Logaritmi

Joidenkin logaritmifunktioiden kuvaajat

Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Toisin sanoen luvun logaritmin määrittelee identiteetti

y=\log_a(x) \Leftrightarrow x=a^y.

Kymmenkantainen logaritmi (lg) luvusta x tarkoittaa siis potenssia, johon luku kymmenen on korotettava, että saataisiin x. Esimerkiksi

\lg(100) = 2

, koska

10^2 = 100

. Yleisesti a-kantainen logaritmi luvusta x,

\log_a(x)

, on se potenssi, johon a on korotettava, että saataisiin x.

Eräille logaritmeille on omat merkintänsä. Kymmenkantaisen logaritmifunktion eli Briggsin logaritmin tunnus on lg.

\lg(x) = \log_{10}(x)\,

Luonnollisen logaritmifunktion, jonka kantalukuna on Neperin luku e, tunnus on ln

\ln(x) = \log_e(x)\,

Joskus vastaantulevan 2-kantaisen logaritmifunktion tunnus on lb (b=binääri)

\operatorname{lb}(x) = \log_2(x)

Merkintä log tarkoittaa logaritmia, jonka kantaluku on mielivaltainen. Joskus se voi olla myös 10-kantaisen logaritmin merkintä, ja erityisesti laskimissa näppäin 'log' tarkoittaa juuri 10-kantaista logaritmia. Tietojenkäsittelytieteessä log tarkoittaa yleensä 2-kantaista logaritmia. Logaritmit kehittivät samoihin aikoihin toisistaan riippumatta skotlantilainen John Napier ja sveitsiläinen Jobst Bürgi.

Laskukaavoja

Seuraavissa kaavoissa

x \in \mathbb{R}_+,a\in\mathbb{R}_+,y\in\mathbb{R}.

Logaritmeille on aina voimassa

$\log_a(a) = 1\,$
$\log_a(1) = 0\,$

riippumatta a:n arvosta. Määritelmän perusteella on helppo osoittaa, että

$a^{\log_a(x)} = x$

$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\,$

$\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)\,$

$\log_a(x^n) = n \log_a(x) \,.$

Tarvittaessa myös kantaluku on helppo vaihtaa toiseksi (a:stä b:ksi), sillä

$\log_a(x) = { \log_b(x) \over \log_b(a) }.$