Negatiivinen binomijakauma

Negatiivinen binomijakauma on dikotomisen toistokokeen mielivaltaisen monennetta onnistumista edeltävien yritysten jakauma.

Negatiivinen binomijakauma on diskreetti ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja $X$ on negatiivisbinomijakautunut, merkitään

$X\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Negbin\}(r,p)\; .$ Jakauman parametri $0\; \backslash leq\; p\; \backslash leq\; 1$ on onnistumisen todennäköisyys, ja parametri $r\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ on odotettu onnistumiskerta. Pistetodennäköisyysfunktio on $\backslash mathbb\{P\}\; \backslash \{\; X=i\; \backslash \}\; =\; \{r+i-1\; \backslash choose\; i\}\; p^r\; (1-p)^i\; .$ Odotusarvo ja varianssi ovat $\backslash mathbb\{E\}X=\backslash frac\{r(1-p)\}\{p\}$ ja $\backslash mathbb\{D\}^2\; X=\backslash frac\{r(1-p)\}\{p^2\}\; .$

Jos $X\_1\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Negbin\}(r\_1,p)$ ja $X\_2\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Negbin\}(r\_2,p)$ sekä $X\_1$ ja $X\_2$ ovat riippumattomia, niin $X\_1\; +\; X\_2\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Negbin\}(r\_1+r\_2,p)$.

Negatiivisen binomijakauman yhteys geometriseen jakaumaan on

$\backslash operatorname\{Negbin\}(1,p)\; =\; \backslash operatorname\{Geom\}\; (p)\; .$

Jakauman nimi tulee pistetodennäköisyysfunktion samankaltaisuudesta binomijakaumaan, ja siitä että pistetodennäköisyysfunktion voi ilmaista negatiivisen binomikertoimen avulla

$\backslash mathbb\{P\}\; \backslash \{\; X=i\; \backslash \}\; =\; \{-r\; \backslash choose\; i\}\; p^r\; (-(1-p))^i\; .$

Katso myös

• Poissonin jakauma

Aiheesta muualla

• Mathworld: Negative Binomial Distribution