Kaaosteoria

Kaaosteoria on matematiikan ja fysiikan teoria, joka käsittelee tiettyjen ei-lineaaristen dynaamisten järjestelmien käyttäymistä jotka ilmenevät kaoottisina ja joita tunnetusti luonnehditaan herkkänä alkuolosuhteille (perhosvaikutus). Esimerkkejä sellaisista järjestelmistä tavataan ilmakehän dynamiikasta, aurinkokunnasta, laattatektoniikassa, pyörteisissä nesteissä, taloudessa, populaation kasvussa ja lääketieteessä.

Matemaattinen kaaos on täysin deterministinen, ennalta määrätty. Yleisessä kielenkäytössä kaaos ja kaaosteoria sekoitetaan usein täyteen 'kaaokseen' tai 'epäjärjestykseen', satunnaisuuteen, joka on epälainalaisen järjestelmän tulos.

Matemaattisesti kaaottinen järjestelmä voisi olla täysin ennustettavissa, jos alkuarvot ja prosessi tunnettaisiin täysin tarkkaan. Käytännössä alkuarvo- ja laskentatarkkuus rajoittaa ennustushorisonttia ja lyhyessä ajassa järjestelmä tulee täysin ennustamattomaksi.

Esimerkki 1

Toisen asteen iteraatioyhtälö

x_n+1 = x_n *( 4 - x_n )

on lainalainen, kaoottinen ja alkuarvoherkkä. Lähtöarvot ja tulos kuuluvat väliin (0,4). (”Epästabiileina” kiintopisteinä 0 ja 3). Jos x₀:sta lähdetään ja lasketaan, niin tavallinen laskin tulostaa roskaa jo 30–40:n iteraation jälkeen, tietokoneohjelmalla 20:n desimaalinkin tarkkuudella jo 55:n iteraation jälkeen. Alussa oleva virhe keskimäärin kaksinkertaistuu jokaista iteraatiota kohti.

Taulukko 1. Iteraatioita kolmella hiukan toisistaan poikkeavalla alkuarvolla.

       a             b              c          c-a = virhe
 x0=  0.5          0.501        0.500001           1E-6
 x1   1.75         1.752999     1.750003           3E-6
 x2   3.9375       3.938990506  3.9375015          1.5E-6
 x3   0.24609375   0.240315818  0.246087938       -5.8E-6
 x4   0.923812866  0.903511578  0.923792477      -20E-6
 x5   2.841821253  2.797713141  2.841777368      -44E-6
 x6   3.291336978  3.363653744  3.291410864       73E-6
 x7   2.33244881   2.140448465  2.332257981     -190E-6
 x8   3.889477789  3.980274229  3.889604634      127E-6
 x9   0.429873685  0.07851398   0.429394328     -479E-6
 x10  1.534703356  0.307891473  1.533197823    -1505E-6
 x11  3.783499033  1.136768734  3.782095727    -1403E-6
 x12  0.8191312       ..        0.824134818     5004E-6
 x13  2.605548876               2.617341075    11792E-6
 x14  3.633310558               3.618889998   -14421E-6
 x15  1.33229662                1.379195176    46899E-6
 x16  3.554172197               3.61460137    0.06
 x17  1.584548783               1.393062416  -0.191
 x18  3.827400287               3.631626769  -0.196
 x19  0.660608193               1.337794087   0.677
 x20  2.206029587               3.561483329   1.355
      .....                         ....        ...

Nähdään, että kuuden numeron tarkkuudella ei päästä 20 askelta pitemmälle. Itse asiassa laskettaessa esimerkiksi arvoa x₁₀₀ se vastaa sitä, että laskettaisiin 101-terminen 2¹⁰⁰:n asteen jättimäinen polynomi, jonka arvot (ja reaalijuuret) sijoittuvat välille 0..4, kun argumenttina on kyseiselle välille sijoittuva luku.

Esimerkki 2

x' = x² + C.

Tämä on parametrin C ansiosta edellistä yleisempi kaava.

Jos parametri C on suurempi kuin -1.402, niin raja-arvoa lähestyttäessä huomataan 2,4,8,16,... jakson haarautumisia eli bifurkaatioita, joiden haarautumiskohtien suhde lähenee tunnettua Feigenbaumin vakiota 4.6692016091.. .

Jos C on rajaa C_oo=-1.402.. pienempi, niin tulos on täysin kaoottinen kuten esimerkissä 1.

Silti yhtälöt ovat deterministisiä; x_n:n arvo on matemaattisesti katsoen täysin määrätty kullakin alkuarvolla x₀.

Kirjallisuutta