Abelin ensimmäinen huomattava työ oli osoittaa mahdottomaksi ratkaista yleinen viidennen asteen yhtälö juurten avulla (kts. Abelin-Ruffinin lause). Tämä tutkimus julkaistiin vuonna 1824 vaikeatajuisessa ja sekavassa muodossa, ja vuonna 1826 puhtaaksi kirjoitetussa muodossa Crelle's Journalin ensimmäisessä numerossa. Hän sai valtiolta lisää avustusta jonka avulla hän pääsi vierailemaan Saksassassa ja Ranska vuonna 1825, ja vierailtuaan astronomi Schumacherin (1780-1850) luona Altonassa, Hampurissn lähellä hän vietti kuusi kuukautta Berliiniä, missä hän tutustui hyvin August Leopold Crelleen, joka oli silloin perustamassa matematiikan lehteä.
Tämä projekti lämmitti Abelin mieltä, mikä myötävaikutti hankkeen onnistumiseen. Berliinistä Abel muutti Freibergiin, missä hän teki loistavia tutkimuksia funktioista. Hän tutki erityisesti elliptisiä, hyperelliptisiäitaita, ja uutena funktioluokkana niin sanottuja Abelin funktio, joihin hän käytti paljon aikaa.
Vuonna 1826 Abel muutti Pariisiin ja oltuaan siellä kymmenen kuukautta hän tapasi Ranskan tuon ajan johtavia matemaatikoita. Abel ei ollut kuitenkaan tunnettu ja hänen vaatimattomuus rajoitti hänen töidensä levikkiä. Vaatimattomuutensa takia hän palasi Norjaan ja hän opetti vähän aikaan Christianissa. Huhtikuun alussa 1829 Crelle hankki hänelle viran Berliinistä, mutta kirje saapui vasta kaksi päivää Abelin kuoleman jälkeen Abelille. Abel kuoli tuberkuloosiin Froland Ironworksissä.
Lahjakkaan matemaatikon, josta Legendre sanoi 'quelle tête celle du jeune Norvégien!' ('millainen pää nuorella norjalaisella onkaan'), aikainen kuolema katkaisi nerokkaan ja lupaavan uran. Abel ehti selventää analyysia ja tutkimaan uusia funktioluokkia. Hänen työnsä, jotka muodostavat suuren osan Crelle's Journalista, toimitti Holmboe ja julkaisi vuonna 1839 Ruotsin hallituksen toimesta. Ludwig Sylow ja Sophus Lie julkaisivat vuonna 1881 täydellisemmän painoksen.
Vuonna 2002 perustettiin Abelin kunniaksi Abelin palkinto. Hänen kunniakseen painettiin Norjassa 6.4.1929 neljä postimerkkiä kun Abelin kuolemasta oli kulunut 100 vuotta ja 5.6.2002 neljä postimerkkiä kaksi kuukautta ennen kuin hänen syntymästään tuli kuluneeksi 200 vuotta.
Oslossa on Abelin patsas. Tämän arvellaan olevan ainoa muotokuva, joka esittää alastonta matemaatikkoa.
Katso myös
Aiheesta muualla
