Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformation ist die grundlegende Gleichung der speziellen Relativitätstheorie und der Lorentzschen Äthertheorie. Sie wurde von Woldemar Voigt (1887), Hendrik Antoon Lorentz (1895, 1899, 1904), Joseph Larmor (1897, 1900) und Henri Poincaré (1905) entwickelt und erhielt von Poincaré den Namen Lorentz-Transformation. Mit diesem Gleichungssystem werden Koordinaten zwischen gegeneinander bewegten Systemen umgerechnet (transformiert). Kerngröße der Lorentz-Transformation ist die Lichtgeschwindigkeit c, und eine wesentliche Eigenschaft der Lorentz-Transformation ist, dass nur Transformationen erlaubt sind, die zwischen Systemen stattfinden, deren Relativgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit nicht überschreitet. Da diese letzte Eigenschaft genau diejenige ist, welche der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegt, kann man auch sagen, dass die Lorentz-Transformation die mathematischen Regeln der Speziellen Relativitätstheorie bestimmt.

Definition und Herleitung

• Definition: Eine lineare Koordinatentransformation, die das Linienelement ds (bzw. die Minkowski-Metrik $\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}$) nicht verändert (Isometrie), heißt Lorentz-Transformation.

• Lorentz-Transformationen beinhalten Boosts (Wechsel in ein mit v bewegtes Inertialsystem), räumliche Drehungen, Spiegelungen von Raum (Parität) und Zeit (Zeitinversion), jedoch keine Translationen.

Betrachtet man der Einfachheit halber eine lineare Transformation in zwei Dimensionen, so gilt allgemein:

Nun fordert man die Lorentzinvarianz des Linienelements:

$(ds^\backslash prime)^2=(c\backslash ,dt^\backslash prime)^2-(dx^\backslash prime)^2=(\backslash alpha\_\{11\}c\backslash ,dt+\backslash alpha\_\{12\}dx)^2-(\backslash alpha\_\{21\}c\backslash ,dt+\backslash alpha\_\{22\}dx)^2\; =^!(c\backslash ,dt)^2-dx^2=ds^2$

Aus dieser Forderung ergeben sich die folgenden Bedingungen für die Koeffizienten $\backslash alpha\_\{ij\}$:

$\backslash alpha\_\{11\}^2-\backslash alpha\_\{21\}^2=1\; \backslash quad\backslash wedge\backslash quad\; \backslash alpha\_\{22\}^2-\backslash alpha\_\{12\}^2=1\; \backslash quad\backslash wedge\backslash quad\; \backslash alpha\_\{11\}\backslash alpha\_\{12\}-\backslash alpha\_\{21\}\backslash alpha\_\{22\}=0$

Man sieht leicht, dass sich diese Gleichungen durch die Wahl $\backslash alpha\_\{11\}=\backslash alpha\_\{22\}=\backslash cosh\backslash bar\backslash varphi$ und $\backslash alpha\_\{12\}=\backslash alpha\_\{21\}=-\backslash sinh\backslash bar\backslash varphi$ erfüllen lassen. Dabei treten die Hyperbelfunktionen sinh und cosh auf. $\backslash bar\backslash varphi$ kann als imaginärer Drehwinkel interpretiert werden und bleibt noch zu bestimmen.

Betrachtet man ein Inertialsystem $IS^\backslash prime$, welches sich zu einem ruhenden Inertialsystem $IS$ mit der Relativgeschwindigkeit $v$ in x-Richtung bewegt, so sollte $x^\backslash prime=\backslash gamma(x-vt)=0$ gelten, wobei $\backslash gamma$ ein konstanter Faktor ist. Gleichsetzung mit $x^\backslash prime=-\backslash sinh\backslash bar\backslash varphi\backslash ,ct+\backslash cosh\backslash bar\backslash varphi\backslash ,x$ ergibt dann:

$\backslash cosh\backslash bar\backslash varphi=\backslash gamma\; \backslash quad\backslash wedge\backslash quad\; \backslash sinh\backslash bar\backslash varphi=\backslash frac\{v\}\{c\}\backslash gamma$

Daraus lässt sich der Winkel $\backslash tanh\backslash bar\backslash varphi=\backslash frac\{v\}\{c\}$ bestimmen. Ferner folgt:

$\backslash cosh^2\backslash bar\backslash varphi-\backslash sinh^2\backslash bar\backslash varphi=1\; \backslash quad\backslash Rightarrow\backslash quad\; \backslash gamma^2-\backslash gamma^2\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}=1\; \backslash quad\backslash Rightarrow\backslash quad\; \backslash gamma=\backslash left(1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\backslash right)^\{-1/2\}$

Die Transformationsmatrix $\backslash Lambda$ lautet also:

Dies ist die Matrix einer Boost-Transformation. Die Matrizen für Raumdrehungen, Raumspiegelungen und Zeitspiegelungen ergeben sich analog.

Entstehung der Gleichungen

Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, und die Maxwellgleichungen sind, obwohl das zur Zeit ihrer Aufstellung unbekannt war, nur als Gleichungen einer Welt sinnvoll, in der (lokal) die spezielle Relativitätstheorie gilt. Als die Maxwellgleichungen formuliert wurden, kannte man allerdings nur den absoluten Raum und die absolute Zeit der klassischen Mechanik, in der die Galilei-Transformation für Koordinatentransformationen anzuwenden ist. Unter der Galilei-Transformation lassen sich die Maxwellgleichungen jedoch nicht transformieren.

Durch die Arbeiten von Woldemar Voigt (1887), Hendrik Antoon Lorentz (1895, 1899, 1904), Joseph Larmor (1897, 1900) und Henri Poincaré (1905) wurde die Lorentz-Transformationen als die Transformationsgleichungen erkannt, die die Gleichungen der Elektrodynamik erhalten. Zu diesem Zeitpunkt war die Ätherhypothese Grundlage zur Erklärung verschiedenster elektromagnetischer Phänomene. Es war allerdings unbekannt, woraus dieser Äther bestehen sollte. Verschiedene Experimente deuteten auf eine Mitführung des Äthers beispielsweise durch die Erde hin, andere wiederum nicht. Lorentz erkannte im Rahmen der Lorentzschen Äthertheorie, dass sich verschiedene Phänomene erklären lassen, wenn man für elektromagnetische Erscheinungen eine Verkleinerung des Längenabstandes in Bewegungsrichtung des Bezugssystems und eine etwas vergrößerte Zeit, die er Ortszeit nannte, annimmt. Ihm gelang die Formulierung einer geschlossenen mathematischen Theorie. Er hielt aber an der Vorstellung des Äthers, der in einem Koordinatensystem ruhen sollte (und dieses Bezugssystem auszeichnet) fest.

Mit Albert Einsteins Formulierung der speziellen Relativitätstheorie wurde die klassische Mechanik und die Ätherhypothese abgelöst. Er leitete die Gleichungen aus dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem und des Nichtvorhandenseins eines ausgezeichneten Bezugssystems ab und wendete sie auch auf Phänomene aus der Mechanik an. Die Lorentz-Transformation ersetzte die alte Galilei-Transformation. Die Galilei-Transformation wiederum bleibt im Falle kleiner Geschwindigkeiten (in sehr guter Näherung) gültig.

Mathematische Formulierung

Wie Poincaré (1905) zuerst erkannt, bilden die Lorentz-Transformationen eine Lie-Gruppe, deren Elemente ein (pseudokartesisches) Koordinatensystem in ein anderes transformieren. Diese speziellen Koordinatensysteme werden in der Regel als Inertialsysteme bezeichnet. Die drei Raumkoordinaten x₁=x, x₂=y, und x₃=z und die Zeitkoordinate x₄=ict, die ein so genanntes Ereignis in unserer Welt beschreiben, werden zu einem Vierervektor zusammengefasst, der Element des Minkowskiraumes ist (siehe auch Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum). Auch alle anderen Vierervektoren, also nicht nur Viererortsvektoren, werden durch die gleiche Lorentz-Transformation transformiert. Im Folgenden wird die Transformation an einem Viererortsvektor exemplarisch dargestellt.

Die Sprache der Lorentz-Transformation ist folgendermaßen: Der Vierervektor $\backslash mathbf\; V\; =\; (x\_1,\; x\_2,\; x\_3,\; x\_4)=(x,\; y,\; z,\; ict)$, im Ausgangskoordinatensystem S, hat im Zielkoordinatensystem S' die Koordinaten $\backslash mathbf\; V\text{'}\; =\; (x\_1\text{'},\; x\_2\text{'},\; x\_3\text{'},\; x\_4\text{'})=(x\text{'},\; y\text{'},\; z\text{'},\; ict\text{'})$. Von eigentlichem Interesse sind Transformationen zwischen zwei Systemen S und S', die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. (Transformationen zwischen Systemen, die zueinander unbewegt sind, wie etwa zueinander gedreht, lassen sich nach den bekannten Regeln der Drehgruppe berechnen. Wenn man die Lorentz-Transformation um Verschiebungen (Translationen) erweitert, erhält man die Poincarégruppe, welche die Geometrie des Minkowskiraumes definiert. Lorentz-Transformationen ohne Drehung der Bezugssysteme werden auch als 'Lorentz-Boosts' bezeichnet.)

Wenn die Achsen der Koordinatensysteme parallel zueinander stehen und sie sich entlang der x₁-Achse mit der Geschwindigkeit v relativ zueinander bewegen, dann nimmt die Lorentz-Transformation folgende Gestalt an:

$\backslash mathbf\; V\text{'}\; =\; \backslash Lambda\; \backslash mathbf\; V\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$

   \gamma & 0 & 0 & i \beta \gamma \\ 
   0 & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 \\
   -i \beta \gamma & 0 & 0 & \gamma
\end{pmatrix} \mathbf V

Hierbei ist $\backslash gamma$ der Lorentzfaktor mit $\backslash gamma\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash beta^2\}\}$ und $\backslash beta\; =\; \backslash frac\{v\}\{c\}$, wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

Demnach ergeben sich die Gleichungen der Lorentz-Transformation zu

$x\text{'}\; =\; \backslash gamma\; (x\; -\; vt)\backslash$

$y\text{'}\; =\; y\backslash$

$z\text{'}\; =\; z\backslash$

$t\text{'}\; =\; \backslash gamma\; \backslash left(t\; -\; \backslash frac\{v\; x\}\{c^\{2\}\}\; \backslash right)$

Um umgekehrt von S' nach S zu transformieren wird entsprechend die inverse Lorentz-Transformation benutzt, mit

$\backslash mathbf\; V\text{'}\; =\; \backslash Lambda\; \backslash mathbf\; V\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash mathbf\; V\; =\; \backslash Lambda^\{-1\}\; \backslash mathbf\; V\text{'}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$

   \gamma & 0 & 0 & -i \beta \gamma \\ 
   0 & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 \\
   i \beta \gamma & 0 & 0 & \gamma
\end{pmatrix} \mathbf V'

Wobei sich hier die Gleichungen

$x\; =\; \backslash gamma\; (x\text{'}\; +\; vt\text{'})\backslash$

$y\; =\; y\text{'}\backslash$

$z\; =\; z\text{'}\backslash$

$t\; =\; \backslash gamma\; \backslash left(t\text{'}\; +\; \backslash frac\{v\; x\text{'}\}\{c^\{2\}\}\; \backslash right)$

ergeben.

Es gilt $\backslash gamma\; \backslash ge\; 1$. Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit wird $\backslash gamma$ sehr groß. Für kleine Geschwindigkeiten (im Alltagsleben beobachtete Geschwindigkeiten sind in diesem Sinne immer klein) ist $\backslash gamma\; \backslash approx\; 1$. Die Lorentz-Transformation wird für $v\; \backslash to\; 0$, und daher $\backslash gamma\; =\; 1$, zur Galilei-Transformation. Bemerkenswert ist auch, dass $\backslash gamma=1$ für $c\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$, dass also die Lorentz-Transformation gerade die Galilei-Transformation wäre, wenn sich das Licht instantan fortpflanzen würde. Das bedeutet, dass es die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ist, die die Effekte der Speziellen Relativitätstheorie hervorruft.

Ein allgemeiner Lorentz-Boost für zwei Bezugssysteme, die sich mit einer Relativgeschwindigkeit $\backslash vec\{V\}$ zueinander bewegen, ist gegeben durch:

$\backslash vec\{r\text{'}\}\; =\; \backslash vec\{r\}+\backslash left(\; \backslash frac\{(\backslash gamma-1)(\backslash vec\{r\}\backslash cdot\backslash vec\{V\})\}\{V^2\}-\backslash gamma\; t\backslash right)\backslash vec\{V\}$

$t\text{'}\; =\; \backslash gamma\; \backslash left(t\; -\backslash frac\{\backslash vec\{r\}\backslash cdot\backslash vec\{V\}\}\{c^2\}\backslash right)$

Dabei ist

$\backslash vec\{r\}=(x,y,z)$

Wie man sieht gibt es verschiedene mathematische Schreibweisen, um die Lorentz-Transformation auszudrücken. Teilweise ist die Zeitkoordinate die erste Koordinate des Vierervektors; teilweise wird in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit gerechnet, das heißt c wird gleich 1 gesetzt, und die Geschwindigkeit v ist dann eine Zahl zwischen 0 und 1; teilweise wird die Zeitkoordinate im Minkowskiraum als imaginäre Zahl behandelt.

Ganz allgemein kann man jede Lorentz-Transformation als eine Abbildung $\backslash Lambda$ definieren, die einen Vierervektor V transformiert:

$V\; \backslash rightarrow\; \backslash Lambda\; V$

derart, dass

$\backslash Lambda^T\; \backslash eta\backslash ,\; \backslash Lambda\; =\; \backslash eta$

ist. Hier bezeichnet $T$ die Matrix-Transposition. $\backslash eta=\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}$ ist der Metrische Tensor (das Pseudo-Skalarprodukt) des Minkowskiraumes. Es gibt verschiedene mögliche Darstellungen dieses Tensors; in der SRT verwendet man üblicherweise

$\backslash eta=$

 \begin{bmatrix}
          1 & 0 & 0 &  0 \\
          0 & 1 & 0 &  0 \\
          0 & 0 & 1 &  0 \\
          0 & 0 & 0 & -1 \\
 \end{bmatrix}
 

Eine andere Möglichkeit der Darstellung ist die invariante Länge des Lorentz 4-Vektor als Determinante einer Matrix zu schreiben.

$\backslash eta\; =\; x^0\; \backslash sigma^0\; +\; \backslash vec\; x\; \backslash vec\backslash sigma\; =$

 \begin{bmatrix}
          x^0 + x^3 & x^1 - i x^2 \\
          x^1 + i x^2 & x^0 - x^3 \\
 \end{bmatrix}
 

wobei $\backslash vec\backslash sigma$ die Paulimatrizen und $\backslash sigma^0$ die Einheitsmatrix beschreiben. Bei einer Lorentztransformation muss nun nur noch die Determinante erhalten bleiben. Die mathematische Gruppe mit dieser Eigenschaft ist die SL(2,C) (eigentliche lineare Gruppe), mit den Pauli-Matrizen (Drehung) und den mit komplexem i multiplizierten Pauli-Matrizen (Boost) als Erzeugenden.

• Vertiefung: Lorentz-Gruppe.

Lorentzinvarianz

Größen oder Gleichungen, die sich unter der Lorentz-Transformation nicht verändern, werden als Lorentzinvarianten bezeichnet, lorentzinvariante Größen auch 'Lorentzskalare'.

Die einfachste lorentzinvariante Größe ist der relativistische Abstand (hier vom Koordinatenursprung)

$ds^2\; =\; dx^2\; +\; dy^2\; +\; dz^2\; -\; c^2\; dt^2$,

der im transformierten System zu

$ds\text{'}^2\; =\; dx\text{'}^2\; +\; dy\text{'}^2\; +\; dz\text{'}^2\; -\; c^2\; dt\text{'}^2$,

wird. Unter einer Lorentz-Transformation ist dieser Abstand per Definition erhalten, das heißt

$ds\text{'}\; =\; ds$.

Der relativistische Abstand ist gleich der Quadratwurzel des Skalarproduktes des Viererortsvektors mit sich selbst. Auch alle anderen Skalarproduke zwischen Vierervektorenen (beispielsweise Viererortsvektor, Vierergeschwindigkeit, Viererbeschleunigung, Viererimpuls, Minkowskikraft, Vierervektorpotential) sind lorentzinvariant. Lorentzskalare können als Vierertensor nullter Stufe angesehen werden und somit auch durch Verjüngung von Tensoren höherer Stufe entstehen.

Zwei weitere wichtige Beispiele für Lorentzskalare sind die elektrische Ladung und die Ruhemasse. Die Energie ist kein Lorentzskalar, ihr Wert hängt von der Wahl des Inertialsystems ab.

Die Maxwellgleichungen sind ebenfalls lorentzinvariant. Sie behalten in allen Inertialsystemen die gleiche Form.

Folgerungen für spezielle Vierervektoren

Die Lorentz-Transformation vermischt, anders als die Galilei-Transformation, die ersten drei Komponenten eines Vierervektors mit der letzten Komponente. Das hat einige auf den ersten Blick unanschauliche Folgen.

Viererortsvektor

Bei der Lorentz-Transformation eines Viererortsvektors werden die Ortskoordinaten mit der Zeitkoordinate vermischt. Deshalb ist im Rahmen der Relativitätstheorie keine absolute Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse mehr definiert. Einzig der Viererabstand s zweier Ereignisse und damit ihre Eigenschaft, raumartig (s²>0), lichtartig (s²=0) oder zeitartig (s²<0) zueinander zu sein, bleibt durch die Transformation erhalten. Das bedeutet, dass zwei Ereignisse, die in einem Bezugssystem zum selben Zeitpunkt an unterschiedlichen Orten stattfinden, in einem dazu bewegten zu unterschiedlichen Zeitpunkten stattfinden können. Zu jedem raumartig getrennten Ereignispaar gibt es ein Bezugssystem, in dem die Ereignisse gleichzeitig stattfinden, und zu jedem zeitartig getrennten Ereignispaar gibt es eines, in dem die Ereignisse am gleichen Ort stattfinden. Lichtartig getrennte Ereignisse finden entweder in allen oder in keinem Bezugssystem zur gleichen Zeit und am gleichen Ort statt.

Zeitdilatation und Längenkontraktion sind die unmittelbaren Folgen der Lorentz-Transformation der Viererortsvektoren.

Vierergeschwindigkeit

Die vierte Komponente der Vierergeschwindigkeit ist $\backslash gamma\; c$, enthält also neben der Geschwindigkeit keine weitere physikalische Größe. Die Geschwindigkeit selbst (in den ersten drei Komponenten, multipliziert mit $\backslash gamma$) wird aber wiederum anders transformiert als durch die Galilei-Transformation. Die Relativgeschwindigkeit der Bezugssysteme wird nicht einfach hinzuaddiert. Falls beide Geschwindigkeiten in die selbe Richtung zeigen, addieren sich die Rapiditäten (also die Größe $\backslash mathrm\{artanh\}(v/c)$, siehe auch Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten). Die sich ergebende Geschwindigkeit (auch im allgemeinen Fall unterschiedlicher Richtung) ist immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit, so dass diese als Grenzgeschwindigkeit anzusehen ist. Die Lichtgeschwindigkeit selbst bleibt beim Wechsel des Bezugssystems konstant, wie nicht anders zu erwarten ist, weil die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit eine Grundannahme bei der Herleitung der Lorentz-Transformation ist.

Experimentelle Nachweise

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden viele Experimente zur Messung der Lichtgeschwindigkeit angestellt, unter anderem von Michelson und Morley, die 1888 in ihrem berühmten Experiment (Michelson-Morley-Experiments) eine Genauigkeit über 10^-5 erreichten. (Später ließen sich beispielsweise mit Hilfe des Mößbauer-Effekt noch wesentlich höhere Genauigkeiten erzielen.) Diese Experimente ergaben die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit unabhängig vom Bewegungszustand der Erde, des Beobachters usw. Hilfsannahmen wie die Mitführung des Äthers als Medium für die Ausbreitung von Licht können nicht alle Phänomene erklären.

Im Bereich der Elementarteilchen lässt sich die Zeitdilatation als Verlängerung der Lebensdauer direkt nachweisen.

Weblinks

• Interaktives Java Applet