Satunnaiskulku

Satunnaiskulku () on matematiikassa yksinkertainen stokastinen prosessi, joka formalisoi ajatuksen satunnaiseen suuntaan otetuista peräkkäisistä askelista.

Täsmällisesti ilmaistuna kyse on Markov-prosessin erikoistapauksesta, jonka tiloja ovat kokonaisluvut $i=0,\backslash pm\; 1,\backslash pm\; 2,...$. Markov-proseisseissa todennäköisyyttä siirtyä tilasta $i$ tilaan $j$ merkitään $P\_\{i,j\}$. Satunnaiskäynnissä siirtymätodennäköisyydet ovat $P\_\{i,i+1\}=p=1-P\_\{i,i-1\}$, missä . Siirtymä on siis täsmälleen yksi askel joko oikealla tai vasemmalle lukusuoralla, paikallaan pysyminen tai pidemmät askeleet eivät ole sallittuja.

Satunnaiskulku perustuu seuraaville säännöille:

• on olemassa alkupiste
• etäisyys pisteestä toiseen on vakio
• kaikki suunnat ovat yhtä todennäköisiä

Ajatellaan nyt satunnaiskulkua pisteen siirtyminä kussakin aikayksikössä tasaisella nopeudella lukusuoralla yksikön verran oikealle tai vasemmalle. Näin satunnaiskulku on jatkuva funktio aika-akselilta lukusuoralle. Lukusuoran tilalle voidaan ottaa myös kaksi- kolmi- tai useampiulotteinen koordinaatisto jolloin saadaan satunnaiskulun yleistys useampaan ulottuvuuteen.

Lyhennetään siirtymäaikaa niin että uusi siirtymäaika saadaan jakamalla aikayksikkö positiivisen kokonaisluvun n toisella potenssilla. Lisäksi siirtymän pituudeksi lukusuoralla asetetaan 1/n. Tällöin on mahdollista osoittaa, että kokonaisluvun n kasvaessa satunnaiskulku lähestyy matemaattista Brownin liikettä (eli Wienerin prosessia).

Lähde: Dynkin,Juschkewitsch: Sätze und Aufgaben uber Markoffsche Prozesse, Springer-Verlag 1969 ss. 35-38

Esimerkki

Yksinkertainen esimerkki on niin sanottu juopon merimiehen kävely. Oletetaan baarista tukevassa humalassa lähtevä merimies. Oletetaan tilanne yksiulotteiseksi. Merimies pullautetaan baarista kadulle, jota edustaa lukusuora. Baarin ovi on lukusuoran kohdassa x=0. Pisteessä x=L ,kadun toisessa päässä sijaitsee oja. Merimies voi astua lukujanaa vasemmalle (negatiiviseen suuntaan) tai oikealle (positiiviseen suuntaan), kummatkin vaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä ja askelet ovat vakiopituisia. Teoria ennustaa, että merimies päätyy täysin varmasti, eli todennäköisyydellä yksi, ennemmin tai myöhemmin ojan pohjalle. Lievennyksenä tähän voi sanoa että ehkä merimies samuu ennen kuin päätyy ojaan. Se johtuu siitä että ei kuitenkaan ole olemassa mitään äärellistä askelmäärää, jota ennen jo aivan varmasti oltaisiin ojassa.

Sovelluksia

• Fysiikassa satunnaiskulkua käytetään yksinkertaisena mallina Brownin liikkeelle
• Taloustieteessä satunnaiskulkua voidaan käyttää osakkeiden hintojen mallintamiseen.
• Genetiikassa satunnaiskulkua käytetään kuvaamaan populaatioiden geeneissä tapahtuvia muutoksia.

Katso myös

• Diffuusio(matematiikka)