Aksiom
Axiom
Axiome
Aksiom
Axiom
Aksioomat ja matematiikka
Matematiikassa mikä tahansa ristiriidaton lausejoukko voidaan asettaa aksioomajärjestelmäksi. Toivottavaa on, että aksioomia ei voida johtaa toisista aksioomista vaan että aksioomajoukko on pienin mahdollinen peruskäsitteiden määrittelemiseen riittävä lausejoukko; näin ollen aksioomia ei todisteta.
Toivottavaa on myös, että aksioomista voidaan johtaa mahdollisimman paljon lauseita. Aksioomien lisäksi tarvitaan päättelysääntöjä. Matematiikassa päättelysääntöinä käytetään enimmäkseen logiikan päättelysääntöjä. Myös logiikka on aksiomatisoitu. On myös eräitä yksinkertaisia logiikan järjestelmiä, jotka tulevat toimeen pelkillä päättelysäännöillä (Suppesin kehittämä logiikka).
Esimerkiksi geometriassa on käytössä paralleeliaksiooma eli yhdensuuntaisuusaksiooma: annetun pisteen kautta voidaan piirtää täsmälleen yksi annetun suoran suuntainen suora. Konkreettisemmin: jos ojennan käteni suoraksi johonkin suuntaan, voidaan nenäpääni kautta kuvitella kulkemaan yksi ja tasan yksi suora, joka on tarkasti käteni suuntainen. Edellä oleva aksiooma tuntuu mielekkäältä ja 'ainoalta oikealta', mutta myös muita yhdensuuntaisuuskäsitteitä on matematiikassa kehitetty. Onkin kehitetty esimerkiksi geometrioita, jotka eivät pohjaudu paralleeliaksioomaan. Tällainen epäeuklidinen geometria ei esimerkiksi sisällä lausetta 'kolmion kulmien summa on 180 astetta'.
Esimerkki tällaisestä tilanteesta: Oletetaan että kolmio on piirretty kaksiulotteiselle tasolle jotka kaartuvat aiheuttaen sen että tasosta tulee pallo. Täten tason/pallon ulkopuolelle piirretty kolmio on kulmien summiltaan yli 180 astetta ja sisäpuolella alle 180 astetta.
Toisaalta reaalilukuihin liittyy myös useita aksioomia. Näitä ovat esimerkiksi vaihdannaisuuslaki, liitännäisyyslaki, nolla-alkio, vasta-alkion olemassaolo sekä säilymislait.
Katso myös
