Geodäte

eingebettet ist]] Eine Geodäte (Pl. Geodäten), auch Geodätische, geodätische Linie oder geodätischer Weg genannt, ist die lokal kürzeste Verbindungskurve zweier Punktee.

Im Euklidischen Raum sind Geodäten stets Geradenenen. Relevant ist der Begriff 'Geodäte' erst in gekrümmten Räumen (Mannigfaltigkeit), wie zum Beispiel auf einer Kugeloberfläche oder anderen gekrümmten Fläche oder auch in der gekrümmten Raumzeit der Allgemeinen Relativitätstheorie. Man findet die geodätischen Linien mit Hilfe der Variationsrechnung.

Die Einschränkung 'lokal' in der obigen Definition bedeutet, dass eine Geodäte nur dann die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten zu sein braucht, wenn diese Punkte nahe genug beieinander liegen; sie muss aber nicht den global kürzesten Weg darstellen. Beispielsweise ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche stets Teil eines Großkreises, aber die beiden Teile, in die ein Großkreis durch zwei Punkte unterteilt wird, sind beide Geodäten, obwohl nur einer der beiden die „global“ kürzeste Verbindung darstellt.

• Eine Geodäte auf der (als Kugel genäherten) Erdoberfläche ist stets Teil eines Großkreises; daran orientieren sich transkontinentale Flug- und Schifffahrtsrouten (siehe Orthodrome).

• In der elementaren Differentialgeometrie ist eine Geodäte ein Weg auf einer Fläche, bei dem überall die Hauptnormale mit der Flächennormale zusammenfällt. Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn in jedem Punkt die geodätische Krümmung gleich 0 ist.

• Im Sonderfall der Kegel und Zylinder sind die Geodäten diejenigen Kurven, die bei der Abwickelung in die Ebene zu Geradenstücken werden.

• In der modernen Sprache der riemannschen Geometrie sind Geodäten $\backslash gamma$ durch eine Differentialgleichung charakterisiert:

$\backslash nabla\_\{\backslash dot\backslash gamma\}\backslash dot\backslash gamma=0.$

Dabei bezeichnet $\backslash nabla$ den Levi-Civita-Zusammenhang.

Diese Gleichung bedeutet, dass das Geschwindigkeitsvektorfeld der Kurve parallel längs der Kurve ist. Anschaulich ausgedrückt: Wer der Kurve folgt, der geht im Sinne der riemannschen Metrik „geradeaus“.

• In der 'klassischen' Sprache der Differentialgeometrie, die in der allgemeinen Relativitätstheorie benutzt wird, lautet diese Differentialgleichung:

$\backslash ddot\; x^m+\backslash Gamma^m\_\{kl\}\backslash dot\; x^k\backslash dot\; x^l=0$

Dabei sind die $\backslash Gamma^m\_\{kl\}$ die Christoffelsymbole und $x$ eine lokale Koordinatendarstellung des entsprechenden Weges.

Diese Differtialgleichungen ergeben sich mit Hilfe der Variationsrechnung.

Siehe auch

• Riemannsche Mannigfaltigkeit