F-Verteilung

Die F-Verteilung oder Fisher-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilungn einer stetigen Zufallsvariable. Sie wird nur zum Testen verwendet, etwa bei der Varianzanalyse, um festzustellen, ob die Grundgesamtheitnen zweier Stichprobe die gleiche Varianz haben. Die F-Verteilung ergibt sich als Quotient zweier Chi-Quadrat-Verteilter Zufallsvariablen. Sie besitzt als Parameter zwei unabhängige Freiheitsgrade und bildet so eine eigene zwei-Parameter-Verteilungsfamilie.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung $F(m,n)$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x|m,n)\; =\; m^\{\backslash frac\{m\}\{2\}\}\; n^\{\backslash frac\{n\}\{2\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; (\backslash frac\{m\}\{2\}+\backslash frac\{n\}\{2\})\}\{\backslash Gamma\; (\backslash frac\{m\}\{2\})\; \backslash Gamma\; (\backslash frac\{n\}\{2\})\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{x^\{\backslash frac\{m\}\{2\}-1\}\}\{(mx+n)^\backslash frac\{m+n\}\{2\}\}$

besitzt. Dabei ist mit $\backslash Gamma(x)$ die Gammafunktion an der Stelle x bezeichnet.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist nur für $n>2$ definiert und lautet dann

$\backslash operatorname\{E\}(X)\; =\; \backslash frac\{n\}\{n-2\}$.

Varianz

Die Varianz ist nur für $n>4$ definiert und lautet dann

$\backslash operatorname\{Var\}(X)\; =\; \backslash frac\{2\; n^2\; (m+n-2)\}\{m\; (n-2)^2\; (n-4)\}$.

Verteilungsfunktion

Da die Werte der Verteilung $P(X\; \backslash leq\; a)\; =\; F(a|n;m)$ nicht analytisch bestimmt werden können, müssen sie numerisch ermittelt werden. Man wird sie deshalb meistens einer entnehmen. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i.a. nicht notwendig, so dass die meisten Verteilungstabellen die Quantil bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:

$F(p;m;n)\; =\; \backslash frac\{1\}\{F(1-p;n;m)\}\; \backslash ;,$

wobei $F(p;m;n)$ das $p$-Quantil der F-Verteilung mit $m$ und $n$ Freiheitsgraden bedeutet.

Maximum

Für $m>2$ nimmt $f$ an der Stelle

$x\_\{\backslash mathrm\{max\}\}=\backslash frac\{n(m-2)\}\{m(n+2)\}$

das Maximum an.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Beta-Verteilung

Die Beta-Verteilung mit $p=n/2$, $q=m/2$ für ganzzahlige $n$ und $m$ geht in die F-Verteilung über.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Aus den $\backslash chi\_n^2$ und $\backslash chi\_m^2$ Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit $n$ bzw. $m$ Freiheitsgraden lässt sich

$F(m,n)=\backslash frac\{\backslash frac\{\backslash chi\_m^2\}\{m\}\}\{\backslash frac\{\backslash chi\_n^2\}\{n\}\}$

konstruieren. Dieser Ausdruck ist F-verteilt mit $m$ und $n$ Freiheitsgraden.

Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung

Für unabhängige Zufallsvariablen $X\backslash sim\backslash chi^2(\backslash delta,\; m)$ und $Y\backslash sim\backslash chi^2(n)$ ist

$Z\; =\; \backslash frac\{\backslash ;\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{X\}\}\{m\}\; \backslash ;\}\{\backslash frac\{\backslash mathrm\{Y\}\}\{n\}\}$

verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung $Z\backslash sim\; F(\backslash delta,m,n)$ mit nichtzentralitäts-Parameter $\backslash delta$. Dabei ist $\backslash chi^2(\backslash delta,m)$ eine Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit nichtzentralitäts-Parameter $\backslash delta$ und $m$ Freiheitsgraden. Für $\backslash delta=0$ ergibt sich die zentrale F-Verteilung $F(m,n)$.

Beziehung zur Normalverteilung

Wenn die identischen normalverteilten Zufallsvariablen $X\_1^\{(1)\},\; X\_2^\{(1)\},\; \backslash dots\; ,\; X\_n^\{(1)\}$ und $X\_1^\{(2)\},\; X\_2^\{(2)\},\; \backslash dots\; ,\; X\_n^\{(2)\}$ die Parameter

$\backslash operatorname\{E\}(X\_\{i\}^\{(1)\})=\backslash mu\_\{1\},\; \backslash sqrt\{\backslash operatorname\{Var\}(X\_\{i\}^\{(1)\})\}=\backslash sigma\_\{1\}$

$\backslash operatorname\{E\}(X\_\{i\}^\{(2)\})=\backslash mu\_\{2\},\; \backslash sqrt\{\backslash operatorname\{Var\}(X\_\{i\}^\{(2)\})\}=\backslash sigma\_\{2\}$

mit $\backslash sigma\_\{1\}=\backslash sigma\_\{2\}=\backslash sigma$ besitzen, dann unterliegt die Zufallsvariable

$Y\_\{n\_\{1\}-1,n\_\{2\}-1\}:=\backslash frac\{(n\_\{2\}-1)\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^\{n\_\{1\}\}(X\_\{i\}^\{(1)\}-\backslash bar^\{(1)\})^\{2\}\}$

                             {(n_{1}-1)\sum\limits_{j=1}^{n_{2}}(X_{i}^{(2)}-\bar^{(2)})^{2}}

einer F-Verteilung mit $((n\_\{1\}-1,n\_\{2\}-1))$ Freiheitsgraden. Dabei sind

$\backslash bar\{X\}^\{(1)\}=\backslash frac\{1\}\{n\_\{1\}\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\_\{1\}\}X\_\{i\}^\{(1)\}\backslash quad$

\bar{X}^{(2)}=\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}X_{i}^{(2)}.

Literatur

Hartung, Joachim / Elpelt, Bärbel / Klösener, Karl-Heinz: Statistik, 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 156 ff., ISBN 3486249843.

Weblinks

Statistischer Internetrechner: http://psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/268/html/surfstat/fvert.htm