Kategorie: Gravitation Physikalische Größe Masse (Physik) Die Masse ist eine Grundgröße der Physik. Ihre SI-Einheit ist das Kilogramm. Sie ist zum einen Ursache der Gravitation („schwere Masse“), zum anderen ein Maß für die Trägheit eines Körpers, das heißt seinen Widerstand gegenüber Änderungen seines Bewegungszustands („träge Masse“). Die experimentell bestätigte Gleichheit von träger und schwerer Masse ist eine der wichtigsten Grundlagen der klassischen Mechanik und der Relativitätstheorie, sowie der daraus entwickelten Quantenmechanik. Nach der Relativitätstheorie ist jede Masse zudem zu einer bestimmten Energie äquivalent. Umgekehrt verursacht auch jede Form von Energie eine Gravitationswirkung. Die Masse ist in der klassischen Physik eine Erhaltungsgröße, was insofern ungewöhnlich ist, als sie nicht mit Symmetrie verbunden ist. Nach der speziellen Relativitätstheorie ist die Ruhemasse äquivalent zu einer Energiemenge. Die Massenerhaltung ist damit nur noch näherungsweise gültig und ein Spezialfall der Erhaltung der Energie, da die Masse in andere Energieformen umgewandelt werden kann, wie dies zum Beispiel bei radioaktiven Zerfällen geschieht. Wenn keine solche Umwandlung stattfindet, gilt Massenerhaltung. Die Erhaltung der Energie ist mit zeitlicher Symmetrie oder Invarianz der physikalischen Gesetze unter zeitlichen Verschiebungen verbunden.

Als träge Masse $m\_\backslash mathrm\{t\}$ wird in der newtonschen Mechanik, genauer im zweiten newtonschen Axiom, der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft $\backslash vec\{F\}$ und Beschleunigung $\backslash vec\{a\}$ definiert:

$\backslash vec\{F\}\; =\; m\_\backslash mathrm\{t\}\; \backslash vec\{a\}$

Dieses Trägheitsgesetz gilt jedoch nicht allgemein. Einerseits gilt es in der Relativitätstheorie nicht mehr, andererseits gilt es nicht für Körper mit zeitlich veränderlichen Massen, wie etwa eine Rakete. Für eine Verallgemeinerung dieses Trägheitsgesetzes zieht man den Impuls $\backslash vec\{p\}\; =\; m\_\backslash mathrm\{t\}\; \backslash vec\{v\}$ heran, der das Produkt von Geschwindigkeit $\backslash vec\{v\}$ und träger Masse $m\_\backslash mathrm\{t\}$ ist. Dann lautet das Trägheitsgesetz:

$\backslash vec\{F\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\{p\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash dot\{\backslash vec\; p\}$

Wenn die zeitliche Massenänderung $\backslash mathrm\{d\}m/\backslash mathrm\{d\}t\; =\; \backslash dot\{m\}$ und die Ausströmgeschwindigkeit $\backslash vec\{v\}$ der Masse aus der Rakete zeitlich konstant sind (das heißt die Beschleunigung der ausströmenden Masse $\backslash vec\{a\}\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash vec\{v\}/\backslash mathrm\{d\}t$ ist null) erhält man als Rückstoßkraft:

$\backslash vec\{F\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\{p\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; (m\backslash vec\{v\})\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}m\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; \backslash vec\{v\}\; +\; m\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\{v\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash dot\{m\}\; \backslash vec\{v\}$

Eine ausführlichere Behandlung dieses Sachverhaltes findet sich im Artikel Raketengrundgleichung.

Spezielle Relativitätstheorie

Der Begriff der schweren Masse ist in der speziellen Relativitätstheorie unverändert. Diese Theorie befasst sich ausschließlich mit der Dynamik von Körpern und nicht mit der Gravitation.

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Impuls nicht mehr proportional zur Geschwindigkeit, und somit das Verhältnis zwischen Impuls und Geschwindigkeit selbst abhängig von der Geschwindigkeit. Der Zusammenhang lautet

$p\; =\; \backslash frac\{m\_0\}\{\backslash sqrt\{1-v^2/c^2\}\}\; v\; =\; m\_0\backslash gamma\backslash cdot\; v$ mit $\backslash gamma\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-v^2/c^2\}\}.$

$\backslash vec\; F\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; p\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash gamma\; m\_0\; \backslash vec\{a\}\; +\; \backslash gamma^3\; m\_0\; \backslash vec\{v\}(\backslash vec\{v\}\backslash cdot\backslash vec\{a\})/c^2.$

Heute verwendet man die geschwindigkeitsunabhängige Eigenschaft des Körpers $m\_0$ als Entsprechung zur oben genannten newtonschen trägen Masse. Sie wird historisch Ruhemasse, in moderner Sprechweise auch invariante Masse oder einfach Masse genannt. Mit der Masse eines Objekts ist heute stets diese Größe gemeint.

Die geschwindigkeitsunabhängige Masse verknüpft die Energie und den Impuls (die von der Geschwindigkeit bzw. dem Bezugssystem abhängen) über die Beziehung

$\backslash left(m\_0\; c^2\backslash right)^2\; =\; E^2\; -\; \backslash vec\{p\}\backslash ,^2\; c^2.$

Massenerhaltung

Da die Masse als Energieform betrachtet wird, ist die Summe der Massen aller Teilchen in einem System nach der speziellen Relativitätstheorie nicht erhalten. So können sich zum Beispiel ein Elektron und ein Positron, die beide Masse besitzen, zu zwei Photonen (also Lichtquanten) vernichten, die masselos sind.

Für wechselwirkende Teilchen ist die Definition der Einzelmassen $m\_i$ ungebräuchlich, da die Wechselwirkung die Energien beeinflusst. Um diese Problematik zu vermeiden, werden die Kräfte zwischen den Teilchen in diesem Kapitel als sehr klein angenommen.

Es lässt sich für ein abgeschlossenes Vielteilchensystem aus Gesamtenergie und Gesamtimpuls eine Erhaltungsgröße $M$ mittels

$M\; c^2\; =\; \backslash sqrt\{\backslash left(\backslash sum\_i\; E\_i\; \backslash right)^2\; -\; \backslash left(\backslash sum\_i\; \backslash vec\{p\}\_i\backslash right)^2\; c^2\}$

$\backslash sum\_i\; m\_i\; c^2\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash sqrt\{\backslash left(E\_i\; \backslash right)^2\; -\; \backslash left(\backslash vec\{p\}\_i\backslash right)^2\; c^2\}\; \backslash le\; M\; c^2$

$M\backslash vert\_\{\backslash vec\{p\}\_i^2\; c^2\; \backslash ll\; E\_i^2\}\; =\; \backslash sum\_i\; m\_i$.

$M$ ist dabei die Größe, die man als Masse des Systems misst.

Äquivalenz von Masse und Energie, Massenvielfache

Seit Albert Einstein weiß man, dass die Masse einer Energie äquivalent ist und daher in andere Energieformen umgewandelt werden kann. Außer bei der Kernspaltung, der Kernfusion und bei verschiedenen Experimenten der Elementarteilchenphysik ist jedoch die mit Energieänderungen des Systems einhergehende Massendifferenz weit unterhalb der Messgenauigkeit.

Ein anschauliches Beispiel ist die Betrachtung von Massenvielfachen:

In der klassischen Mechanik gilt: Werden $n$ Körper von gleicher Masse zusammengefügt, entsteht ein Körper $n$-facher Masse. Die Summe aller Massen ist eine Erhaltungsgröße.

In der Relativitätstheorie gilt dies aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie nicht mehr. Ziehen sich zwei Körper an, so ist ihre gemeinsame Masse kleiner als die Summe ihrer Einzelmassen. Dies liegt daran, dass ihre Energie aufgrund der Anziehung sinkt, wenn sie sich einander annähern. Dies kann heuristisch so verstanden werden, dass Masse in Bindungsenergie umgewandelt wird. Dies führt dazu, dass sowohl die Einzelmassen als auch die invariante Masse des Systems absinken. Dadurch ist die Masse des Systems kleiner als die Massen der Bestandteile, wenn man sie weit voneinander entfernt.

Dieser Effekt tritt bei elektrisch neutralen Körpern immer auf, da zwischen Körpern mit Masse immer die Gravitation als Anziehungskraft wirkt. Für die Gravitation ist dieser Effekt jedoch weit jenseits der Messungenauigkeit. Die Masse eines Atomkerns ist dagegen deutlich kleiner als die Summe der Masse der Nukleonen wäre, aus denen der Kern zusammengesetzt ist, wenn die Nukleonen nicht wechselwirken würden. Dieser Massenunterschied ist so groß, weil die Nukleonen sich aufgrund der viel stärkeren starken Kernkraft anziehen. Man spricht vom Massendefekt des Kerns.

Dieser Effekt geht auf die Definition der Ruhemasse über

$\backslash left(m\_0\; c^2\backslash right)^2\; =\; E^2\; -\; \backslash vec\{p\}\backslash ,^2\; c^2.$

Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

Das Äquivalenzprinzip ist Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie (ART). In ihr wird die Bewegung der Körper im Gravitationsfeld nicht durch eine Kraft, sondern durch die Krümmung der Raumzeit beschrieben. Jeder gravitierende Körper bewegt sich in der Raumzeit geradeaus (genauer: auf einer Geodäte).

Aus der Grundgleichung der ART $G\_\{ik\}\; \backslash sim\; T\_\{ik\}$ folgt, dass ein Teil der Krümmung der Raumzeit, beschrieben durch den Einstein-Tensor $G\_\{ik\}$, proportional zum Energie-Impuls-Tensor $T\_\{ij\}$ ist. Dieser hängt von der in dem betrachteten Raum befindlichen Materie ab und in seine Definition geht unter anderem die Energie und der (Strahlungs-)Druck der betrachteten Materie ein.

Die Definition einer Masse ist in der ART in stark gekrümmten Raumzeiten nicht mehr ohne weiteres möglich und es existieren verschiedene mögliche Definitionen. Eine häufig verwendete Definition ist die ADM-Masse, die für asymptotisch flache Raumzeiten anwendbar ist. Eine Krümmung des Vakuums wird hier mit in Betracht gezogen, Schwarze Löcher haben zum Beispiel eine ADM-Masse.

Eine Reduktion der ART auf den newtonschen Fall erhält man bei einer Näherung für geringe Krümmung.

Ursprung der Massen der Elementarteilchen

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird der Ursprung der Massen der Elementarteilchen durch den Higgs-Mechanismus erklärt. Dieser beinhaltet die Wechselwirkung aller massiven Elementarteilchen mit dem so genannten Higgs-Boson, einem bisher noch unbeobachteten skalaren Elementarteilchen.

Die Massen der Baryonen, wozu auch Proton und Neutron gehören, sind viel größer als die Massen der Quarks, aus denen sie bestehen und werden dynamisch erklärt (das heißt aus der Wechselwirkung der Quarks). Ansätze zur Berechnung liefern Gitterrechnungen in der QCD.

Die Baryonen machen den größten Teil der Masse sichtbarer Materie aus.

Sprachgebrauch: Masse und Gewicht

Vielfach werden im alltäglichen Sprachgebrauch die Begriffe Masse und Gewicht vermischt. Dadurch entsteht vielfach ein falscher Eindruck von Masse, der eine Veränderlichkeit der Masse und eine Konstanz des Gewichtes vortäuscht. Als Beispiele für diese beiden Sinnentstellungen sollen hier zwei verbreitete Annahmen dargestellt und die Fehler in der Begrifflichkeit aufgezeigt werden.

„Auf dem Mond ist die Anziehungskraft nur ein Sechstel so groß, das heißt, ein 90 kg schwerer Mensch würde dort nur 15 kg wiegen.“ Der Fehler ist, dass die Masseneinheit Kilogramm als Einheit des Gewichts, also einer Kraft verwendet wird, die korrekt durch die Einheit Newton beschrieben werden müsste. Dadurch, dass die Einheit der Masse verwendet wird, entsteht der falsche Eindruck, die Masse sei ortsabhängig.

„Was ist schwerer, ein Kilogramm Federn oder ein Kilogramm Eisen?“ Diese verbreitete Scherzfrage wirft durch ihre unpräzise Formulierung Probleme auf. Kilogramm ist die Einheit der Masse, der Ausdruck 'Was ist schwerer' bezeichnet jedoch die Frage nach dem Gewicht (wieviel eine Waage anzeigt). Man kann natürlich das Kilogramm Federn auf dem Mond wiegen und das Kilogramm Eisen auf der Raumstation ISS. Dann wäre ein Kilogramm Eisen „leichter“, hätte also ein kleineres Gewicht, nämlich gar keines. Geht man davon aus, dass der Fragesteller meint, dass das Gewicht beider Massen am selben Ort auf der Erde gemessen wird, hat man noch immer nicht alle Probleme umgangen.

Wenn man nämlich das Gewicht dieser Massen mit einer Waage in ganz normaler Luft zu messen versucht, misst man nicht nur das reine Gewicht, sondern auch alle anderen Kräfte, die auf die beiden Massen wirken. Dabei sorgt die Auftriebskraft der Luft dafür, dass die Federn wegen des größeren Volumens (mehr Luft) „leichter“ sind, also die Waage ein kleineres Gewicht anzeigt. Wenn man annimmt, dass der Fragesteller nicht voraussetzt, dass die Messung im Vakuum stattfindet, ist die Antwort 'gleich schwer' auf diese Scherzfrage falsch. Ein Kilogramm Federn ist leichter als ein Kilogramm Eisen, wenn man sie auf der Erde in Luft wiegt.

Der Denkfehler liegt darin, dass man Mengen Eisen und Federn meint, bei denen eine Waage denselben Messwert für die (Gewichts-)Kraft anzeigt. Da Waagen jedoch die Kraft meist nicht in Newton angeben, sondern fälschlicherweise in Kilogramm, entsteht der falsche Eindruck, sie würden Massen messen. Das „Kilogramm“, das der Fragesteller meint, entspricht also nicht wirklich der Masse von einem Kilogramm, sondern einer Kraft in Richtung Erdmitte von 9,81 Newton. Die Annahme, die die Grundlage der Scherzfrage darstellt, diese Mengen müssten das gleiche Gewicht haben, weil sie die gleiche Masse haben, und die von einer Waage gemessene Kraft sei also gewissermaßen eine konstante Größe, ist also falsch.

Siehe auch

• Kraft (Physik)
• Masse hat als Begriff außerhalb der Physik auch noch andere Bedeutungen.
• Liste mit Größenordnungen von Massen
• Äquivalenzprinzip (Physik)

Literatur

• ,

Weblinks

• Seite der PTB zum Kilogramm (mit Hinweisen auf Projekte zur Neudefinition)
• Versuche und Aufgaben zur Masse