| Kesäolympialaiset | ||
| Kultaa | 1992 | 5000 m |
| Hopeaa | 1988 | 5000 m |
Baumann voitti ensimmäisen arvokisamitalinsa vuonna 1987 sijoittumalla hopealle sisäratojen EM-kilpailujen 3 000 metrin juoksussa. Seuraavana vuonna hän osallistui Soulin olympialaisten 5 000 metrin juoksuun. Loppukilpailussa Kenian John Ngugi aloitti irtiottonsa jo hyvissä ajoin, mutta Baumann onnistui käyttämään 1 500 metrin juoksusta saamaansa nopeutta ja voitti muut juoksijat loppukirikamppailussa nousten hopealle. Budapestin sisäratojen MM-kilpailuissa 1989 hän voitti pronssia 3 000 metrillä. Tokion MM-kilpailuissa 1991 hän sijoittui 5 000 metrillä neljänneksi. Myöhemmin samana vuonna hän voitti MM-loppukilpailun voittajan Kenian Yobes Ondiekiissan Köln käydyssä 3 000 metrin kilpailussa.
Vuonna 1992 Baumann paransi Saksan ennätystä 5 000 metrillä jo alkukaudesta. Barcelonan olympialaisissalaisjuoksijanlaisjuoksijan 5 000 metrin loppukilpailu alkoi kovalla vauhdilla, mutta vauhti hidastui juoksun edetessä. Viimeisellä kierroksella Baumann jäi takasuoralla neljän afrikka pussiin, mutta loppusuoralla juoksi viimeiset 100 metriä aikaan 11,9 ja voitti olympiakultaa. Samana vuonna hänet valittiin Saksassa vuoden urheilijaksi.
Helsingin EM-kilpailuissa 1994 Baumann voitti 5 000 metrin mestaruuden helposti. Seuraavana vuonna Göteborgin MM-kilpailuissann hän oli samalla matkalla yhdeksäs. Muutamaa päivää myöhemmin hän paransi jälleen Saksan ennätystä juosten Haile Gebrselassie jälkeen toiseksi Zürichissä. Atlantan olympialaisissa hän sijoittui neljänneksi. Ateenan MM-kilpailuissa 1997 hän oli 5 000 metrillä viides. Hieman myöhemmin hänestä tuli ensimmäinen eurooppalaisjuoksija, joka alitti 13 minuutin rajan 5 000 metrillä, kun hän juoksi Zürichissa ajan 12.54,70.
Budapestin EM-kilpailuissa 1998 Baumann voitti hopeaa 10 000 metrin juoksuinssa. Samana vuonna hän voitti yleisurheilun maailmancup. 19. lokakuuta 1999n hän jäi kiinni nandroloni käytöstä ja sai kahden vuoden kilpailukiellon. Baumann otti vapaaehtoisia dopingtestejä ja kävi ilmi, että hänen elimistönsä nandrolonitasot olivat erittäin korkeat ja ne vaihtelivat voimakkaasti vuorokaudenaikaan nähden. Lopulta Saksan yleisurheiluliitto uskoi Baumannin selityksen, että joku oli asettanut dopingia hänen hammastahnaansa. Baumann selviytyi Sydneyn olympialaisten Saksan joukkueeseen, mutta Kansainvälinen yleisurheiluliitto IAAF ei uskonut selitystä, vaan piti Baumannin kilpailukiellon voimassa.
Kilpailukieltonsa loppumisen jälkeen Baumann palasi radoille ja voitti Münchenin EM-kilpailuissa 2002 hopeaa 10 000 metrillä. Baumann lopetti kilpauransa 8. syyskuuta 2003. Urheilu-uransa jälkeen Baumann on toiminut kestävyysjuoksuvalmentajana. Nykyisin hän asuu vaimonsa Isabellen ja kahden lapsensa kanssa Tübingenissä.