Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Die Kreiszahl wird mit dem kleinen griechischen Buchstabenpi () bezeichnet, dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortesperifereia (Randbereich) bzw. perimeter (Umfang). Die Bezeichnung pi () erschien erstmals 1706 in dem Buch Synopsis palmariorum mathesos (zu Deutsch etwa: Eine neue Einführung in die Mathematik) des aus Wales stammenden Gelehrten William Jones (1675–1749). Die Kreiszahl π wird auch Archimedes-Konstante oder Ludolphsche Zahl (nach Ludolph van Ceulen) genannt.
In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als
das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).
Irrationalität und Transzendenz
Die Zahl ist eine reelle Zahl, aber keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch geschrieben werden. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, dessen Nullstelle ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Die Transzendenz von wurde von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich ist.
Die ersten 100 Nachkommastellen
Da eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: sie ist unendlich und nicht periodisch. Die ersten 100 dezimalen Nachkommastellen sind
Archimedes von Syrakus
Für Archimedes und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Lange dachte man, es sei nur die richtige Methode zur Berechnung noch nicht gefunden.
Die Möndchen des Hippokrates aus Chios
Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von beweisen, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten. Zwar war den griechischen Philosophen seit dem Satz des Pythagoras mit der Irrationalität von die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen.
Die Summe der Flächen der grauen „Möndchen“ entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks
Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen. Bereits vor Archimedes konnte mittels der so genannten Möndchen, die dem griechischen Mathematiker Hippokrates von Chioss (um 450 v. Chr.) zugeschrieben werden, gezeigt werden, dass die Flächen dieser Kreisteile rational ausgedrückt werden können. Mit Hilfe des erweiterten Pythagoreischen Lehrsatzes fanden schon die antiken Mathematiker heraus, dass die Summe zweier über den Segmenten der Katheten errichteter Kreisteile identisch mit der Fläche des zugehörigen rechtwinkligen Dreieck ist.
Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken
Häufig versuchten die Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für zu gewinnen – so auch Archimedes. Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) war ein antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als 3 + 10/70 sein müsse, jedoch größer als 3 + 10/71:
.
Archimedes kam über den Bruch zu der Annäherung 3,141635.
Die Bezeichnung „“ stammt nicht von Archimedes, sondern wurde erst 1706 von dem englischen Mathematiker William Jones in seinem Werk A New Introduction to Mathematics für Archimedes′ Konstante eingeführt; für den Kreisumfang war sie allerdings schon einige Zeit zuvor gebräuchlich. Zum standardisierten endgültigen Durchbruch gelangte der griechische Buchstabe als Bezeichnung der Kreiszahl dann mit seiner Adaption durch Leonhard Euler im Jahr 1734.
Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin
Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler. Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui – ähnlich wie Archimedes – die Schranken 3,1410 und 3,1427. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (430–501) für die Kreiszahl 3,1415926 < < 3,1415927, also im Grunde die ersten 7 Dezimalstellen exakt. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch 355/113 (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von ), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde. Der persische Wissenschaftler Jamshid Masud Al-Kashi berechnete 1424 bereits auf 16 Stellen genau.
John Wallis, 1616–1703
Leonhard Euler, 1707–1783
Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, führte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen 262-Eck fort. Der Name Ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.
Der französche Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge eingeschriebener -Ecke annäherte. Daraus leitete er als erster eine geschlossene Formel für π in Form eines unendlichen Produktes ab:
Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt, Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist auch ein Spezialfall (θ = 1) der Reihenentwicklung des Arcustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand:
.
Sie war Grundlage vieler Approximationen von in der folgenden Zeit. John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von . Seine Gleichung
lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich ableiten, indem man sie in Polarkoordinaten der komplexen Zahlen schreibt, beginnend mit
.
Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande bereits auf 148 Stellen genau an.
geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen mit Bildungsgesetz hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur Berechnung von eignet.
Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung 22/7 = 3,142857… und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend.
Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch 355/113 = 3,1415929…, immerhin auf sieben Stellen genau. Zudem lässt sich dieser Bruch leicht merken, weil die ersten drei ungeraden Ziffern – jeweils doppelt notiert – in der Mitte gespalten werden. Allen diesen rationalen Näherungswerten für ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von entsprechen, z. B. 22/7 =[3;7], 355/113 = [3;7,15,1].
Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten an dienen, auch die erstaunliche Entdeckung des Inders Srinivasa Ramanujan aus dem Jahr 1914, basierend auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen, war dazu noch nicht geeignet:
Diese Summenformel erlaubt es auf einfache Weise, die -te Stelle einer binären oder hexadezimalen Darstellung von zu berechnen, ohne dass zuvor die vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen. Baileys Website [1] enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementierungen in verschiedenen Programmiersprachen.
Berechnung mittels Flächenformel
In ein Quadrat eingeschriebener Kreis für die Berechnung mittels Flächenformel
Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.
Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius lautet
,
der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge errechnet sich als
.
Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also
.
Damit lässt sich als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben: .
Programm
Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der näherungsweise berechnet werden kann.
Viertelkreis, mit Flächenraster 10×10 angenähert
Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von hängt von der Gitterweite ab und wird mittels kontrolliert. Mit erhält man z. B. 3,17 und mit bereits 3,1417. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.
r = 10000
kreistreffer = 0
quadrattreffer = (2 * r + 1) ^ 2
for y = -r to r
for x = -r to r
if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
kreistreffer = kreistreffer + 1
ausgabe 4*kreistreffer / quadrattreffer { 3.141549 }
Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes marginal.
Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.
Statistische Bestimmung
Viertelkreis, dessen Fläche durch die Monte-Carlo-Methode angenähert wird
Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist gleich .
Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von lässt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.
Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache Java geschrieben:
public static double berechne_pi(int tropfenzahl) {
double pi = 0;
int innerhalb = 0;
int gesamt = tropfenzahl;
while (tropfenzahl > 0) { // generiere Tropfen und addiere je nach Zugehörigkeit
double dotx = 2 * Math.random() - 1;
double doty = 2 * Math.random() - 1;
if (dotx*dotx + doty*doty <= 1) {
// Punkt liegt innerhalb des Kreises
innerhalb++;
} else {
// Punkt liegt außerhalb des Kreises
}
tropfenzahl--;
}
pi = 4*(double)innerhalb/gesamt;
return pi;
}
Buffonsches Nadelproblem
Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode stammt von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707–1788), der sie im Alter von 20 Jahren erfand. Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow I. Perelman im Buch „Unterhaltsame Geometrie“. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt dabei als Schnittpunkt. Die Division der Gesamtzahl der Nadelwürfe durch die Zahl der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt im Ergebnis eine Näherung von . Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Johann Rudolf Wolf durch 5.000 Nadelwürfe auf einen Wert von .
Näherungskonstruktion
Zur Konstruktion der Zahl gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann.
Formeln, Anwendungen, offene Fragen
Formeln, die enthalten
Formeln der Geometrie
In der Geometrie treten die Eigenschaften von als Kreiszahl unmittelbar hervor.
Pi (tal)
Pii (vakio)
Pi
Pi
Pi
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Über 
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