Matematiikka

Yleiskatsaus

Sana matematiikka (, ’mathēmatiká’) tulee kreikan sanasta μάθημα (máthēma), joka tarkoittaa tiedettä, tietoa tai oppimista. Matematiikkoa tarkoittava kreikankielinen sana μαθηματικός (mathematikós) tarkoittaa ”halukas oppimaan”.

Matematiikan pääalueet syntyivät käytännön tarpeista. Laskutaito oli hyödyllinen niin kaupankäynnissä, maanmittauksessa kuin tähtitieteellisten tapahtumien ennustamisessakin. Matematiikka on siis alun perin muiden tieteiden (lähinnä luonnontieteiden) työkalu ja tutkimustulosten tarkka ilmaisuväline. Matematiikan avulla voidaan teoreettisesti tarkastella käytännössä havaittuja asioita ja tehdä näistä tutkimustuloksista johtopäätöksiä.

Matematiikan pääosiksi mainitaan tavallisesti algebra, analyysi ja topologia, jotka jakaantuvat moniin osa-alueisiin.

Rakenteen tutkiminen alkaa numeroista ja luvuista, joista tutuimpia ovat luonnolliset luvut ja kokonaisluvut sekä näihin liittyvät laskutoimitukset. Lukuteoria tutkii lukujen syvempiä ominaisuuksia. Yhtälöiden ratkaisemisessa tarvittavien menetelmien tutkimus johtaa abstraktiin algebraan, jossa tutkitaan algebrallisia rakenteita ja niihin liittyviä laskutoimituksia.

Avaruuksien tutkiminen saa alkunsa geometriasta; ensin kehitettiin trigonometria ja euklidinen geometria. Myöhemmin näistä kehitettiin epäeuklidinen geometria.

Matemaatikot loivat lukuisia välttämättömiä käsitteitä tietokoneita kehitettäessä; näistä kehittyi edelleen informaatioteoria.

Tärkeitä teemoja matematiikassa

Seuraava lista antaa vain yhden mahdollisen näkemyksen.

Kvantiteetti

Kvantiteetti alkaa laskemalla ja mittaamalla

$1, 2, \ldots$	$\ldots, -1, 0, 1, \ldots$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots$	$\pi, e, \sqrt{2},\ldots$	$i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots$
Luonnollinen luku	Kokonaisluku	Rationaaliluku	Reaaliluku	Kompleksiluku

Rakenne

Ajatuksia koosta, symmetriasta ja matemaattisesta rakenteesta.

$36 \div 9 = 4$
Aritmetiikka	Lukuteoria	Abstrakti algebra	Ryhmäteoria	Järjestysteoria

Avaruus

Visuaalisempi lähestymistapa matematiikkaan.


Geometria	Trigonometria	Differentiaaligeometria	Topologia	Fraktaaligeometria

Muutos

Tapa ilmaista ja käsitellä muutosta matemaattisissa funktioissa ja lukujen välillä.

		$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
Matemaattinen analyysi	Vektoritlaskenta	Differentiaaliyhtälö	Dynaamiset järjestelmät	Kaaosteoria

Perusteet ja metodit

Lähestymistapoja ymmärtämään matematiikan luonnetta.

$P \Rightarrow Q$
Matemaattinen logiikka	Joukko-oppi	Kategoriateoria

Diskreetti matematiikka

Diskreetti matematiikka sisältää tekniikoita, jotka pätevät objekteihin, jotka voivat ottaa vain tiettyjä, erillisiä arvoja.

$[1,2,3][1,3,2]$ $[2,1,3][2,3,1]$ $[3,1,2][3,2,1]$
Kombinatoriikka	Laskennan teoria	Salakirjoitustekniikka	Graafiteoria

Sovellettu matematiikka

Sovellettu matematiikka käyttää täyttä matematiikan tietoa ratkaisemaan tosielämän ongelmia.

Matemaattinen fysiikka – Mekaniikka – Numeerinen analyysi – Todennäköisyys – Tilastotiede – Matemaattinen talous – Finanssimatematiikka – Peliteoria – Matemaattinen biologia – Kryptografia – Tietokoneavusteinen matematiikka

Tärkeitä teoreemia

Nämä teoriat ovat kiinnostaneet matemaatikkoja ja ei-matemaatikkoja.

De Moivren kaava- Eulerin lause - Fermat'n suuri lause - Goldbachin väittämä - Poincarén väittämä - Pythagoraan teoreema - Riemannin hypoteesi

Tärkeitä konjektuureja

Nämä ovat joitain suurimmista ratkaisemattomista ongelmista matematiikassa. Katso myös luettelo ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista.

Goldbachin konjektuuri – Riemannin hypoteesi – Poincarén konjektuuri – Collatzin konjektuuri – P=NP – avoimet Hilbertin ongelmat.

Katso myös

Kirjallisuutta

Michael Guillen: Silta äärettömyyteen - Matematiikan inhimillinen puoli, Terra Cognita, 1997 ISBN 952-5202-01-1
Hannu Karttunen: Tiedettä kaikille: Matematiikka (Ursa)

Aiheesta muualla

Makupalat-linkkikirjaston matematiikkalinkit
TKK:n matematiikan laitoksen koordinoima MatTaFi-projekti
Matematiikkalehti Solmu
Matematiikkalehti Solmu – Matematiikan historia . Kirjoittanut dosentti Matti Lehtinen.