rot(\backslash nabla\; \backslash psi)\; =\; \backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash partial\_j\backslash partial\_k\backslash psi\; =\; 0$,

da der vollkommen antisymmetrische Levi-Civita-Tensor $\backslash varepsilon\_\{ijk\}$ mit dem vollkommen symmetrischen Tensor $\backslash partial\_j\backslash partial\_k$ überschoben wird. Folglich ergibt sich

$\backslash vec\; B\text{'}(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; rot(\backslash vec\; A(\backslash vec\; r,\; t))\; =\; \backslash vec\; B(\backslash vec\; r,\; t)$.

Für das elektrische Feld gilt

$\backslash vec\; E\text{'}(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; -\backslash nabla\; \backslash phi\text{'}(\backslash vec\; r,\; t)\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash vec\; A\text{'}(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; -\backslash nabla\; \backslash phi(\backslash vec\; r,\; t)\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\backslash nabla\backslash psi(\backslash vec\; r,\; t)\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; (\backslash vec\; A(\backslash vec\; r,\; t)\; -\; \backslash nabla\backslash psi)$

$=-\backslash nabla\; \backslash phi(\backslash vec\; r,\; t)\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash vec\; A(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; \backslash vec\; E(\backslash vec\; r,t)$