Lorentz-muunnos

Lorentz-muunnoksella (tai Lorentzin muunnoksella) tarkoitetaan koordinaattijärjestelmän muunnosta, jonka Hendrik Antoon Lorentz ensimmäisenä johti sähkökentässä liikkuvalle varaukselle. Myöhemmin Albert Einstein muotoili erityisen suhteellisuusteorian, ja korvasi siinä klassisen mekaniikan Galilein muunnoksen Lorentz-muunnoksella.

Kuvitellaan, että järjestelmä (havaitsija) P' liikkuu järjestelmästä P katsottuna positiivisen x-akselin suuntaan nopeudella v. Merkitään valonnopeutta kirjaimella c, aikaa kirjaimella t, ja paikkaa suorakulmaisilla koordinaateilla x,y ja z. Tällöin Lorentzin muunnoksen yhtälöt ovat:

$x\text{'}=\backslash frac\{x-vt\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\}\}$

$y\text{'}=y$

$z\text{'}=z$

$t\text{'}=\backslash frac\{t-\backslash frac\{v\}\{c^2\}x\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\}\}$

Lorentzin muunnoksessa aika ei ole absoluuttinen suure. Kun järjestelmässä P kuluu t sekuntia, järjestelmässä P' on kulunut viimeisen yhtälön mukainen aika. Esimerkiksi jos järjestelmä P' liikkuu P:n suhteen nopeudella 1/2c eli noin 150 miljoonaa metriä sekunnissa ja järjestelmät olivat aluksi (hetkellä t=0) päällekkäin, niin kun järjestelmässä P on kulunut yksi sekunti (t=1s), niin (järjestelmästä P katsottuna) järjestelmässä P' on kulunut vain noin 0,87 sekuntia (t'=0,87s). 'Käytännössä' tämä tarkoittaa sitä, että kun katsomme esimerkiksi nopeasti kiitävää avaruusalusta, aika näyttää siellä kuluvan hitaammin kuin meidän aikamme. Ilmiö on myös mitattu hyvin tarkoilla atomikelloilla joita on lennätetty lentokoneessa ja satelliiteissä.

Lorentzin muunnosta voi verrata koordinaattijärjestelmän kiertoon. Kun kolmiulotteista euklidisen avaruuden suorakulmaista koordinaattijärjestelmää halutaan kiertää kulman a verran z-akselin ympäri, saadaan yhtälöt:

$x\text{'}=x\; \backslash cos\; a+y\; \backslash sin\; a$

$y\text{'}=y\; \backslash cos\; a-x\; \backslash sin\; a$

$z\text{'}=z$

Kierrossa uusi x' ja y' ovat vanhojen x ja y koordinaattien 'sekoitukset'. Myös Lorentzin muunnoksessa aika ja liikkeen suuntainen koordinaatti sekoittuvat toisiinsa. Lorenzin muunnos on tavallaan paikan ja ajan 'kierto', joskaan se ei matemaattisesti ole täysin sitä vastaava. Kaikissa tavallisissa suorakulmaisten koordinaattien kierroissa on säilyvä suure, $x^2+y^2+z^2$, joka on pisteen origosta mitatun etäisyyden neliö. Lorentzin muunnoksessakin on eräs säilyvä suure, $x^2+y^2+z^2-c^2t^2$. Tätä suuretta kutsutaan joskus aika-avaruuden etäisyyden neliöksi. Se säilyy samana kaikissa Lorentzin muunnoksissa.

Lorentz-muunnosta voidaan kuvata helposti myös nelivektoreilla

Lorentz-muunnoksen johtaminen

Lorentz-muunnosten pohjaksi otetaan yleisin mahdollinen lineaarinen muunnos

$\backslash ,\backslash !x\text{'}\; =\; Ax\; +\; Bt$

$\backslash ,\backslash !t\text{'}\; =\; Ct\; +\; Dx$

jossa x ja t ovat objektin paikka ja aika vanhassa koordinaatistossa P, x' ja t' koordinaatit uudessa koordinaatistossa P' ja A, B, C, ja D tuntemattomia vakioita.

1. Ensiksi vaaditaan, että valon nopeus tyhjiössä on vakio c, ja riippumaton koordinaatistossa.

Objektin nopeus koordinaatistossa P on $\backslash frac\{dx\}\{dt\}$ ja koordinaatistossa P' $\backslash frac\{dx\text{'}\}\{dt\text{'}\}$

Jos nopeus $\backslash frac\{dx\}\{dt\}$ koordinaatistossa P on c, on sen oltava c myös koordinaatistossa P'

$\backslash frac\{dx\text{'}\}\{dt\text{'}\}\; =\; c\; =\; \backslash frac\{d(Ax\; +\; Bt)\}\{d(Ct\; +\; Dx)\}$

= \frac{(Adx + Bdt)}{(Cdt + Ddx)} 

= \frac{(A\frac{dx}{dt} + B)}{(C + D\frac{dx}{dt})} = \frac{(Ac + B)}{(C + Dc)}

$\backslash ,\backslash !B\; =\; Dc^2\; +\; (C\; -\; A)c$

Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan jatkossa nimellä yhtälö 1

2. Nopeus on suhteellista

P liikkuu P':n suhteen nopeudella -v
P:n origo on x = 0, joka koordinaatistossa P' on

$\backslash ,\backslash !x\text{'}\; =\; x\; -\; vt\text{'}\; =\; 0\; -\; vt\text{'}\; =\; -vt\text{'}$

$\backslash ,\backslash !x\text{'}(x=0)\; =\; A*0\; +\; Bt\; =\; -vt\text{'}(x=0)\; =\; -vCt$

$\backslash ,\backslash !B\; =\; -vC$

P':n origo on x' = 0, joka on P:ssä x = vt

$\backslash ,\backslash !0\; =\; x\text{'}\; =\; Ax(x\text{'}\; =\; 0)\; +\; Bt\; =\; Avt\; +\; Bt$

$\backslash ,\backslash !Avt\; +\; Bt\; =\; 0$

$\backslash ,\backslash !\backslash frac\{B\}\{A\}\; =\; -v$

Näistä yhtälöistä saadaan

$\backslash ,\backslash !C\; =\; A\; =\; \backslash frac\{-B\}\{v\}$

Sijoitetaan yhtälöön 1

$\backslash ,\backslash !\; Dc^2\; +\; (A\; -\; A)c\; =\; B$

$\backslash ,\backslash !\; D\; =\; \backslash frac\{B\}\{C^2\}$

3. Oletetaan, että hetkellä t = 0 koordinaatistot ovat P:sta katsoen päällekkäin

$\backslash ,\backslash !x\text{'}(t=0)\; =\; Ax$

$x\_1\text{'}\; -\; x\_2\text{'}\; \backslash equiv\; \backslash Delta\; x\text{'}(t=0)\; \backslash equiv\; L\_0\; =\; A*\backslash Delta\; x$

$\backslash Delta\; x\; =\; \backslash frac\{L\_0\}\{A\}$

Hetkellä t' = 0 koordinaatistot ovat päällekkäin P'sta katsottuna

$0\backslash ,\backslash !\; =\; t\text{'}\; =\; Ct\; +\; Dx$

= -\frac{B}{v}t + \frac{B}{c^2}x

$t\; =\; x\backslash frac\{v\}\{c^2\}$

$\backslash ,\backslash !x\text{'}\; =\; Ax\; +\; Bt$

= Ax - vAt = A(x -vt) = A(x - x\frac{v^2}{c^2})

$\backslash Delta\; x\text{'}=\; A\backslash Delta\; x\; -\; \backslash Delta\; x\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\; =\; A(1\; -\; \backslash frac\{v^2\}\{c^2\})\backslash Delta\; x\; \backslash equiv\; A(\; 1\; -\; \backslash frac\{v^2\}\{c^2\})L\_0$

Pituuden on näytettävä samalta molemmille koordinaatistoille silloin, kun ne ovat päällekkäin.

$\backslash ,\backslash !\backslash Delta\; x\; =\; \backslash Delta\; x\text{'}$

$\backslash frac\{L\_0\}\{A\}\; =\; L\_0\; A(1-\; \backslash frac\{v^2\}\{c^2\})$

$A^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{(1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\})\}$

Tästä saadaan lopulta muunnokset

$\backslash ,\backslash !x\text{'}\; =\; A(x\; -\; vt)$

$\backslash ,\backslash !t\text{'}\; =\; A(t\; -\; \backslash frac\{v\}\{c^2\}x)$