Vierervektor

Ein Vierervektor ist ein Vektor, oder genauer ein Tensor 1. Stufe, in der 4-dimensionalen Raumzeit der relativistischen Physik, dessen vier Koordinaten sich entsprechend der Lorentztransformation kontravariant ändern, wenn er in ein anderes Inertialsystem transformiert wird. Der moderne geometrische Formalismus der speziellen Relativitätstheorie wird über Vierervektoren formuliert.

Schreibweise

Man verwendet die Abkürzung $a^\backslash mu=(a^0,a^1,a^2,a^3)$ für die kontravariante und $a\_\backslash mu=(a\_\{0\},-a\_\{1\},-a\_\{2\},-a\_\{3\})$ für die kovariante Darstellung eines Vierervektors. Es werden meist griechische Indices verwendet, wenn diese die Werte 0, 1, 2, 3 durchlaufen. Dabei werden die Buchstaben $\backslash mu,\backslash nu$ in der Relativitätstheorie stets bevorzugt geschrieben.

Ortsvektor

Der Ortsvektor oder Orts-Vierervektor eines Teilchens beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate t als auch die Raumkoordinaten $\backslash mathbf\; x=(x,y,z)$ eines Ereignisses. Die Zeitkoordinate wird in der Relativitätstheorie jedoch mit der Lichtgeschwindigkeit c als $ct$ definiert, so dass sie eine Länge repräsentiert und sie damit die gleiche Dimension wie die Raumkoordinaten besitzt.

In kontravarianter Darstellung lautet der Orts-Vierervektor

$x^\backslash mu=(ct,x,y,z)=(ct,\backslash mathbf\; x)$.

Über den metrischen Tensor $\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}$ der speziellen Relativitätstheorie, der Minkowski-Metrik, kann ein kontravarianter Vierervektor durch

$x\_\backslash mu=\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}x^\backslash nu$

in einen kovarianten Vierervektor transformiert werden. Dieser hat dann die Form

$x\_\backslash mu=(ct,-x,-y,-z)=(ct,-\backslash mathbf\; x)$.

Dass $x^\backslash mu$ ein Vierervektor ist, ergibt sich daraus, dass er ein Koordinatenvektor zu einer orthonormalen Basis des Minkowski-Raums ist und sich dementsprechend kontravariant mittels einer Lorentz-Transformation bei Basiswechsel ändert. Über die Definition der Metrik

$\backslash mathrm\{d\}s^2=\; \backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash mathrm\; d\; x^\backslash mu\backslash ,\backslash mathrm\; d\; x^\backslash nu$

ergibt sich die Metrik der flachen Raumzeit zu

$\backslash mathrm\; d\; s^2=\; (\backslash mathrm\; d\; x^0)^2-(\backslash mathrm\; d\; x^1)^2-(\backslash mathrm\; d\; x^2)^2-(\backslash mathrm\; d\; x^3)^2\; =\; c^2\; \backslash mathrm\; d\; t^2-\backslash mathrm\; d\; x^2-\backslash mathrm\; d\; y^2-\backslash mathrm\; d\; z^2$.

Die Raumkoordinaten und die Zeitkoordinate haben in der Relativitätstheorie stets verschiedene Vorzeichen. Bei besonderen Prozessen, wie etwa dem Eintritt in ein schwarzes Loch, wechseln die Vorzeichen in der Metrik, die das schwarze Loch beschreibt (z. B. die Schwarzschildmetrik). Dies bedeutet nichts anderes, als dass Raum und Zeit ihre Bedeutung vertauschen.

Abgeleitete Vierervektoren

Aus dem Orts-Vierervektor lassen sich weitere Vierervektoren ableiten und definieren.

Vierergeschwindigkeit

Der Vierervektor der Geschwindigkeit $(v^\backslash mu)$ ergibt sich durch Differentiation des Ortsvektors $(x^\backslash mu)$ nach der Eigenzeit $\backslash tau$. Diese ist über die Zeitdilatation definiert

$\backslash mathrm\; d\; \backslash tau\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash gamma\}\; \backslash mathrm\; d\; t$,

wobei $\backslash gamma$ der Lorentzfaktor ist. Daraus ergibt sich die Vierergeschwindigkeit zu

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\; x^\backslash mu\}\{\backslash mathrm\; d\; \backslash tau\}\; =\backslash gamma\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; d\; t\}(ct,x,y,z)=\backslash gamma(c,\backslash dot\; x,\backslash dot\; y,\backslash dot\; z)=\backslash gamma(c,\backslash mathbf\; v)$.

Das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit mit sich selbst ist

$v\_\backslash mu\; v^\backslash mu\; =\; \backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}v^\backslash nu\; v^\backslash mu\backslash \; =\; \backslash gamma^2\; (c^2-v^2)=\; c^2$.

Viererimpuls

Der Viererimpuls wird analog zum klassischen Impuls definiert

$p^\backslash mu=m\_0\; v^\backslash mu=\; (\backslash gamma\; m\_0\; c,\; \backslash gamma\; m\_0\; \backslash mathbf\; v),$

wobei $m\_0$ die Ruhemasse des Körpers ist. Mit der Äquivalenz von Masse und Energie $E\; =\; \backslash gamma\; m\_0\; c^2$ kann der Viererimpuls als

$p^\backslash mu=\backslash left(E/c,\; \backslash mathbf\; p\backslash right)$

geschrieben werden. Hierbei ist $\backslash mathbf\; p=\backslash gamma\; m\_0\backslash mathbf\; v$ der relativistische Impuls, der sich vom klassischen Impulsvektor um einen Faktor $\backslash gamma$ unterscheidet. Da der Viererimpuls die Energie und den räumlichen Impuls vereinigt, wird er auch als Energie-Impuls-Vektor bezeichnet.

Viererkraft und Bewegungsgleichung

Wie bereits beim Viererimpuls kann eine Viererkraft analog zur entsprechenden newtonschen Größe definiert werden als

$F^\backslash mu=\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\; p^\backslash mu\}\{\backslash mathrm\; d\; \backslash tau\}\; =\; \backslash gamma\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\; p^\backslash mu\}\{\backslash mathrm\; d\; t\}$.

Dies ist die Bewegungsgleichung der speziellen Relativitätstheorie. Sie beschreibt beschleunigte Bewegungen in einem Inertialsystem.

Weiter kann die Viererkraft mit der newtonschen Kraft in Beziehung gesetzt werden

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\; p^\backslash mu\}\{\backslash mathrm\; d\; t\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash gamma\}\; F^\backslash mu\; \backslash Rightarrow\; \backslash mathbf\{F\_N\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash gamma\}\; \backslash mathbf\; F,$

wobei $\backslash mathbf\{F\_N\}$ die newtonsche Kraft und $\backslash mathbf\; F$ der räumliche Teil der Viererkraft ist. Diese ist damit definiert als

$F^\backslash mu=(F^0,\backslash mathbf\; F)=(F^0,\backslash gamma\; \backslash mathbf\; F\_N)$.

Weitere Vierervektoren

• In der Elektrodynamik kann man das elektrische Potential $\backslash Phi$ und das (magnetische) Vektorpotential $\backslash mathbf\{A\}$ zu einem Vierervektor zusammenfassen.

$A^\{\backslash mu\}=\backslash left(\backslash frac\{\backslash Phi\}\{c\},\backslash mathbf\{A\}\backslash right)$

• Dies gilt auch für die elektrische Ruheladungsdichte $\backslash rho\_0$ und den elektrischen Stromdichte $\backslash mathbf\{J\}$.

$J^\{\backslash mu\}=\; \backslash rho\_0\; v^\{\backslash mu\}\; =\backslash gamma\; \backslash left(c\backslash rho\_0,\backslash mathbf\{J\}\backslash \; \backslash right)$

• Der Vierergradient hat die Gestalt

$\backslash partial^\backslash mu=\backslash left(\backslash partial\_\{ct\},-\backslash mathbf\{\backslash nabla\}\; \backslash right)=\backslash left(\backslash partial\_\{ct\},-\backslash partial\_x,-\backslash partial\_y\; ,-\backslash partial\_z\; \backslash right)$.

Eine weitere Anwendung der Vierervektoren (insbesondere in der Gestalt von Differentialoperatoren) findet man in der relativistischen Quantenmechanik.

Siehe hierzu: Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung.

Vektoralgebra

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt von Vierervektoren wird folgendermaßen definiert:

$A^\backslash mu\; \backslash cdot\; B\_\backslash mu\; =\; A^\backslash mu\; B^\backslash nu\; \backslash eta\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; A\_\backslash nu\; \backslash cdot\; B^\backslash nu\; =\; A\_t\; B\_t\; -\; A\_x\; B\_x\; -\; A\_y\; B\_y\; -\; A\_z\; B\_z$

Dies ist kein Skalarprodukt im mathematischen Sinne, da es nicht positiv definit ist.

Minkowski-Abstand

Das Abstandsquadrat zweier Raum-Zeit-Punkte $P\_\{\backslash mu\}$ und $Q\_\{\backslash nu\}$ wird durch

$s^2\; =\; (Q\_\{\backslash mu\}-P\_\{\backslash nu\})^2\; =\; (Q\_t-P\_t)^2\; -\; (Q\_x-P\_x)^2\; -\; (Q\_y-P\_y)^2\; -\; (Q\_z-P\_z)^2$

definiert. Entsprechend das Quadrat der Länge eines Ortsvektors $P\_\{\backslash mu\}$ als $P\_\{\backslash mu\}^2$.

Ist $s^2$ positiv, so spricht man von einem „zeitartigen“ Abstand, ist es negativ, nennt so spricht man von einem „raumartigen“ Abstand. Falls $s^2$ gleich Null ist, heißt der Abstand „lichtartig“.

Ein zeitartiger Vektor kann zwei kausal zusammenhängende Ereignisse verbinden, z. B. im Minkowski-Raum zwei Ereignisse auf der Weltlinie eines unbeschleunigten Körpers. $s^2$ ist dann das Quadrat der zwischen diesen Ereignissen für diesen Körper verstrichenen Eigenzeit.

Ein raumartiger Vektor kann zwei räumlich getrennte Punkte auf einem Körper verbinden. $\backslash sqrt$ >