Boghossian aloitti aikuisten tasolla vuonna 1988 Olympique Marseillen reservijoukkueessa. Kauden 1992-93 hän pelasi FC Istresissä ja seuraavan kauden Olympique Marseillen ykkösjoukkueessa, joka oli hänen ensimmäinen kautensa pääsarjatasolla. Sieltä Boghossian siirtyi vuonna 1994 Italian Serie A:han SSC Napolin joukkueeseen. Kauden 1997-98 Boghossian pelasi UC Sampdoriassa, jonka jälkeen siirtyi Parma AC:hen, jossa tuli hänen seurajoukkueuransa parhaat saavutukset. Hän voitti vuonna 1999 Parma AC:ssä kolme cup-mestaruutta merkittävimpänä UEFA Cupin voitto. Boghossian lopetti uransa kauteen 2002–2003, jolloin hän pelasi Espanjan Primera Divisiónin Espanyolissa.
Ranskan jalkapallomaajoukkueessa Alain Boghossian esiintyi 26 kertaa tehden kaksi maalia. Suurin saavutus oli maailmanmestaruuden voitto vuoden 1998 MM-kisoissa. Vuoden 2000 EM-kisat jäivät häneltä väliin loukkantumisen vuoksi. Boghossian oli vielä mukana Ranskan joukkueessa vuoden 2002 MM-kisoissa.