Elektrischer Widerstand

Der elektrische Widerstand ist in der Elektrotechnik ein Maß dafür, welche elektrische Spannung erforderlich ist, um einen bestimmten elektrischen Strom durch einen elektrischen Leiter fließen zu lassen. Der elektrische Widerstand ist im Allgemeinen temperaturabhängig.

Als Formelzeichen für den elektrischen Widerstand wird in der Regel R –  wahrscheinlich abgeleitet vom Lateinischen resistere für „widerstehen“ (evtl. auch von den französischen oder englischen Entsprechungen, genaue Herkunft unbekannt) verwendet. Der Widerstand hat die SI-Einheit Ohm, sein Einheitenzeichen ist das große Omega ($\backslash Omega$).

Verwandt mit dem Widerstand ist der spezifische elektrische Widerstand (Formelzeichen $\backslash rho$). Bei diesem Wert handelt es sich um eine Materialkonstante, die eine von der geometrischen Form des ausgeführten Leiters unabhängige Beschreibung der Widerstandseigenschaft ermöglicht.

Geschichte

Die elektrische Ladung war seit Coulomb bekannt, die elektrische Spannung seit Volta und die Wirkung des elektrischen Stromes seit Ampère. Ohm kannte die Kraftwirkung der elektrischen Spannung, deshalb konnte er Spannungen durch Kraftmessungen bestimmen. Die Stärke von Strömen konnte er anhand chemischer Prozesse quantitativ bestimmen. Man wusste, dass elektrische Ströme etwas mit der Bewegung der coulombschen Ladungen zu tun haben. Die gesetzmäßigen Zusammenhänge zwischen Spannung und Stromstärke waren unbekannt.

Erste Versuche ließen keine klaren Gesetzmäßigkeiten erkennen. Erst als Ohm begann, einen langen und sehr dünnen stromdurchflossenen Draht auf konstanter Temperatur zu halten, erkannte er die strenge Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke:

$U\; \backslash sim\; I$

Diese Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke wird durch das von ihm formulierte und nach ihm benannte ohmsche Gesetz beschrieben:

$U\; =\; R\; \backslash cdot\; I$

Der von U und I unabhängige Proportionalitätsfaktor R ist der elektrische Widerstand. Dieses sehr simpel erscheinende Gesetz wurde zu einer Zeit gefunden, als es noch keine „richtigen“ Spannungsquellen gab, geschweige denn Spannungs- oder Strommesser. Zudem waren die Messungen von anderen physikalischen Effekten überlagert. Auch waren die Begriffe Spannung, Stromstärke und Widerstand noch nicht allgemein etabliert. Erst vor diesem Hintergrund kann man seine wissenschaftliche Leistung würdigen.

Ohm war aber in Deutschland kein angesehener Wissenschaftler, Professuren wurden ihm zunächst verweigert. Das änderte sich erst, als ihm zahlreiche Würdigungen aus dem Ausland zuteil wurden.

Ohmscher Widerstand

Ein ohmscher Widerstand ist ein spezieller elektrischer Widerstand, der unabhängig von der Spannung, der Stromstärke und der Frequenz ist. Daher gilt an einem ohmschen Widerstand das ohmsche Gesetz für beliebige Spannungen, Ströme und Frequenzen. Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement − im einfachsten Fall ein Metalldraht − realisiert werden, das üblicherweise auch einfach Widerstand genannt wird.

Gleichstromwiderstand

In Gleichstromkreisen gilt für viele wichtige Leiter (z. B. Metalldrähte, Elektrolytlösungen) das ohmsche Gesetz, das heißt die Stromstärke $I$ ist proportional zur angelegten Spannung $U$. Der Proportionalitätsfaktor heißt elektrischer Leitwert $G$ des Leiters. Er ist der Kehrwert des elektrischen Widerstands $R$.

Es gilt:

$G\; =\; \backslash frac\{1\}\{R\}$ und $R=\backslash frac\{U\}\{I\}$

$U$ = elektrische Spannung

$I$ = elektrische Stromstärke

Die Konstante $R$ wird als Gleichstromwiderstand bezeichnet.

Berechnung des Widerstands eines Leiters

Der elektrische Widerstand eines Körpers lässt sich über seine geometrischen Abmessungen und eine materialspezifische Konstante, den spezifischen Widerstand $\backslash rho$, berechnen.

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche A und der Länge l gilt:

$R\; =\; \backslash rho\; \backslash cdot\; \backslash frac\{l\}\{A\}$

Die Querschnittsfläche $A$ berechnet sich für runde Drähte mit dem Durchmesser $d$ nach der Formel:

$A\; =\; d^2\backslash cdot\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; =\; r^2\backslash cdot\backslash pi$

Bei der Berechnung sollte aber beachtet werden, dass der spezifische Widerstand von der Temperatur abhängig ist.

Temperaturabhängigkeit

Beispiele für spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient bei 20 °C

Material	ρ20 in (Ω·mm²)/m	α20 in 1/K
Silber	1,587 · 10-2	3,8 · 10-3
Kupfer	1,678 · 10-2	3,9 · 10-3
Silizium	2,3 . 109	-7,5 · 10-2

Der elektrische Widerstand eines Leiters ist im Wesentlichen von seiner Temperatur und der Frequenz der Spannung abhängig.

Die Frequenzabhängigkeit kann man leicht umgehen, wenn man Gleichstrom verwendet. Dafür wird auch der Begriff Gleichstromwiderstand verwendet. Wie oben beschrieben, berechnet sich der Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters durch:

$$

R_{20}=\rho_{20} \cdot \frac{l}{A}

Dieses gilt aber nur für die Temperatur, für die der angegebene spezifische Widerstand gilt. Wenn nicht anders angegeben, gilt dieses für eine Ausgangstemperatur von 20 °C. Darauf weist auch die 20 im Index von R hin.

Grundsätzlich ist aber der Widerstand temperaturabhängig. Dieses gilt für alle Materialien.

Dieses Verhalten ist materialabhängig und wird mit dem Linear-Temperaturkoeffizienten α und der Bestimmung des Temperaturunterschieds ($\backslash Delta\; T\; =\; T\; -\; T\_0$) berechenbar. Im allgemeinen beschreibt man diese Änderung durch eine Linearisierung

$R(T)\; =\; R(T\_0)(1\; +\; \backslash alpha\_\{T\_0\}\; \backslash cdot\; (T-T\_0))$

bei

$T\_0\; =\; 20\backslash ,^\{\backslash circ\}\backslash mathrm\{C\}.$

Für die meisten Materialien und Anwendungen mit nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus, da die Temperaturkoeffizienten höherer Ordnungen dann vernachlässigbar klein sind.

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen Kaltleitern oder PTC (Widerstandswert steigt, prinzipiell bei allen Metallen; PTC: positive temperature coefficient) und Heißleitern oder NTC (Widerstandswert sinkt; NTC: negative temperature coefficient).

In der Technik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes ausgenutzt, zum Beispiel beim Thermostaten und Widerstandsthermometer (Beispiel: Thermometer mit Pt100-Fühlern) oder bei Thermo-Anemometern (Windmessgeräten).

Es gibt auch verschiedene spezielle Metall-Legierungen, die sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen, → Messwiderstand.

Wechselstromwiderstand

An einem beliebigen linearen passiven Zweipol fällt nach einer häufig vernachlässigbaren Einschwingzeit eine sinusförmige Spannung ab, wenn er von einem sinusförmigen Strom durchflossen wird. Strom und Spannung sind dabei im allgemeinen in der Phase verschoben. Der Quotient aus den Amplituden oder Effektivwerten von Spannung und Strom wird als Scheinwiderstand Z bezeichnet. In der komplexen Wechselstromrechnung wird der Scheinwiderstand mit dem Phasenverschiebungswinkel φ zu dem komplexen Widerstandsoperator oder der Impedanz zusammengefasst. Durch Zerlegung in rechtwinklige Komponenten ergeben sich der Wirkwiderstand R und der Blindwiderstand X, der durch Kapazitäten beziehungsweise Induktivitäten verursacht wird. Der Wirkwiderstand wird manchmal auch als ohmscher Anteil der Impedanz bezeichnet, wobei aber zu beachten ist, dass der Wirkwiderstand als Realteil einer komplexen Impedanz frequenzabhängig sein kann, während ein ohmscher Widerstand definitionsgemäß nicht frequenzabhängig ist.

$\{\backslash underline\; \{Z\}\}\; =\; \backslash frac\}\; \}=\; \backslash frac\; \{u\_\{\backslash rm\; max\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash mathrm\{j\}(\backslash omega\; t\; +\; \backslash varphi\_u)\}\}\{i\_\{\backslash rm\; max\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash mathrm\{j\}(\backslash omega\; t\; +\; \backslash varphi\_i)\}\; \}\; =\; Z\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash mathrm\{j\}(\backslash varphi\_u\; -\; \backslash varphi\_i)\}\; =\; Z\; \backslash cdot\; [\backslash cos\; (\backslash varphi\_u\; -\; \backslash varphi\_i)\; +\; \backslash mathrm\{j\}\; \backslash sin\; (\backslash varphi\_u\; -\; \backslash varphi\_i)]$

$\backslash varphi\_u\; -\; \backslash varphi\_i\; =\; \backslash varphi\_z$

durch Zerlegung in rechtwinklige Komponente (siehe hier)

$\backslash operatorname\; \{Im\}\; (\{\backslash underline\; \{Z\}\})\; =\; Z\; \backslash cdot\; \backslash sin\; (\backslash varphi\_z)\; =\; X$ (Blindwiderstand)

$\backslash operatorname\; \{Re\}\; (\{\backslash underline\; \{Z\}\})\; =\; Z\; \backslash cdot\; \backslash cos\; (\backslash varphi\_z)\; =\; R$ (Wirkwiderstand)

folgt für die Impedanz:

$\{\backslash underline\; \{Z\}\}\; =\; R\; +\; \backslash mathrm\{j\}X\; =\; \backslash sqrt\; \{R^2\; +\; X^2\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash mathrm\{j\}\; \backslash cdot\; \backslash arctan\; (\backslash frac\; XR)\}$

Es ergibt sich der Scheinwiderstand:

$Z\; =\; \backslash sqrt\{R^2\; +\; X^2\}\; =\; \backslash frac\; \{u\_\{\backslash rm\; max\}\}\{i\_\{\backslash rm\; max\}\}=\; \backslash frac\; \{u\_\{\backslash rm\; eff\}\}\{i\_\{\backslash rm\; eff\}\}\; =\; \backslash frac$ >