Volumen

Geschichte

Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auch Stereometrie) stammen schon aus dem frühen Ägypten. Das Moskauer Papyrus ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr 1850 v. Chr datiert. Unter anderem sind hier die Formeln für die Bestimmung der Volumina für Rechteckkegel beschrieben. Die Bestimmung wurde durch Analyse und anschließender Synthese erreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert.

Messmethoden

Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:

Auslitern: Der Körper wird mit Sand oder Wasser gefüllt, dessen Menge anschließend in einem bekannten Gefäß bestimmt wird; somit lässt sich bei Gefäßen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen.
Wasserverdrängung: Der Körper wird in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß eingetaucht. Das übertretende Wasser wird anschließend in einem bekannten Gefäß gemessen.
Bei einem Körper mit einem bekannten spezifischen Gewicht lässt sich das Volumen auch erwiegen.

Weiteres siehe im Abschnitt Volumensmessung im Artikel Messgerät.

Algebraische Berechnung

In der Theorie kann aus bekannten Ausmaßen und Form des Körpers ebenfalls das Volumen durch Rechnung nach für den entsprechenden Körper gültigen Formeln bestimmt werden:

Beispiele:

Würfel

Würfel mit der Kantenlänge a:
$V = a\cdot a\cdot a = a^3$
Quader mit den Kantenlängen a, b und c:
$V = a\cdot b\cdot c$
Kugel mit dem Radius r:
$V = {{4}\over{3}} \pi \cdot r^3$
Rotationskörper der Funktion f(x) bei Rotation um die x-Achse:
$V = \pi \cdot \int_ {a}^b (f(x))^2\mathrm{d}x$
Rotationskörper um die y-Achse:
$V = \pi \cdot \int_ {a}^b x^2 \mathrm{d}y$
Körper, bei Schnitten orthogonal zur x-Achse: Hat ein Körper die stetige Querschnittsfunktion x → f(x) mit x im Intervall(a;b) dann hat er das Volumen:
$V = \int_ {a}^b f(x)\mathrm{d}x$
Zylinder mit der Grundfläche A und der Höhe h:
$V = A\cdot h$
Kegel mit der Grundfläche A und der Höhe h:
$V = A\cdot \frac{h}{3}$
beliebiges trianguliertes 3-dimensionales Objekt:
$V = {{1}\over{3}} \cdot \sum_{i=1}^{n} {{A_i}\over{3}} \cdot ({N_i}\cdot \sum_{j=1}^{3}v_{i,j})$
wobei n für die Anzahl der Dreiecke steht; A die Fläche, N die normierte Normale und v die Orstvektoren der Punkte eines Dreiecks sind
Das Volumen eines Sees errechnet man durch: d * h (Tiefe)

Verallgemeinerung

Man kann ein Volumen auch über mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten definieren, siehe dazu auch Volumenform. Nach dieser Verallgemeinerung ist das Volumen eines Teilraumes des zweidimensionalen euklidischen Raumes gleich seinem Flächeninhalt im dreidimensionalen euklidischen Raum.
In höherdimensionalen euklidischen Räumen würde man intuitiv rechnen (das Volumen eines n-dimensionalen Hyperwürfels mit Kantenlänge a beträgt also $a^n$ ).

Das einfachste polyedrische Volumen in einem n-dimensionalen Raum ist der Simplex, der von n+1 Punkten aufgespannt wird.

Sonstiges

Auch außerhalb der Mathematik findet sich der Begriff Volumen, z. B. im

Haarvolumen (Fülle des Haars)
Teil (eigentlich: „Band“) eines mehrbändigen Werkes im (Buchwesen), abgeleitet vom englischen „volume“
Menge von Daten in Bezug auf Transferkapazität oder Speicherplatz (Informatik)
Umsatzmenge von Wertpapieren an der Börse
Zu den Grenzen des Volumenbegriffs der Mathematik bei Verwendung in der tatsächlichen Welt siehe Banach-Tarski-Paradoxon und Maßtheorie
In der Transportbranche (bei voluminösen Sendungen wird auf das Volumengewicht abgerechnet, frachtpflichtig ist z. B. in der Luftfracht 167 kg/m2)