Iteration

Die Iteration (v. lat iterare „wiederholen“) ist ein Begriff, der in verschiedenen Wissenschaften oder Anwendungsbereichen verwendet wird: Maschinenbau, Informatik, Linguistik, numerische Mathematik, Softwaretechnik.

Numerische Mathematik

In der numerischen Mathematik bezeichnet er eine Methode, sich der Lösung eines Rechenproblems schrittweise, aber zielgerichtet anzunähern. Sie besteht in der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens.

Meistens iteriert man mit Rückkopplung: Die Ergebnisse eines Iterationsschrittes werden als Ausgangswerte des jeweils nächsten Schrittes genommen – bis das Ergebnis (beziehungsweise Veränderung einer Bestandsgröße) zufrieden stellt. Ein Beispiel dafür ist das Newton-Verfahren. Manchmal setzt man den nächsten Schritt aus den Ergebnissen der vorherigen zwei Schritte (oder vor noch mehr Schritten) an, zum Beispiel bei der Regula Falsi.

Es muss anschließend noch bewiesen werden, dass die Iterationsfolge konvergiert und dass der Grenzwert mit der gesuchten Lösung übereinstimmt. Die Geschwindigkeit der Konvergenz ist ein Maß dafür, wie brauchbar die Iterationsmethode ist.

Anwendung der Methode

• Iteration wird angewandt in Fällen, in denen das Ergebnis sich nicht in geschlossener Form berechnen lässt, zum Beispiel bei der transzendenten Kepler-Gleichung oder allgemeiner bei Optimierungsverfahrene, oder wenn nachgebessert werden muss (Gleichungssystem);
• Bei Anwendungsproblemen können die Eingabedaten fehlerbehaftet sein, dann ist die „exakte Lösung“ des gegebenen Problems nicht notwendigerweise besser als ihre Approximation. Das Iterationsverfahren wird bevorzugt, wenn es eine gute Näherung schneller liefert, als die Berechnung der exakten Lösung braucht.
• Manche Funktionen auf Taschenrechnern oder Fraktale werden beispielsweise iterativ berechnet.

Beispiel: Lösung einer Gleichung

Die Nullstelle einer Gleichung ist iterativ oft rascher gefunden als mit exakten, geschlossenen Formeln:

1. Probieren, wo die Nullstelle von y = f(x) ungefähr liegt
2. zweimalige Berechnung von y mit x₁ und x₂
3. besserer Wert x₃ mit der Regula Falsi, die ein annähernd gerades Kurvenstück annimmt:
4. $x\_3\; =\; x\_2\; -\; y\_2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{x\_2\; -\; x\_1\}\{y\_2\; -\; y\_1\}$ und wiederholen, bis genau genug.

Effizienz versus Eleganz

Als Algorithmus ist die Iteration oft effizienter als der elegantere rekursive Weg.

Informatik

Neben der mathematischen iterativen Problemlösung wird in der Informatik auch von Iteration gesprochen, wenn ein Zugriff iterativ, das heißt schrittweise, beziehungsweise wiederholt, auf Datenstrukturen erfolgt, beispielsweise bei einer FOR-Schleife. Hierbei steht der Begriff Datenstruktur für Sammlungen von Objektenen, Objektreferenzenenen oder Datentyp. Der Zeiger auf diese Objekte nennt sich Iterators. In der Regel handelt es sich um Array, Listenn, Schlüssel-Wert-Paare (Maps, Hashnnes) oder Menge (Sets).

Linguistik

Die sprachliche Iteration bezeichnet die Wiederholung von Wortteilen wie bei Ururgroßmutter.

Softwaretechnik

In der Softwaretechnik bezeichnet eine Iteration einen einzelnen Entwicklungszyklus, je nach Vorgehensmodell beginnend mit Planung, Analyse oder Entwurf, endend mit Implementierung, Test oder Wartung. Eine besondere Rolle spielen Iterationen beim Extreme Programming und beim Rational Unified Process.