Riemannin integraali

Riemannin integraali on koulumatematiikassa opetettava ja monissa käytännön laskuissa sovellettu integraali, ja monesti sanalla integraali tarkoitetaan erityisesti Riemannin integraalia. Se on mittaintegraaleihin verrattuna helposti määriteltävissä, ja sen avulla voi määrätä pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia sekä pyörähdyskappaleiden tilavuuksia ja pinta-aloja.

Riemannin integraali perustuu integroitavan funktion jakamiseen paloihin tihenevässä jaossaaa ja on siten helppo ymmärtää. Se on kuitenkin teoreettisesti hyödytön, koska sillä on rajoituksia, jotka voidaan ohittaa käyttämällä esimerkiksi Lebesguen integraali, joka saa Riemann-integroituvilla funktioilla samat arvot.

Riemannin integraali oli ensimmäinen funktiolle reaaliakselin välin yli muodollisesti määritelty integraali. Se on nimetty kehittäjänsä Bernhard Riemannin mukaan.

Riemannin integraalin määrittely

Riemannin integraalin määrittelyn tavoitteena on löytää yksiselitteinen pinta-ala reaalilukujen tason kuviolle, jonka rajaavat koordinaatistossatt suora $x=a$, $x=b$ ja $y=0$, sekä käyrä $y=f(x)$, missä $f$ on funktio $[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$. Tutkittavat pinta-alat ovat etumerkillisiä. Toisin sanoen, jos $f$ saa negatiivisia arvoja, ovat pinta-alat negatiivisia. Tätä pinta-alaa sitten merkitään symbolilla $\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx$. Funktion $f$ halutaan sallia olevan mahdollisimman yleinen, toisin sanoen tässä ei rajoituta integroitaviin funktioihin, jotka ovat jossakin mielessä sopivan sileitä. Tämän vuoksi tässä esiteltävä määritelmä saattaa olla monimutkaisempi kuin joissakin oppikirjoissa.

Tämä määrittely tehdään jakamalla väli $[a,b]$ osaväleihin, joita sitten tihennetään äärettömästi. Jokaisella osavälillä suoran $y=0$ ja käyrän $y=f(x)$ väliin jäävää pinta-alaa approksimoidaan suorakaiteella. Jaonnn tihentyessä suorakaiteiden pinta-alojen summa pitäisi supeta kohti kysyttyä pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion $f$ arvo osavälin mielivaltaisessa pisteessä, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. Tässä annetaan kuitenkin myös Darboux'n integraalin määritelmä, missä valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion $f$ maksimi ja minimi kullakin osavälillä, ja sen jälkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux'n ylä- ja alasumma, toisiinsa.

Annetaan nyt muutama määritelmä, joilla saadaan muotoiltua vaadittava osavälien tihentäminen teknisesti. Olkoon $n$-välinen jako on lukujono

$(x\_0,\; x\_1,\; \backslash ldots,\; x\_n)$, jolle pätee kaikilla $1\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; n$, $x\_0=a$ ja $x\_n=b$. Tällöin välit $[x\_\{i-1\},x\_i]$, missä $1\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; n$, muodostavat yhteisiä päätepisteitä lukuun ottamatta välin $[a,b]$ osituksen.

Jatkossa jaon merkitsemiseen käytetään symbolia $D\_n$, ja lisäksi oletetaan, että $D\_n$ on $k\_n$-jakoinen, missä siis $(k\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ on luonnollisten lukujen jono. Jaon $D\_n$ jakopisteitä merkitään symbolilla $x^n\_i$, missä $1\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; k\_n$, eli toisin sanoen

$D\_n\; =\; (x^n\_0,\; x^n\_1,\; \backslash ldots,\; x^n\_\{k\_n\})$.

Jaon $D\_n$ pisin jakoväli on luku

$|D\_n|\; =\; \backslash max\; \backslash \{\; x^n\_i\; -\; x^n\_\{i-1\}\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; 1\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; k\_n\; \backslash \}$. Jako $D\_i$ on jaon $D\_j$ tihennys, jos $D\_j\; \backslash subset\; D\_i$, eli jaossa $D\_i$ on vähintään samat jakopisteet kuin jaossa $D\_j$. Jakojen jono $(D\_1,\; D\_2,\; \backslash ldots)$ on tihenevä, jos jokainen jako $D\_i$ on sitä edeltävän jaon $D\_\{i-1\}$ tihennys.

Riemannin summa ja integraali

Olkoon $D\_n$ välin $[a,b]$ jako, ja jono

$\backslash xi^n\; =\; (\backslash xi^n\_1,\; \backslash ldots,\; \backslash xi^n\_\{k\_n\})$ sellainen, että $\backslash xi^n\_i\; \backslash in\; [x^n\_\{i-1\},x^n\_i]$ kaikilla $1\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; k\_n$.

Olkoon $f$ funktio $[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$. Funktion $f$ jakoa $D\_n$ pisteissä $\backslash xi^n$ vastaava Riemannin summa on

$S\_\{D\_n\}\; (f,\backslash xi^n)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{k\_n\}\; f(\backslash xi^n\_i)\; (x^n\_i\; -\; x^n\_\{i-1\})$.

Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillistä pinta-alaa, jonka kanta on $x^n\_i-x^n\_\{i-1\}$ ja korkeus $f(\backslash xi^n\_i)$. Se voidaan täten mieltää etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennetään, mutta näin ei välttämättä ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle $1\_\backslash mathbb\{Q\}$ voidaan kaikille tiheneville jakojonoille $(D\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ valita pisteet $(\backslash xi^n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ siten, että vastaava Riemannin summien jono $(S\_\{D\_n\}\; (1\_\backslash mathbb\{Q\},\backslash xi^n))\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ ei suppene.

Riemannin integraali määritellään seuraavaksi tihenevän jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei välttämättä ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niitä funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden $\backslash xi^n$ valinnasta.

Olkoon jakojen jono $(D\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ tihenevä ja $|D\_n|\; \backslash rightarrow\; 0$, kun $n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$. Tämän voi tulkita niin, että jaot hienonevat äärettömän tiheiksi koko välillä $[a,b]$. Sanotaan, että funktion $f$ Riemannin summilla on raja-arvo $S\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$, jos jokaiselle luvulle $\backslash varepsilon\; >\; 0$ on olemassa luvut $\backslash delta\_\backslash varepsilon\; >\; 0$ ja $n\_\backslash varepsilon\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ siten, että

, kun , ja $S$ on yksikäsitteinen kaikilla jonolla $\backslash xi^\{n\_\backslash varepsilon\}$. Jos Riemannin summilla on raja-arvo $S$, niin funktio $f$ on Riemann-integroituva välillä $[a,b]$ ja sen Riemannin integraali on luku $S$. Tällöin merkitään $S\; =\; \backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx$. Tässä merkintätavassa funktiota $f$ kutsutaan integrandiksi.

Tämä määritelmä saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen käyttäminen monimutkaista. Seuraavaksi määritellään Darboux'n integraali, jonka määritelmä lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali.

Darboux'n integraali

Olkoon $f$ reaalifunktio $[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$. Funktion $f$ Darboux'n yläsumma jaolla $D\_n$ on

$S\_\{D\_n\}(f)\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{k\_n\}\; (x^n\_i-x^n\_\{i-1\})\; \backslash sup\; \backslash \{\; f(x)\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; x^n\_\{i-1\}\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; x^n\_i\; \backslash \}$. Vastaava Darboux'n alasumma on $s\_\{D\_n\}(f)\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{k\_n\}\; (x^n\_i-x^n\_\{i-1\})\; \backslash inf\; \backslash \{\; f(x)\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; x^n\_\{i-1\}\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; x^n\_i\; \backslash \}$.

Olkoon jakojen jono $(D\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ tihenevä ja $|D\_n|\; \backslash rightarrow\; 0$, kun $n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$. Jaon ollessa tihenevä, ovat sekä Darboux'n ylä- että alasummien arvot, eli jonot $(S\_\{D\_n\}(f))\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ ja $(s\_\{D\_n\}(f))\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$, monotonisia. Darboux'n yläintegraali on yläsummien vähenevän jonon infimum, eli luku

$\backslash inf\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; S\_\{D\_n\}\; (f)$. Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku $\backslash sup\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; s\_\{D\_n\}\; (f)$. Funktio $f$ on Darboux-integroituva, jos edellä mainitut raja-arvot ovat yhtäläiset eli $\backslash inf\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; S\_\{D\_n\}\; (f)\; =\; \backslash sup\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; s\_\{D\_n\}\; (f)$. Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion $f$ Darboux'n integraaliksi yli välin $[a,b]$.

Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos $f$ on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin

$\backslash inf\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; S\_\{D\_n\}\; (f)\; =\; \backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash sup\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; s\_\{D\_n\}\; (f)$. Näistä syistä johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa määritellä kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitelläänkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina.

Darboux'n ylä- ja alasummat voidaan merkitä myös $U\_f(P)$ ja $L\_f\; (P)$, joissa P on välin jako.

Riemannin integraalin määritelmän yleistäminen

Riemannin integraali yleistetään mielivaltaiselle integrandin lähtöjoukolle seuraavasti. Olkoon joukko $A$ sellainen, että $[a,b]\; \backslash subset\; A\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}$, $g$ reaalifunktio $A\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ ja $g\_\{[a,b]\}:\; [a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ sen rajoittuma välille $[a,b]$. Jos $g\_\{[a,b]\}$ on Riemann-integroituva, niin sanotaan, että $g$ on Riemann-integroituva välillä $[a,b]$, ja funktion $g$ Riemannin integraaliksi yli välin $[a,b]$ määritellään

$\backslash int\_a^b\; g(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash int\_a^b\; g\_\{[a,b]\}\; (x)\; \backslash ,\; dx$. Lisäksi määritellään $\backslash int\_a^a\; g(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0$ ja $\backslash int\_a^b\; g(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; -\backslash int\_b^a\; g(x)\; \backslash ,\; dx$.

Epäoleellinen integraali

Epäoleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa väli, jonka yli integroidaan, lähestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edellä olevan määritelmän mukaan määritelty. Epäoleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eikä merkinnöissä näille tehdä yleensä eroa.

Ensiksi määritellään epäoleellinen integraali rajoitetulle suljetulle välille tapauksessa, jossa integrandi ei ole määritelty toisessa välin päätepisteessä. Toiseksi määritellään epäoleellinen integraali rajoittamattomalle välille.

Olkoon funktio $f:\; \backslash \; [a,b[\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ Riemann-integroituva kaikilla väleillä $[a,c]\; \backslash subset\; [a,b[$. Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo

$\backslash lim\_\{c\; \backslash rightarrow\; b-\}\; \backslash int\_a^c\; f(x)\; \backslash ,\; dx$ on olemassa eli reaaliluku, ääretön tai miinus ääretön, niin funktion $f$ epäoleellinen integraali yli välin $[a,b]$ on $\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash lim\_\{c\; \backslash rightarrow\; b-\}\; \backslash int\_a^c\; f(x)\; \backslash ,\; dx$. Funktiolle $]a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ epäoleellinen integraali määritellään samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta.

Olkoon funktio $f:\; \backslash \; [a,\backslash infty[\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ Riemann-integroituva kaikilla väleillä $[a,c]\; \backslash subset\; [a,\backslash infty[$. Jos raja-arvo

$\backslash lim\_\{c\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash int\_a^c\; f(x)\; \backslash ,\; dx$ on olemassa, niin funktion $f$ epäoleellinen integraali yli välin $[a,\backslash infty\; [$ on $\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash lim\_\{c\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash int\_a^c\; f(x)\; \backslash ,\; dx$. Samoin määritellään funktiolle $g:\; \backslash \; ]-\backslash infty,a]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash lim\_\{c\; \backslash rightarrow\; -\backslash infty\}\; \backslash int\_c^a\; f(x)\; \backslash ,\; dx$.

Riemannin integraalin ominaisuuksia

Koska Riemannin integraali on määritelty mittateoriasta riippumattomasti, ei se peri kaikkia yleisiä mittaintegraalin ominaisuuksia, vaan ne on johdettava sen määritelmästä analyysin menetelmin. Useimmat niistä ovat johdettavissa, mutta erityisesti konvergenssilauseita ei pysty Riemannin integraalille todistamaan ilman mittateoriaa. Ne ja kaikki muutkin mittaintegraalin ominaisuudet kuitenkin ovat voimassa, sillä Riemannin integraali yhtenee Riemann-integroituville funktioille joidenkin mittaintegraalien kanssa, esimerkiksi Lebesguen integraalin ja Riemann–Stieltjes-integraalin, jonka integraattori on identtinen kuvaus.

Riemann-integroituvia funktioita

Suljetulla välillä jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.

Riemann-integroituvien funktioiden integraalien ominaisuuksia

• Jos$f$ ja $g$ ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}] niin $\backslash int\_a^c\; f\; \backslash ,\; dx=\; \backslash int\_a^b\; f\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash int\_b^c\; f\; \backslash ,\; dx$
• Jos$f$ ja $g$ ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}] niin $\backslash int\_\{-a\}^a\; f\; \backslash ,\; dx\; =\; 2\; \backslash int\_0^a\; f\; \backslash ,\; dx,\; \backslash mbox\{kun\; \}\; f(-x)\; =\; f(x)$ kaikilla $x\backslash in\; ]$min$\backslash \{a,b\backslash \},$max$\backslash \{a,b\backslash \}[$
• Jos$f$ ja $g$ ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}] niin $\backslash int\_\{-a\}^a\; f\; \backslash ,\; dx\; =\; 0,\; \backslash mbox\{kun\; \}\; f(-x)\; =\; -f(x)$ kaikilla $x\backslash in\; ]$min$\backslash \{a,b\backslash \},$max$\backslash \{a,b\backslash \}[$

Integraalilaskennan väliarvolauseita

Jos funktio $f$ on Riemann-integroituva välillä $[a,b]$, niin

$\backslash inf\_\{x\; \backslash in\; [a,b]\}\; f(x)\; \backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{b-a\}\; \backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash leq\; \backslash sup\_\{x\; \backslash in\; [a,b]\}\; f(x)$. Jos $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$, niin on olemassa $\backslash xi\; \backslash in\; ]a,b[$ siten, että $\backslash frac\{1\}\{b-a\}\; \backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; f(\backslash xi)$.

Edellä olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi väliarvolauseksi.

Jos funktiot $f$ ja $g$ on Riemann-integroituva välillä $[a,b]$, $g\; \backslash geq\; 0$ ja

$\backslash int\_a^b\; g(x)\; \backslash ,\; dx\; >\; 0$, niin $\backslash inf\_\{x\; \backslash in\; [a,b]\}\; f(x)\; \backslash leq\; \backslash frac\{\; \backslash int\_a^b\; f(x)g(x)\; \backslash ,\; dx\; \}\{\; \backslash int\_a^b\; g(x)\; \backslash ,\; dx\; \}\; \backslash leq\; \backslash sup\_\{x\; \backslash in\; [a,b]\}\; f(x)$. Jos $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$, niin on olemassa $\backslash xi\; \backslash in\; ]a,b[$ siten, että $\backslash frac\{\; \backslash int\_a^b\; f(x)g(x)\; \backslash ,\; dx\; \}\{\; \backslash int\_a^b\; g(x)\; \backslash ,\; dx\; \}\; =\; f(\backslash xi)$.

Riemann-integroituvien funktioiden jonojen ominaisuuksia

Nimenomaan funktiojonoja tutkittaessa Riemannin integraalin tekniset puutteet tulevat esiin. Mittateoriassa on käytännöllisiä ja vahvoja konvergenssilauseita, joiden todistaminen on Riemannin integraalille mahdotonta pelkästään analyysin keinoin. Ne pätevät myös Riemannin integraalille, mutta tässä annetaan kaksi ilman mittateoriaa johdettavissa olevaa kaavaa integroimisen ja funktiojonon raja-arvon oton järjestyksen vaihtamiselle. Ne vaativat tasaisen suppenemisen ehdon, mikä on vaativampi ja monimutkaisempi kuin konvergenssilauseiden ehdot, jotka ovat funktiojonon monotonisuus tai funktiojonon rajoittuneisuus. Pelkkä pisteittäinen suppeneminen ei takaa integroimisen ja raja-arvon oton järjestyksen vaihdettavuutta.

Olkoon $(f\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ jono Riemann-integroituvia funktioita $[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$.

Jos $(f\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava

$\backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash int\_a^b\; f\_n\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; f\_n\; (x)\; \backslash ,\; dx$.

Jos sarja

$\backslash left(\; \backslash sum\_\{n=1\}^k\; f\_n\; \backslash right)\_\{k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin summan raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava $\backslash int\_a^b\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; f\_n\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash int\_a^b\; f\_n\; (x)\; \backslash ,\; dx$.

Riemannin integraalin arvon määrääminen

Riemannin integraalin arvo voidaan laskea integraalifunktion avulla. Muita yleisiä apukeinoja ovat sijoittaminen eli muuttujanvaihto ja osittaisintegrointi.

Analyysin ensimmäinen peruslause

Analyysin ensimmäinen peruslause antaa yhteyden integraalifunktion ja Riemannin integraalin välille sekä hyvin käytännöllisen tavan Riemannin integraalien laskemiseen. Sen mukaan, jos $f$ on välillä $[a,b]$ jatkuva funktio ja $F$ jokin sen integraalifunktio, niin pätee yhtälö

$\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; F(b)\; -\; F(a)$.

Esimerkki

Analyysin peruslauseen käyttöä voi valaista seuraavalla esimerkillä. Lasketaan Riemannin integraalin

$\backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; (1\; +\; \backslash cos\; 2t)\; \backslash ,\; dt$ arvo. Koska funktiolle $F(t)\; =\; t\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sin\; 2t$ pätee $F\text{'}(t)\; =\; 1\; +\; \backslash cos\; 2t$, niin analyysin peruslauseesta seuraa tulos

$\backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; (1\; +\; \backslash cos\; 2t)\; \backslash ,\; dt$	$=$	$F\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right)\; -\; F(0)$
	$=$	$\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sin\; \backslash left(\; 2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash right)\; -\; \backslash left(\; 0\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sin\; \backslash left(\; 2\; \backslash cdot\; 0\; \backslash right)\; \backslash right)$
	$=$	$\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 0\; \backslash right)\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 0$
	$=$	$\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$.

Integrointi sijoittamalla

Olkoon $f$ jatkuva funktio $[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$. Jos $x$ funktio $[\backslash alpha,\backslash beta]\; \backslash rightarrow\; [a,b]$, jonka derivaatta on jatkuva ja jolle $x(\backslash alpha)\; =\; a$ ja $x(\backslash beta)\; =\; b$, niin

$\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash int\_\backslash alpha^\backslash beta\; f(x(t))\; x\text{'}(t)\; \backslash ,\; dt$. Tässä siis muuttujan $x$ tilalle sijoitetaan muuttujan $t$ kuvaus $x(t)$, eli identtisen kuvauksen $x\; \backslash mapsto\; x$ tilalle sijoitetaan kuvaus $t\; \backslash mapsto\; x(t)$. Tätä kutsutaan Riemannin integraalin muuttujanvaihtokaavaksi. Laskua, jossa etsitään kuvaus $x$ ja sijoitetaan se muuttujanvaihtokaavaan, kutsutaan sijoittamalla integroimiseksi.

Esimerkki

Tyypillistä sijoittamalla integroimista voi kuvata seuraavalla esimerkillä. Riemannin integraalin

$\backslash int\_0^1\; \backslash sqrt\{1-x^2\}\; \backslash ,\; dx$ laskeminen pelkän analyysin peruslauseen avulla lienee vaikeaa. Sijoitetaan muuttujan $x$ tilalle kuvaus $t\; \backslash mapsto\; \backslash sin\; t$. Nyt siis edellä olevan kaavan merkinnöin $f(x)\; =\; \backslash sqrt\{1-x^2\}$, $a=0$, $b=1$ ja $x(t)\; =\; \backslash sin\; t$. Koska $\backslash sin\; 0\; =\; 0$ ja $\backslash sin\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; =\; 1$, on $\backslash alpha\; =\; 0$ ja $\backslash beta\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$. Sijoittamalla nämä arvot ja $x\text{'}(t)\; =\; \backslash cos\; t$ muuttujanvaihtokaavaan, saadaan $\backslash int\_0^1\; \backslash sqrt\{1-x^2\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash sqrt\{1-(\backslash sin\; t)^2\}\; \backslash cos\; t\; \backslash ,\; dt$. Tästä voidaan jatkaa ratkaisuun käyttämällä trigonometrisiä kaavoja ja analyysin peruslausetta. Kaavasta $(\backslash sin\; t)^2\; +\; (\backslash cos\; t)^2\; =\; 1$ seuraa, että

$\backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash sqrt\{1-(\backslash sin\; t)^2\}\; \backslash cos\; t\; \backslash ,\; dt$	$=$	$\backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash sqrt\{(\backslash cos\; t)^2\}\; \backslash cos\; t\; \backslash ,\; dt$
	$=$	$\backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; |\; \backslash cos\; t\; |\; \backslash cos\; t\; \backslash ,\; dt$.

Koska kosini on ei-negatiivinen kyseisellä integroimisvälillä, on $\backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; |\; \backslash cos\; t\; |\; \backslash cos\; t\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; (\backslash cos\; t)^2\; \backslash ,\; dt$. Kaavasta $(\backslash cos\; t)^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(1\; +\; \backslash cos\; 2t)$ seuraa $\backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; (\backslash cos\; t)^2\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; (1\; +\; \backslash cos\; 2t)\; \backslash ,\; dt$. Edeltävästä esimerkistä seuraa lopputulos $\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; (1\; +\; \backslash cos\; 2t)\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$.

Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointi on operaatio, jonka merkitys riippuu asiayhteydestä, mutta osittaisintegrointikaava Riemannin integraalille pätee seuraavassa muodossa. Olkoon $f$ ja $g$ derivoituvia sekä derivaatat $f\text{'}$ ja $g\text{'}$ Riemann-integroituvia välillä $[a,b]$. Tällöin

$\backslash int\_a^b\; f(x)g\text{'}(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; f(b)g(b)\; -\; f(a)g(a)\; -\; \backslash int\_a^b\; f\text{'}(x)g(x)\; \backslash ,\; dx$.

Esimerkki

Lasketaan Riemannin integraalin

$\backslash int\_1^2\; \backslash ln\; x\; \backslash ,\; dx$ arvo osittaisintegroinnilla. Tehdään tämä valitsemalla Riemannin integraalin osittaisintegrointikaavassa $f(x)\; =\; \backslash ln\; x$, $g(x)\; =\; x$ sekä $a=1$ ja $b=2$. Tällöin $f\text{'}(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}$ ja $g\text{'}(x)\; =\; 1$. Osittaisintegrointikaavan mukaan

$\backslash int\_1^2\; \backslash ln\; x\; \backslash cdot\; 1\; \backslash ,\; dx$	$=$	$\backslash ln\; 2\; \backslash cdot\; 2\; -\; \backslash ln\; 1\; \backslash cdot\; 1\; -\; \backslash int\_1^2\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; \backslash cdot\; x\; \backslash ,\; dx$
	$=$	$2\; \backslash ln\; 2\; -\; 0\; -\; (2-1)$
	$=$	$2\; \backslash ln\; 2\; -\; 1$.

Riemannin integraalin likiarvot Taylorin kaavalla

Riemannin integraalin sovelluksia

Riemannin integraali soveltuu määritelmänsä kautta luonnollisesti tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseen.

Tasokuvion pinta-ala

Tasokuvion, joka jää suorien $x=a$ ja $x=b$ sekä x-akselin ja jatkuvan funktion $f:\; \backslash \; [a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}\_+$ kuvaajan $y=f(x)$ sisäpuolelle, pinta-ala on

$\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx$. Yleisemmin, jos $f$ ja $g$ ovat jatkuvia funktioita $[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ ja $f>g$, niin niiden kuvaajien sekä suorien $x=a$ ja $x=b$ väliin jäävän tasokuvion pinta-ala on $\backslash int\_a^b\; (f(x)-g(x))\; \backslash ,\; dx$.

Käyrän pituus

Olkoon $\backslash Gamma$ tasokuviossa jatkuva käyrä, joka on kuvaus

$[a,b]$	$\backslash rightarrow$	$\backslash mathbb\{R\}^2$
$t$	$\backslash mapsto$	$(x(t),y(t))$,

missä $x$ ja $y$ ovat kuvauksia $[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$, joiden derivaatat ovat jatkuvia välillä $[a,b]$. Tällöin käyrän $\backslash Gamma$ pituus on

$\backslash int\_a^b\; \backslash sqrt\{(x\text{'}(t))^2\; +\; (y\text{'}(t))^2\}\; \backslash ,\; dt$.

Käyrän pyörähdyskappaleen tilavuus

Jos $f:\; [a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}\_+$ on jatkuva funktio, niin suorien $x=a$ ja $x=b$ ja käyrän $y=f(x)$ x-akselin pyörähdyskappaleen tilavuus on

$\backslash pi\; \backslash int\_a^b\; (f(x))^2\; \backslash ,\; dx$.

Käyrän pyörähdyskappaleen pinnan ala

Jos $f$ on funktio $[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}\_+$, joka on positiivinen välillä $]a,b[$ ja jonka derivaatta on jatkuva välillä $[a,b]$, niin käyrän $y=f(x)$ pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen pinnan ala on

$2\backslash pi\; \backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash sqrt\{1+f\text{'}(x)^2\}\; \backslash ,\; dx$.

Katso myös

• Henstock-Kurzweil-integraali Riemannin integraalin yleistys

Aiheesta muualla

• MathWorld. Darboux Integral
  • MathWorld. Lower Sum
  • MathWorld. Upper Sum
  • MathWorld. Lower Integral
  • MathWorld. Upper Integral
• MathWorld. Riemann Sum
• MathWorld. Riemann Integral
• MathWorld. Improper Integral
• MathWorld. Integration by Parts