Fehlerfortpflanzung

Bei vielen Messaufgaben ist eine Größe nicht direkt messbar, sondern sie ist aus mehreren messbaren Größen nach einer festgelegten mathematischen Beziehung zu bestimmen. Da jeder Messwert der einzelnen Größen von seinem richtigen Wert abweicht, wird auch das Ergebnis der Rechnung von seinem richtigen Wert abweichen. Die Einzelfehler werden mit der Formel übertragen. Man nennt dieses Fehlerfortpflanzung. Für die Fehlerfortpflanzung existieren Rechenregeln, mit denen die Abweichung des Ergebnisses bestimmt oder abgeschätzt werden kann.

Aufgabe

• Häufig will man ein Ergebnis $y$ aus einer Größe $x$ oder im allgemeinen Fall aus mehreren Größen $x\_1$ , $x\_2$ , $\backslash cdots$ berechnen. Mit fehlerbehafteter Bestimmung der Eingangsgröße(n) wird auch die Ausgangsgröße falsch berechnet. Nach groben Fehlern muss man neu rechnen. Sonst ist es eher angebracht, nur die Auswirkung des Fehlers bzw. der Fehler auf das Ergebnis zu bestimmen.
• Mathematisch gesagt: Hat man eine Funktion $y=\; y(x\_1\; \backslash ,,\backslash \; x\_2\; \backslash ,,\backslash \; \backslash cdots\backslash \; )$ mit mehreren unabhängigen Variablen $x\_i$ , die um ein kleines $\backslash Delta\; x\_i$ falsch sind, so wird auch das Ergebnis $y$ falsch um ein kleines $\backslash Delta\; y$. Dieses $\backslash Delta\; y$ sollte man berechnen können.
• Messtechnisch gesagt: Hat man ein Messergebnis aus Messwerten verschiedener Größen auszurechnen, wobei diese Messwerte von ihren richtigen Werten abweichen, so wird man ein Ergebnis berechnen, das entsprechend auch vom richtigen Ergebnis abweicht. Die Größe der Abweichung im Messergebnis sollte man abschätzen können.

Möglichkeiten - Einschränkungen

Systematische Fehler

Systematische Fehler sind im Prinzip bestimmbar, sie haben einen Betrag und ein Vorzeichen.

Beispiel: Man will die in einem Verbraucher umgesetzte elektrische Leistung berechnen und dazu den Strom durch den Verbraucher messen. Dazu schaltet man einen Strommesser in die Leitung. An dem Messgerät fällt aber eine Spannung ab; dadurch wird die Spannung am Verbraucher kleiner als die Speisespannung; dadurch wird bei einem ohmschen Verbraucher der Strom auch kleiner; man misst etwas zu wenig (negativer Fehler, der sich bei bekannter Speisespannung und bei bekanntem Messgeräte-Innenwiderstand ausrechnen lässt). Die aus Speisespannung und gemessenem Strom berechnete Leistung, wird damit auch zu niedrig angegeben.

Bei systematischen Fehlern der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln der systematische Fehler der Ausgangsgröße berechnen.

Messgerätefehler

Ferner kann man nicht davon ausgehen, dass die vom Messgerät erfasste Größe richtig angezeigt wird. In seltenen Fällen kennt man anhand einer Fehlerkurve zu dem Messwert den zugehörigen systematischen Fehler. Im Allgemeinen kennt man von einem Messgerätefehler nur dessen Grenzwert, die Fehlergrenze.

Beispiel: Kann man den Strom im obigen Beispiel nur mit einer Fehlergrenze von 4 % bestimmen, kann die Fehlergrenze der Leistung nicht niedriger sein.

Bei Fehlergrenzen der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln die Fehlergrenze der Ausgangsgröße berechnen.

Zufällige Fehler

Soweit bisher behandelt, hat man mehrere Eingangsgrößen (unabhängige Variable, Messgrößen) und davon jeweils nur einen Wert. Anders ist es bei zufälligen Fehlern, die man erkennt, wenn von einer Eingangsgröße mehrere Werte vorliegen – gewonnen durch wiederholte Bestimmung (Messung) unter konstanten Bedingungen. Die Abschätzung zufälliger Fehler führt auf eine Komponente der Messunsicherheit. Ihre Bestimmung ist ein Ziel der Fehlerrechnung.

Bei Unsicherheiten der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln die Unsicherheit der Ausgangsgröße berechnen.

Bei Messgerätefehlern kann man gemäß DIN 1319 davon ausgehen, dass der Betrag des zufälligen Fehlers wesentlich kleiner ist als die Fehlergrenze (anderenfalls ist auch der zufällige Fehler bei der Festlegung der Fehlergrenze zu berücksichtigen). Bei voneinander unabhängigen Messwerten, deren Qualität von den Fehlergrenzen der Messgeräte bestimmt wird, ist die Untersuchung zufälliger Fehler dann aber nicht sinnvoll.

Fehler des mathematischen Modells

Die zu berechnende Größe muss durch die Formel korrekt beschrieben werden. Um leicht rechnen zu können, oder mangels vollständiger Kenntnis weicht man aber oft auf Näherungen aus.

Beispiel: Die Speisespannung im obigen Beispiel wird als bekannt angenommen, wie das bei Bezug aus einer Konstantspannungsquelle zulässig ist. Falls die Quelle aber belastungsabhängig ist, ist ihre Kenngröße Leerlaufspannung nicht mehr die Speisespannung; es entsteht ein weiterer Fehler.

Ein Fehler der Ausgangsgröße aufgrund fehlerhafter mathematischer Beschreibung des Zusammenhangs mit den Eingangsgrößen lässt sich mit Fehlerfortpflanzungs-Regeln nicht berechnen.

Regeln zur Fehlerfortpflanzung

Fehler

Eine fehlerbehaftete Größe

Der Einfluss einer fehlerbehafteten Eingangsgröße $x$ auf das Ergebnis $y$ kann mittels der Taylorreihe abgeschätzt werden:

$y\; =\; y(x)\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; y(x+\; \backslash Delta\; x)=\; y(x)\; +\; \backslash frac\{1\}\{1!\}\backslash \; \backslash frac\{d\; y(x)\}\{d\; x\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\; +\; \backslash frac\{1\}\{2!\}\backslash \; \backslash frac\{d^2\; y(x)\}\{d\; x^2\}\backslash cdot\; (\backslash Delta\; x)^2\; +\; \backslash cdots\backslash$ .

Bei genügend kleinem $|\backslash Delta\; x|$ kann man die Reihenentwicklung nach dem linearen Glied abbrechen, und man erhält dann die Näherungslösung

$y(x+\; \backslash Delta\; x)-\; y(x)\; =\; \backslash Delta\; y\; =\; \backslash frac\{d\; y\}\{d\; x\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\; \backslash ;\; .$

Dieses liefert eine Regel zur Fehlerfortpflanzung, wenn man die $\backslash Delta$-Werte als absolute Fehler ansieht.

• Anwendung bei Proportionalität

$y\; =\; c\; \backslash cdot\; x\; \backslash quad\; \backslash \; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash Delta\; y=c\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\; \backslash quad\; ;\; \backslash quad\; \backslash frac\{\backslash Delta\; y\}\{y\}\; =\; \backslash frac\{\backslash Delta\; x\}\{x\}$

Für die Ausgangsgröße $y$ enthält deren absoluter Fehler $\backslash Delta\; y$ die spezielle Proportionalitätskonstante $c$. Besser rechnet man mit dem relativen Fehler $\backslash Delta\; y/y$, der unabhängig von $c$ ist und stets genauso groß wie der relative Fehler $\backslash Delta\; x/x$ der Eingangsgröße $x$.

• Anwendung bei umgekehrter Proportionalität (Kehrwertbildung)

$y\; =\; \backslash frac\{c\}\{x\}\; \backslash quad\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash frac\{\backslash Delta\; y\}\{y\}\; =\; -\backslash ;\backslash frac\{\backslash Delta\; x\}\{x\}$

Die Ausgangsgröße hat denselben Betrag des relativen Fehlers wie die Eingangsgröße, aber entgegengesetztes Vorzeichen.

Mehrere fehlerbehaftete Größen

Bei mehreren voneinander unabhängigen Eingangsgrößen verwendet man den entsprechenden mathematischen Ansatz mit der Reihenentwicklung bis zum linearen Glied als Näherungslösung für kleine $\backslash left|\backslash Delta\; x\_i\backslash right|$:

$y\; =\; y(x\_1\backslash ,,\backslash \; x\_2\backslash ,,\backslash \; \backslash dots\; \backslash \; )\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash Delta\; y\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_1\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\_1\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_2\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\_2\; +\backslash cdots\; \backslash$

$\backslash Delta\; y\backslash$ : Gesamtfehler $F\_y$ des Ergebnisses $y$

$\backslash Delta\; x\_i\backslash$ : Fehler $F\_i$ der Eingangsgröße $x\_i$

$\backslash frac\{\backslash Delta\; x\_i\}\{x\_i\}$: relativer Fehler $f\_i$ der Eingangsgröße $x\_i$

$\backslash frac\{\backslash Delta\; y\}\{y\}$ : relativer Fehler $f\_y$ des Ergebnisses $y$

Die allgemeine Lösung vereinfacht sich für die vier Grundrechenarten:

* Bei Addition	$y=x\_1\; +x\_2\; \backslash quad\; \backslash quad\; F\_y\; =\; F\_1\; +F\_2$
* Bei Subtraktion	$y=x\_1\; -x\_2\; \backslash quad\; \backslash quad\; F\_y\; =\; F\_1\; -F\_2$
* Bei Multiplikation	$y=x\_1\; \backslash cdot\; x\_2\; \backslash quad\; \backslash quad\; \backslash \; \backslash \; f\_y\; =\; f\_1\; +f\_2$
* Bei Division	$y=x\_1:x\_2\; \backslash quad\; \backslash quad\; \backslash \; \backslash \; f\_y\; =\; f\_1\; -f\_2$

Die Fehler können sich ergänzen oder mehr oder weniger aufheben.

Beispiel: Wenn $x\_1$ um 2 % zu groß und $x\_2$ um 3 % zu groß sind:

Dann wird bei der Multiplikation $y$ um 5 % zu groß.

Dann wird bei der Division $y$ um 1 % zu klein.

Zur Verdeutlichung eine Primitiv-Anwendung: Wer $\backslash textstyle\; \backslash frac\{1,00\}\{1,00\}$ ausrechnen will, aber im Zähler eine um 2 % zu große Zahl einsetzt und im Nenner eine um 3 % zu große Zahl, berechnet $\backslash textstyle\; \backslash frac\{1,02\}\{1,03\}$ und erhält 0,99. Dieses Ergebnis weicht vom richtigen Wert 1,00 ab um - 1 %. Diese Feststellung zum Fehler kann man mit der Formel $f\_y\; =\; 2\%-3\%$ einfacher bekommen. Und das Minus-Zeichen vor $f\_2$ ist offensichtlich richtig!

Fehlergrenzen

Kennt man nicht die Fehler selber, sondern nur ihre Grenzen, so lässt sich derselbe mathematische Ansatz verwenden, wenn man die $\backslash Delta$-Werte als Fehlergrenzen ansieht. Diese sind vorzeichenlos bzw. als Betrag definiert. Für das Ergebnis lässt sich so auch nur die Fehlergrenze ausrechnen; dazu muss man mit der ungünstigsten Vorzeichenkombination rechnen und Beträge addieren.

$\backslash Delta\; y\; =\; \backslash left|\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_1\}\; \backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\_1+\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_2\}\; \backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; \backslash$

$\backslash Delta\; y\backslash$ : Gesamtfehlergrenze $G\_y$ des Ergebnisses $y$

$\backslash Delta\; x\_i\backslash$ : Fehlergrenze $G\_i$ der Eingangsgröße $x\_i$

$\backslash frac\{\backslash Delta\; x\_i\}\{\backslash left|x\_i\; \backslash right|\}$: relative Fehlergrenze $g\_i$ der Eingangsgröße $x\_i$

$\backslash frac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash left|y\backslash right|\}$ : relative Fehlergrenze $g\_y$ des Ergebnisses $y$

Die allgemeine Lösung vereinfacht sich bei den vier Grundrechenarten:

* Bei Addition und Subtraktion	$G\_y\; =\; G\_1\; +G\_2\backslash$
* Bei Multiplikation und Division	$g\_y\backslash \; =g\_1\; +g\_2$

Beispiel: Wenn $x\_1$ um bis 2 % zu groß oder zu klein und $x\_2$ um bis 3 % zu groß oder zu klein sein können:

Dann kann bei der Multiplikation wie bei der Division $y$ um bis 5 % zu groß oder zu klein sein.

Messunsicherheiten

Eine fehlerbehaftete Größe

Hat man von der Größe $x$ mehrere mit zufälligen Fehlern behaftete Werte $v\_j\; \backslash$ mit $j=1\; ...\; N$, so bekommt man nach den Regeln der Fehlerrechnung gegenüber dem Einzelwert zu einer verbesserten Aussage durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes $\backslash bar\; v$:

$\backslash bar\{v\}=\backslash frac\{1\}\{N\}\; \backslash sum\_\{j=1\}^N\{v\_j\}$

Die Unsicherheit $u$, mit der sich der Mittelwert berechnen lässt, ist gegeben durch:

$u\; =\; \backslash sqrt\; \{\backslash frac\{1\}\{N(N-1)\}\; \backslash sum\_\{j=1\}^N\{(v\_j-\backslash bar\{v\})^2\}\}$

Ohne systematische Fehler strebt der Mittelwert für große $N$ gegen den richtigen Wert. Anschaulich sind hier näherungsweise die quadrierten zufälligen Fehler addiert worden.

Verwendet man in einer Rechnung zur Fehlerfortpflanzung als Eingangsgröße $x$ den Mittelwert $\backslash bar\; v$ , so wirkt sich dessen Unsicherheit $u$ oder $u\_x$ auf die Unsicherheit $u\_y$ des Ergebnisses $y$ aus. Bei genügend kleinem $u\_x$ kann dieser Wert für die Fehlerfortpflanzung als $\backslash Delta\; x$ in die lineare Näherung der Taylorreihe eingesetzt werden. Dabei muss man beachten, dass Unsicherheiten als Beträge definiert sind.

$\backslash Delta\; y\; =\; \backslash frac\{dy\}\{dx\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash Rightarrow\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; u\_y\; =\backslash left|\; \backslash frac\{dy\}\{dx\}\; \backslash right|\; \backslash cdot\; u\_x$

Mehrere fehlerbehaftete Größen

Voneinander unabhängige fehlerbehaftete Größen

Bei mehreren voneinander unabhängigen Eingangsgrößen $x\_1\; \backslash ,,\backslash \; x\_2\; \backslash ,,\backslash \; \backslash cdots\backslash$ seien die Mittelwerte jeweils mit einer Unsicherheit $u\_1\; \backslash ,,\backslash \; u\_2\; \backslash ,,\backslash \; \backslash cdots\backslash$ bestimmt worden. Das Ergebnis $y$ wird aus den Mittelwerten berechnet. Zur Berechnung seiner Unsicherheit $u\_y$ beginnt man wieder mit der linearen Näherung bei mehreren unabhängigen Variablen; allerdings muss man – wie bei der Berechnung der Unsicherheit – die quadrierten Beiträge der Einzel-Unsicherheiten addieren.

$\backslash Delta\; y\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_1\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\_1\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_2\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\_2\; +\backslash cdots\; \backslash \; \backslash Rightarrow\; \backslash \; \{u\_y\}=\backslash sqrt\; \{\backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_1\}\; \backslash cdot\; u\_1\; \backslash right)^2\; +\backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_2\}\; \backslash cdot\; u\_2\; \backslash right)^2\; +\backslash cdots\; \}$

Diese Gleichung wird Gauß'sches Fehlerfortpflanzungsgesetz genannt. Sie betrifft jedoch ausschließlich die Fortpflanzung von Unsicherheiten.

Das Gesetz ist nur anwendbar, wenn sich die Modellfunktion $y=\; y(x\_1\; \backslash ,,\backslash \; x\_2\; \backslash ,,\backslash \; \backslash cdots\backslash \; )$ bei Änderungen der Einflussgrößen $x\_i$ im Bereich ihrer Standardunsicherheiten $u\_i$ hinreichend linear verhält. Ist dies nicht der Fall, ist das Rechenverfahren erheblich aufwändiger. Die Norm DIN 1319 (Grundlagen der Messtechnik) und der „Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen“ geben Hinweise, wie eine unzulässige Nichtlinearität zu erkennen und zu umgehen ist. Außerdem ist Varianzhomogenität vorausgesetzt.

Voneinander abhängige fehlerbehaftete Größen

Bei einer Abhängigkeit (Korrelation) zwischen zwei (oder mehr) fehlerbehafteten Größen muss das Gauß'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz unter Einbeziehung der Kovarianzen oder der Korrelationskoeffizienten zwischen jeweils zwei Größen zum verallgemeinerten (generalisierten) Gauß'schen Fehlerfortpflanzungsgesetz erweitert werden.

Die relative Unsicherheit einer Größe, die sich aus zwei vollkommen korrelierten Größen ableitet, kann dabei kleiner (besser) werden als die beiden relativen Unsicherheiten der Eingangsgrößen!

Siehe auch

Intervallarithmetik