Pii (vakio)

on 1, ympyrän piiri on pii.]]

Luku pii (merkitään pienellä kreikkalaisella π-kirjaimella) on matemaattinen vakio, joka esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla. Se tunnetaan myös nimillä Arkhimedeen vakio ja (erityisesti saksankielisellä alueella) Ludolfin luku.

Piin likiarvo 30 desimaalin tarkkuudella on $3,14159\; 26535\; 89793\; 23846\; 26433\; 83279$.

Määritelmän mukaan pii on yhtä kuin ympyrän kehän suhde halkaisijaan (euklidisessa geometriassa). Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä r-säteisen ympyrän pinta-alan suhteena r-sivuisen neliön pinta-alaan: $\backslash frac\{\backslash pi\; r^2\}\{r^2\}\; =\; \backslash pi$. Joissain analyysin kirjoissa pii määritellään pienimmäksi posiitiiviseksi luvuksi $x$, jolle $\backslash sin(x)\; =\; 0$.

Eukleideen Alkeet-teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (= π / 4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Ferdinand Lindemann todisti vuonna 1882 piin olevan transsendenttiluku, eli luku, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin nollakohta.

Piin historia

Koska pii on transsendenttiluku, sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksiainkorotustainkorotusta, potenssi ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu numeerisesti. Vanhan testamentinssassa Kuningasten kirja (1. Kun. 7:23) $\backslash pi$ on 3: 'Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri'. (Tätä selkeää virhettä on selitetty sillä, että halkaisijan arvona on käytetty astian sisämittaa.)

Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä $\backslash pi$:n likiarvoja on egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanotuttuun Rhindin papyrukseen. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa $\backslash pi$:n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin 2000 vuotta ennen ajanlaskun alkua babylonialaiset otaksuivat, että $\backslash pi$ on joko 3 tai $\backslash frac\{25\}\{8\}$.

Kreikkalainen Ptolemaios käytti $\backslash pi$:n arvoa $\backslash frac\{377\}\{120\}$. Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes laski ympyrän kehän ja halkaisijan suhteen jo kolmen desimaalin tarkkuudella. Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla $\backslash pi$:lle arvon $\backslash frac\{355\}\{113\}$, jota parempi murtolukuarvio on vasta $\backslash frac\{103993\}\{33102\}$. Luku $\backslash pi$ todistettiin irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.

Piin voi esittää päättymättömänä sarjana. Eräs varhainen ja yksinkertainen tapa määritellä pii sarjana on Gottfried Leibnizin kehittämä Gregory–Leibniz-sarja:

$\backslash pi\; =\; \backslash frac\{4\}\{1\}-\backslash frac\{4\}\{3\}+\backslash frac\{4\}\{5\}-\backslash frac\{4\}\{7\}+\backslash frac\{4\}\{9\}-\backslash frac\{4\}\{11\}\backslash cdots\backslash ,$

Tämä sarja suppenee kuitenkin liian hitaasti, jotta sitä kannattaisi käyttää piin likiarvojen laskemiseen. 1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin desimaaleja (heksadesimaalijärjestelmässä) ilman, että aiempia desimaaleja tarvitsi tietää.

1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja nykyään siitä tiedetään ensimmäiset noin 1,2 biljoonaa desimaalia.

Katso myös

• Luettelo piin laskukaavoista

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla

• [1] Gutenberg-projektin teksti, jossa on ensimmäiset 10 miljoonaa desimaalia
• [1] Google-hakemisto: π
• PiFastilla voi itse laskea piin ja muiden vakioiden arvoja erittäin tarkasti