Epäeuklidinen geometria

Epäeuklidinen geometria viittaa sellaisiin euklidisen geometrian tyyppisiin geometrioihin, joissa euklidisen geometrian viides aksiooma, paralleeliaksiooma, ei ole voimassa. Epäeuklidisia geometrioita ovat muun muassa hyperbolinen ja elliptinen geometria.

Olennainen ero euklidisen ja epäeuklidisen geometrian välillä on yhdensuuntaiset suorat. Euklidisessa geometrialla pisteestä A voidaan piirtää vain yksi suoran l kanssa yhdensuuntainen suora, joka kulkee A:n kautta. Hyperbolisessa geometriassa A:n kautta voidaan piirtää äärettömän monta A:n kautta kulkevaa, l:n kanssa yhdensuuntaista suoraa. Elliptisessä geometriassa yhdensuuntaisia suoria ei ole.

Toinen tapa kuvailla näiden kolmen geometrian eroja on seuraava: tarkastellaan kahta suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmatta suoraa vastaan. Euklidisessa ja hyperbolisessa geomeriassa nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaiset. Euklidisessa geometriassa suorat ovat yhtä kaukana toisistaan, mutta hyperbolisessa geometriassa ne 'kaartuvat toisistaan poispäin', jolloin käyrien pisteiden välinen etäisyys kasvaa. Elliptisessä geometriassa suoran kaartuvat lähemmäksi toisiaan ja viimein leikkaavat toisensa. Siten elliptisessä geometriassa ei ole yhdensuuntaisia suoria.