Sarja (matematiikka)

Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Sarjan summa

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.

Esimerkki

Voidaan päätellä, että $0\{,\}3\; +\; 0\{,\}03\; +\; 0\{,\}003\; +\; ...\; =\; 0\{,\}333...\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}.$

Tämän sarjan osasummien jonolla

$(0\{,\}3;\; 0\{,\}3\; +\; 0\{,\}03;\; 0\{,\}3\; +\; 0\{,\}03\; +\; 0\{,\}003;...)\; =\; (0\{,\}3;\; 0\{,\}33;\; 0\{,\}333;\; ...)\backslash !$

on raja-arvo $\backslash frac\{1\}\{3\}.$

Sarjan $\backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; a\_k\; =\; a\_1+a\_2+...+a\_n+...$ osasummia ovat
$S\_1=a\_1$
$S\_2=a\_1+a\_2$
$S\_3=a\_1+a\_2+a\_3$
$...$
$S\_n=a\_1+a\_2+a\_3+...+a\_n$
$...$

Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on
$S=\backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; a\_k\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; S\_n\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}\; a\_k.$

• Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee.
• Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.

Aritmeettinen ja geometrinen sarja

Sarja $\backslash sum\_\{\}^\{\}\; x\_n$ on aritmeettinen, jos lukujono $x\_n$ on muotoa $(x\_1\; +\; (n\; -\; 1)d)$ eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio $d$.

Sarja $\backslash sum\_\{\}^\{\}\; x\_n$ on geometrinen, jos lukujono $x\_n$ on muotoa $(x\_1\; q^\{n-1\})$ eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio $q$.

Kaavoja ja sääntöjä

1. Sarja $\backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; a\_k$ hajaantuu, jos
   • $\backslash lim\_\{k\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_k\; \backslash ne\; 0$ tai
   • $\backslash lim\_\{k\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_k$ ei ole olemassa.
2. Aliharmoninen sarja
3. Harmoninen sarja $\backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{k\}$ hajaantuu.
4. Yliharmoninen sarja $\backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{k^p\},\; p>1$ suppenee.
5. Geometrinen sarja $\backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; a\_1\; q^\{k-1\}$ suppenee, kun tai $a\_1=0$.
   • Tällöin $\backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; a\_1\; q^\{k-1\}=\backslash frac\{a\_1\}\{1-q\}.$

Esimerkkejä

Määritetään sarjan $\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{9\}\{2^k\}$ summa.

Osasumma $S\_n=\backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\; \backslash frac\{9\}\{2^k\}=9\backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^k$
Summa on geometrinen summa; $a\_1=1,\; q=\backslash frac\{1\}\{2\}$, termejä $n+1$.
$S\_n=9\backslash cdot\backslash frac\{1-\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^\{n+1\}\}\{1-\backslash frac\{1\}\{2\}\}$.

$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; S\_n=\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; 9\backslash cdot\backslash frac\{1-\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^\{n+1\}\}\{1-\backslash frac\{1\}\{2\}\}\; =9\backslash cdot\backslash frac\{1-\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^\{\backslash infty\}\}\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}=9\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}=18$

Sarjakehitelmä

Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.