Lorentzkraft

Die Lorentzkraft ist nach Hendrik Antoon Lorentz die Kraften, die auf bewegte elektrische Ladung in elektromagnetischen Feldern wirkt.

$\backslash vec\; F=q\; (\backslash vec\; E\; +\; \backslash vec\; v\; \backslash times\; \backslash vec\; B)$

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird oft nur die magnetische Komponente als Lorentzkraft bezeichnet.

$\backslash vec\; F=q\; \backslash cdot\; \backslash vec\; v\; \backslash times\; \backslash vec\; B$

• $\backslash vec\; F$ Kraft
• $q\backslash ,$ Elektrische Ladung
• $\backslash vec\; v$ Geschwindigkeit der Ladung
• $\backslash vec\; E$ Elektrische Feldstärke
• $\backslash vec\; B$ Magnetische Flussdichte
• $\backslash times$ Vektorprodukt

Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

Ein elektrischer Strom in einem Leiter besteht aus bewegten elektrischen Ladungen. Befindet sich der Leiter in einem Magnetfeld, wird daher eine Kraft auf ihn ausgeübt.

Wie oben zu sehen ist, ist die Lorentzkraft proportional zur Geschwindigkeit $\backslash vec\; v$, mit der sich die Ladung durch das Magnetfeld $\backslash vec\; B$ bewegt.

Kraft auf eine bewegte Ladung $q$:

$\backslash vec\; F\; =\; q\; \backslash cdot\; \backslash vec\; v\; \backslash times\; \backslash vec\; B$

Ist $\backslash vec\; l$ der Weg, den die Ladung $q$ in der Zeit $t$ zurücklegt, kann man die Geschwindigkeit ausdrücken als

$\backslash vec\; v\; =\; \backslash frac\{\backslash vec\; l\}\{t\}$

Eingesetzt ergibt sich:

$\backslash vec\; F\; =\; q\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash vec\; l\}\{t\}\; \backslash times\; \backslash vec\; B$

Die Stromstärke ergibt sich aus der Anzahl von Ladungsträgern $q$, die sich pro Zeiteinheit $t$ durch einen Querschnitt des Leiters bewegen:

$I\; =\; \backslash frac\{q\}\{t\}$, wenn $I$ wie hier konstant ist. Umgeformt: $q\; =\; I\; \backslash cdot\; t$

Eingesetzt ergibt sich damit:

$\backslash vec\; F\; =\; I\; \backslash cdot\; \backslash vec\; l\; \backslash times\; \backslash vec\; B$

Wenn man die Länge von $\backslash vec\; l$ bei gleicher Stromstärke $I$ verdoppelt, so sind auch doppelt so viele Ladungsträger dem Magnetfeld ausgesetzt, und somit ist die Lorentzkraft doppelt so groß. (Vorausgesetzt das Magnetfeld $B$ ist auf der ganzen Länge hinreichend homogen.)

Die entsprechende Betragsgleichung lautet:

$F\; =\; I\; \backslash cdot\; l\; \backslash cdot\; B\; \backslash cdot\; \backslash sin\backslash alpha$

wobei $\backslash alpha$ der Winkel zwischen Leiter und Magnetfeld ist. Die Richtung der Kraft geht aus dieser Gleichung nicht hervor und muss separat hergeleitet werden, vgl. oben, Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung.

Im speziellen Fall eines Leiters, der senkrecht zum Magnetfeld verläuft, ist $\backslash sin\; \backslash alpha\; =\; 1$. Damit lässt sich der Betrag der Lorentzkraft besonders einfach berechnen:

$F\; =\; I\; \backslash cdot\; l\; \backslash cdot\; B$

Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung

Die vom Magnetfeld verursachte Lorentzkraft ist sowohl zu den magnetischen Feldlinien als auch zur Bewegungsrichtung der Ladung senkrecht und lenkt die betroffene Ladung ab, ohne den Betrag ihrer Geschwindigkeit zu verändern. (Beweis folgt über die Ableitung des Betrages nach der Zeit, die das Skalarprodukt aus Beschleunigung und Geschwindigkeit enthält. Dieses verschwindet, da die Kraft (bzw. die Beschleunigung) senkrecht zur Bewegungsrichtung (bzw. der Geschwindigkeit) ist.)

Im allgemeinen Fall berechnet sich der Vektor der magnetischen Komponente der Lorentzkraft mit folgendem Kreuzprodukt:

$\backslash vec\; F\; =\; q\; \backslash cdot\; \backslash vec\; v\; \backslash times\; \backslash vec\; B$

Wobei $\backslash vec\; B$ die Magnetische Flussdichte ist, $q$ die Elektrische Ladung des Teilchens und $\backslash vec\; v$ seine Geschwindigkeit. Die Polarität der Ladung $q$ muss durch ein Vorzeichen berücksichtigt werden; handelt es sich bei der bewegten Ladungen z. B. um ein Elektron, ist $q$ = −1,602·10⁻¹⁹ C (negativ). Handelt es sich um positiv geladene Teilchen, ist $q\; >\; 0$ und $\backslash vec\; F$ zeigt damit in die entgegengesetzte Richtung.

Die entsprechende Betragsgleichung (mit $\backslash alpha$ als Winkel zwischen $\backslash vec\; v$ und $\backslash vec\; B$) lautet:

$F\; =\; |q|\; \backslash cdot\; v\; \backslash cdot\; B\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash alpha$

Wenn sich ein geladenes Teilchen senkrecht zum Magnetfeld bewegt ist $\backslash sin\; \backslash alpha\; =\; 1$. Damit lässt sich der Betrag der Lorentzkraft besonders einfach berechnen:

$F\; =\; |q|\; \backslash cdot\; v\; \backslash cdot\; B$

Während sich bei der Vektorrechnung die Richtung der Kraft automatisch richtig ergibt, muss sie bei der Betragsrechnung separat hergeleitet werden. Dabei hilft die Drei-Finger-Regel oder die Rechte-Faust-Regel. Diese Regeln berücksichtigen – korrekt angewandt – sowohl die Polarität der Ladung als auch deren Bewegungsrichtung im Magnetfeld.

Theorie der Lorentzkraft

Die Lorentzkraft kann als Axiom aufgefasst oder aus der Lagrangeschen Formulierung der Elektrodynamik hergeleitet werden. Das elektromagnetische Feld ist durch das Viererpotential

$A^\backslash mu\; =\; \backslash left(\backslash Phi,\; \backslash vec\{A\}\backslash right)$

gegeben. Für die Lagrangefunktion eines geladenen Teilchens mit Ladung $q$ und Masse $m$ gilt

$\backslash gamma\; L\; =\; -mc^2\; +\; \backslash frac\{q\}\{c\}A\_\backslash mu\; v^\backslash mu\; \backslash Rightarrow\; L\; =\; -mc^2/\backslash gamma\; -\; q\backslash Phi\; +\; \backslash vec\{A\}\backslash cdot\backslash vec\{v\}$

Hierbei ist die Vierergeschwindigkeit gegeben durch die Ableitung der Koordinaten $x^\backslash mu$ nach der Eigenzeit $\backslash tau$:

$v^\backslash mu\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; dx^\backslash mu\}\{\backslash mathrm\; d\backslash tau\}\; =\; \backslash gamma\backslash left(c,\backslash vec\{v\}\backslash right)$

mit dem Zusammenhang zwischen Eigenzeit und Zeit im Inertialsystem des Beobachters

$\backslash gamma\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; dt\}\{\backslash mathrm\; d\backslash tau\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash beta^2\}\}$

mit $\backslash beta\; =\; v/c$. Das Prinzip von Hamilton verlangt die Stationarität der Wirkung

$S\; =\; \backslash int\; L\; \backslash mathrm\; dt$

und das führt auf die Euler-Lagrange-Gleichungen

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dt\}\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; v\_i\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; x\_i\}\; =\; 0$

Einsetzen unserer Lagrangefunktion für ein geladenes Teilchen im EM-Feld liefert die Bewegungsgleichung

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\backslash vec\{p\}\}\{\backslash mathrm\; dt\}\; =\; q\backslash left(\backslash vec\{E\}+\backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash vec\{v\}\backslash times\backslash vec\{B\}\backslash right)$

Hierbei sind die Felder durch

$\backslash vec\{E\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{c\}\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash vec\{A\}\}\{\backslash partial\; t\}\; -\; \backslash nabla\; \backslash Phi$

$\backslash vec\{B\}\; =\; \backslash vec\{\backslash nabla\}\backslash times\backslash vec\{A\}$

definiert und der Impuls lautet

$\backslash vec\{p\}\; =\; m\backslash gamma\backslash vec\{v\}$

Beispiele

Wenn man im stillstehenden Auto bei laufendem Motor das Licht (oder die Heckscheibenheizung oder beides) einschaltet, sinkt ganz kurz die Drehzahl ab, bis die Motorsteuerung die Drehzahl wieder stabilisiert hat. Das passiert, weil sich die Lichtmaschine plötzlich „schwerer“ drehen lässt. Jede Kraft erfordert eine Gegenkraft. Immer wenn Energie „verbraucht“ wird (in der Glühlampe) muss sie ja irgendwo herkommen. Energielieferant im Auto ist der Kraftstoff. Der Strom, den ein Generator abgibt, kann durch den so genannten Erregerstrom, der über Spulen ein Magnetfeld im Generator erzeugt, gesteuert werden. Ist kein Magnetfeld vorhanden, gibt der Generator keinen Strom ab und benötigt auch keine Antriebsleistung, sondern läuft im Leerlauf. Dort wird nur sehr wenig Leistung zur Überwindung der Reibung benötigt.

Technisch angewandt wird die Lorentzkraft

• im Elektromotor bzw. -generator
• im Ablenkmagnet zur Fokussierungenstrahlen von Elektron (z. B. in der Kathodenstrahlröhre und im Synchrotron)
• im Wienfilter
• im Hallsensor (siehe auch Hall-Effekt) und Drehspulmesswerk
• im Sektorfeldmassenspektrometer

Auch die Ablenkung des Sonnenwinds durch die Magnetfelder der Erdeen und anderer Planet ist auf die Lorentzkraft zurückzuführen.

Siehe auch

• Induktionsgesetz – der umgekehrte Weg; Erzeugung von Strom durch Bewegung von Leitern in einem Magnetfeld

Weblinks

• Java-Applet zum Experimentieren mit der Lorentzkraft
• Ein weiteres Modell, bei dem $q$, $v$ und $B$ variiert werden können
• Versuche und Aufgaben zur Lorentzkraft
• Flash-Animation zum Leiterschaukel-Versuch (dwu-Unterrichtsmaterialien)
• Youtube-Film: Wasser fließt bergauf mit Lorentzkraft