Eulerin lause (funktioteoria)

Eulerin lause tai Eulerin kaava (nimetty Leonhard Eulerin mukaan) on kompleksianalyysiin liittyvä matemaattinen kaava, joka koskee kompleksilukujen eksponenttifunktion ja trigonometrian välistä yhteyttä.

Eulerin lause kertoo, että mille tahansa reaaliluvulle x pätee:

$e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x\; \backslash ,$

Tässä kulma x on radiaaneina.

Historia

Eulerin lauseen todisti ensimmäisen kerran Roger Cotes vuonna 1714, mutta vasta Leonhard Eulerin lausetta koskeva työ vuonna 1748 toi sen lopullisesti matemaatikkojen tietoisuuteen. Kompleksilukujen esittämistä tasossa ei kuitenkaan 1700-luvulla vielä tunnettu, joten kumpikaan miehistä ei huomannut lauseen geometristä tulkintaa.

Huomioitavaa

Geometrinen tulkinta

Eulerin lause voidaan tulkita siten, että funktio e^ix piirtää yksikköympyrän kompleksitasolle, kun x kulkee reaalilukujoukon läpi. Tässä x on kulma, jonka kompleksitason pisteeseen origosta piirretty viiva muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Kulmaa mitataan tässä yhteydessä radiaaneina. Eulerin lause pätee ainoastaan, mikäli funktiot sin x ja cos x on määritelty radiaaneille eikä asteille.

Eulerin lause muodostaa vahvan yhteyden analyysin sekä trigonometrian välille. Lausetta käytetään hyväksi kompleksilukujen napakoordinaattiesityksessä, ja se antaa mahdollisuuden logaritmifunktion määrittelyyn kompleksiluvuille.

Eksponenttifunktion laskukaavoista

$e^\{a\; +\; b\}\; =\; e^a\; \backslash cdot\; e^\{b\}$

ja

$(e^a)^b\; =\; e^\{a\; b\}\; \backslash ,$

voidaan johtaa Eulerin lauseen avulla useita trigonometristen funktioiden lainalaisuuksia. Trigonometriset funktiot voidaan jopa määritellä kompleksilukujen eksponenttifunktion laajennuksina (vertaa hyperbolisten funktioiden kaavoihin):

$\backslash cos\; x\; =\; \{e^\{ix\}\; +\; e^\{-ix\}\; \backslash over\; 2\}$

$\backslash sin\; x\; =\; \{e^\{ix\}\; -\; e^\{-ix\}\; \backslash over\; 2i\}$

Eulerin identiteetti

Sijoittamalla

x=$\backslash mathbf\{\backslash pi\}$

saa Eulerin lause kuuluisan Eulerin identiteetiksi kutsutun muodon

$\backslash mathbf\{e^\{\backslash pi\; i\}\; +\; 1\; =\; 0\},$

jota on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi. Se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin ja numerojärjestelmämme perusluvuista luvut 1 ja 0. Siinä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen.

Todistus Taylorin sarjan avulla

Funktiot e^x, cos(x) ja sin(x) (olettaen, että x on reaalinen) voidaan Taylorin sarjan avulla kirjoittaa:

$e^x\; =\; 1\; +\; x\; +\; \backslash frac\{x^2\}\{2!\}\; +\; \backslash frac\{x^3\}\{3!\}\; +\; \backslash cdots$

$\backslash cos\; x\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{2!\}\; +\; \backslash frac\{x^4\}\{4!\}\; -\; \backslash frac\{x^6\}\{6!\}\; +\; \backslash cdots$

$\backslash sin\; x\; =\; x\; -\; \backslash frac\{x^3\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{x^5\}\{5!\}\; -\; \backslash frac\{x^7\}\{7!\}\; +\; \backslash cdots$

Kompleksisille z määritellään vastaavat funktiot Taylorin sarjan avulla korvaten x:t muuttujalla iz. Havaitaan, että

$e^\{iz\}\; =\; 1\; +\; iz\; +\; \backslash frac\{(iz)^2\}\{2!\}\; +\; \backslash frac\{(iz)^3\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{(iz)^4\}\{4!\}\; +\; \backslash frac\{(iz)^5\}\{5!\}\; +\; \backslash frac\{(iz)^6\}\{6!\}\; +\; \backslash frac\{(iz)^7\}\{7!\}\; +\; \backslash frac\{(iz)^8\}\{8!\}\; +\; \backslash cdots$

$=\; 1\; +\; iz\; -\; \backslash frac\{z^2\}\{2!\}\; -\; \backslash frac\{iz^3\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{z^4\}\{4!\}\; +\; \backslash frac\{iz^5\}\{5!\}\; -\; \backslash frac\{z^6\}\{6!\}\; -\; \backslash frac\{iz^7\}\{7!\}\; +\; \backslash frac\{z^8\}\{8!\}\; +\; \backslash cdots$

$=\; \backslash left(\; 1\; -\; \backslash frac\{z^2\}\{2!\}\; +\; \backslash frac\{z^4\}\{4!\}\; -\; \backslash frac\{z^6\}\{6!\}\; +\; \backslash frac\{z^8\}\{8!\}\; +\; \backslash cdots\; \backslash right)\; +\; i\backslash left(\; z\; -\; \backslash frac\{z^3\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{z^5\}\{5!\}\; -\; \backslash frac\{z^7\}\{7!\}\; +\; \backslash cdots\; \backslash right)$

$=\; \backslash cos\; (z)\; +\; i\backslash sin\; (z)\; \backslash ,$