Fehlergrenze

Definitionen

In der praktischen Messtechnik sind die Fehlergrenzen vereinbarte oder garantierte Höchstwerte für positive oder negative Abweichungen der Anzeige (Ausgabe) einer Messeinrichtung vom richtigen Wert. Fehlergrenzen sind begrifflich streng zu unterscheiden von den Messfehlern und der Messunsicherheit.

Beim Kauf eines Messgerätes eines seriösen Herstellers werden in der Regel nicht die tatsächlichen Abweichungen garantiert, sondern Höchstwerte unter festgelegten Bedingungen. Fehlergrenzen hängen vom technischen Aufwand und von prinzipiellen Grenzen ab.

Es gibt eine obere und eine untere Fehlergrenze, die meistens gleich groß sind. Man spricht dann von symmetrischen Fehlergrenzen $G$ , die gemäß DIN 1319 stets als Betrag anzugeben sind.

Es gilt für den (absoluten) Fehler $F$

$\backslash mid\; F\; \backslash mid\; \backslash le\; G$

Entsprechend gibt es eine relative Fehlergrenze $g$ derart, dass für den relativen Fehler $f$ gilt

$\backslash mid\; f\; \backslash mid\; \backslash le\; g$

Die Bezugsgröße für die relative Fehlergrenze ist wie beim relativen Fehler der richtige Wert $x\_r$ ;

$\backslash quad\; g\; =\; G/|x\_r\; |$

Schreibweise

Der angezeigte (ausgegebene) Wert $x\_a$ liegt dann in einem Bereich

$x\_r\; -G\backslash le\; x\_a\; \backslash le\; x\_r\; +G$ .

Dieses wird verkürzt zur Schreibweise

$x\_a\; =\; x\_r\; \backslash pm\; G$ ,

was keineswegs so gedeutet werden darf, als ob $x\_a$ nur zwei Werte annehmen könnte.

Soll die relative Fehlergrenze im Text vorkommen, so ist das möglich, indem man $x\_r$ ausklammert

$x\_a\; =\; x\_r\; \backslash left(\; 1\backslash pm\; \backslash frac\{G\}\{x\_r\; \}\; \backslash right)\; =\; x\_r\; (1\; \backslash pm\; g)$

Keineswegs darf $x\_r\; \backslash pm\; g$ geschrieben werden, weil dann ein Wert mit Einheit und ein Wert ohne Einheit zu addieren wären.

Quantitative Angaben

Bei der quantitativen Angabe von Unsicherheiten und Fehlergrenzen sollte man die Qualität einer Angabe im Blick behalten.

• Beisp.: Eine Angabe „5 %“ dürfte eine Schätzung beinhalten und für „etwa 5 %“ stehen; die „5“ ist in diesem Zusammenhang niemals mathematisch exakt, dass man ihr nach dem Komma beliebig viele Nullen anhängen könnte. Eine Angabe „4,8 %“ wird kaum ein Indiz erhöhter Sorgfalt sein.

Aus einer „groben“ Ausgangsposition sollte man keine „feinen“ Ergebnisse ableiten, denn schließlich gilt die allgemeine Regel:

Man kann nie genauer werden als das, was man hineinsteckt. (Eine Ausnahme gilt bei zufälligen Fehlern: Hier wird nach wiederholten Messungen der Mittelwert genauer als der Einzelmesswert).

• Beisp. : 5 %·15,6 V = 0,8 V und nicht 0,78 V,

es sei denn, man kann 5,0 % verantwortlich angeben. Deshalb fordert DIN 1333: Unsicherheiten werden mit einer signifikanten Stelle angegeben, ausgenommen bei den Ziffern 1 oder 2, dann werden zwei signifikante Stellen angegeben.

• Beisp. : 5 %·35,6 V = 1,8 V und nicht 2 V.

Eine führende Null ist nicht signifikant.

• Beisp. : Die Angabe 0,8 V enthält nur eine signifikante Stelle.

Es liegt im Begriff des Grenzwertes, dass nur auf- und nicht abgerundet werden darf. Eigentlich wäre eine Fehlergrenze 5 %·6,2 V = 0,31 V auf 0,4 V auf- und nicht auf 0,3 V abzurunden; doch sollte man hier ein gewisses Augenmaß behalten, denn bereits 4,8 %·6,2 V < 0,3 V.

Selbstverständlich sollte man in Zwischenschritten genauer rechnen, damit sich Rundungsfehler nicht aufschaukeln.

Rechnen mit Fehlergrenzen

Kann man ein Messergebnis $y$ erst aus mehreren voneinander unabhängigen Messwerten $x\_i$ ausrechnen, so ist mathematisch gesagt $y$ eine Funktion von mehreren unabhängigen Variablen $x\_i$

$y=y(x\_1\; ,\backslash \; x\_2\; ,\backslash \; \backslash cdots\; )$

Änderungen der unabhängigen Variablen um ein kleines $\backslash Delta\; x\_i$ führen zu einer Änderung der abhängigen Variablen um ein $\backslash Delta\; y$, und zwar gemäß den Regeln der Mathematik

$\backslash Delta\; y\; \backslash approx\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_1\; \}\; \backslash Delta\; x\_1\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_2\; \}\backslash Delta\; x\_2\; +\backslash cdots$.

Kennt man nicht die Änderungen (Messfehler oder Messabweichungen) selber, sondern nur ihre Grenzwerte (Fehlergrenzen) $G\_i$ , so lässt sich damit auch nur die Fehlergrenze $G\_y$ des Ergebnisses angeben; dabei ist im Sinne des Grenzwertes die ungünstigste Vorzeichenkombination der Summanden zu Grunde zu legen

$G\_y\; =\; \backslash left|\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_1\; \}\backslash right|\; G\_1\; +\; \backslash left|\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_2\; \}\backslash right|\; G\_2\; +\; \backslash cdots$

Diese Formel vereinfacht sich für die vier Grundrechenarten zu leicht merkbaren Regeln

• bei Addition und Subtraktion $\backslash quad\; G\_y\; =G\_1\; +G\_2\; +\; \backslash cdots$ ,

also Summe der absoluten Fehlergrenzen, und mit Verwendung der relativen Fehlergrenzen $g\_i\; =G\_i\; /|x\_i|$ ; $g\_y\; =G\_y\; /|y|$

• bei Multiplikation und Division $\backslash quad\; g\_y\; =g\_1\; +g\_2\; +\; \backslash cdots$ ,

also Summe der relativen Fehlergrenzen.

Beisp.: Mit dem Ohmschen Gesetz U = I · R soll U aus I und R bestimmt werden.

Wenn I = 2 mA · (1 ± 2 %) und R = 12 kΩ · (1 ± 5 %), dann U = 24 V · (1 ± 7 %)

Siehe auch

• Fehlerfortpflanzung, Eichfehlergrenze, Verkehrsfehlergrenze
• Angaben und Beispiele zu analogen Messgeräten: Genauigkeitsklasse
• Angaben und Beispiele zu digitalen Messgeräten: Digitalmultimeter, Messgerätefehler