Hermiten polynomi

Hermiten polynomit ovat joukko ortogonaalisia polynomeja. Käytännön sovelluksissa niihin törmää esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa ja kvanttimekaniikassa. Hermiten polynomien määrittely eroaa hiukan riippuen siitä, onko materiaalin kirjoittaja tottunut matematiikassa vai fysiikassa käytettyyn esitysmuotoon. Tässä esitetty käsittely vastaa fyysikoiden käyttämää muotoilua. Nämä saadaan muutettua 'matemaatikkomuotoon' melko yksinkertaisesti. Polynomit on nimetty ranskalaisen matemaatikon, Charles Hermiten mukaan.

Hermiten polynomeja saadaan Hermiten differentiaaliyhtälön

$\backslash frac\{d^2y\}\{dx^2\}\; -\; 2x\backslash frac\{dy\}\{dx\}\; +\; 2ny\; =\; 0$

ratkaisuna, kun yhtälön ratkaisuun käytetty sarjakehitelmä katkeaa $n$:nnen kertaluvun termin jälkeen. Viisi ensimmäistä Hermiten polynomia ovat

$H\_0(x)=1\backslash ,$

$H\_1(x)=2x\backslash ,$

$H\_2(x)=4x^2-2\backslash ,$

$H\_3(x)=8x^3-12x\backslash ,$

$H\_4(x)=16x^4-48x^2+12\backslash ,$

Polynomien matemaatikko- ja fyysikkomuotojen välillä on yhteys

$H\_n^\backslash mathrm\{fys\}(x)\; =\; 2^\{n/2\}H\_n^\backslash mathrm\{mat\}(\backslash sqrt\{2\}\backslash ,x)\backslash ,$.

Hermiten polynomit ovat ortogonaalisia yli koko reaalilukusuoran, sillä kahden polynomin funktiolla $e^\{-x^2\}$ painotettu sisätulo on nolla eli

$\backslash langle\; H\_n,H\_m\; \backslash rangle\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; e^\{-x^2\}H\_n(x)\; H\_m(x)\; dx\; =\; 0$

aina kun $n\; \backslash neq\; m$. Hermiten polynomit voidaan laskea Rodriguesin kaavasta

$H\_n(x)\; =\; (-1)^ne^\{x^2\}\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}e^\{-x^2\}$

tai helpommin rekursiokaavalla

$H\_\{n+1\}(x)\; =\; 2xH\_n(x)\; -\; 2nH\_\{n-1\}(x)\backslash ,$.

Hermiten polynomien generoiva funktio on

$e^\{2tx\; -\; t^2\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{H\_n(x)t^n\}\{n!\}$.

Tätä on kätevää käyttää monien polynomien ominaisuuksien todistamisessa. Koska Hermiten polynomit ovat ortogonaalisia, niitä voidaan käyttää funktoavaruuden kantana ja näin muodostaa muille funktioille sarjakehitelmiä. Funktio $f(x)$ voidaan lausua Hermiten polynomikannassa

$f(x)\; =\; c\_0H\_0(x)\; +\; c\_1H\_1(x)\; +\; c\_2H\_2(x)\; +\; \backslash ldots$,

missä kertoimet $c\_k$ saadaan laskemalla integraali

$c\_k\; =\; \backslash frac\{1\}\{2^k\; k!\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}e^\{-x^2\}f(x)H\_k(x)$

Hermiten funktiot

Hermiten polynomien ('fyysikkomuoto') avulla saadaan joukko uusia funktioita

$\backslash psi(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2^nn!\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\}e^\{-x^2\}H\_n(x)$.

Näitä kutsutaan Hermiten funktioiksi. Ne ovat ortogonaalisia välillä $[-\backslash infty,\backslash infty]$, sillä

$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; \backslash psi\_n(x)\; \backslash psi\_m(x)\; dx\; =\; \backslash delta\_\{nm\}$,

missä $\backslash delta\_\{nm\}$ on Kroneckerin delta. Hermiten funktiot ovat tärkeitä kvanttimekaniikassa, sillä ne toteuttavat differentiaaliyhtälön

$\backslash psi\_n\text{'}\text{'}(x)\; +\; (2n\; +\; 1\; -\; x^2)\backslash psi\_n(x)\; =\; 0\backslash ,$,

mikä vastaa Schrödingerin yhtälöä (yksiulotteisen) harmonisen oskillaattorin tapauksessa eli ne vastaavat hiukkasen energian ominaistiloja ja sitä kautta ovat hiukkasen aaltofunktioita.