Suora

Suora on geometrian peruskäsite. Intuitiivisesti suora on sellainen viiva, jossa ei ole kaarevuutta, ts. sanotaan, että suora on lineaarinen. Toisaalta suoralla on vain leveys tai pituusell, toisin kuin esimerkiksi pisteä tai tasolla. Suoralla ei ole päätepisteitä, toisin kuin esimerkiksi janalla. Suora on sellaisen ympyrän kehä, jonka säde on ääretön.

Eukleidesin Alkeet-teoksessa suora (tai tässä suora viiva) määritellään seuraavasti:

Viiva on pituudeton leveys.

Viivan äärirajat ovat pisteitä.

Suora viiva on viiva, joka lepää tasaisesti pisteillään.

Tämä määritelmä sisältää ongelman: mitä tarkoittaa, kun sanotaan, että viiva 'lepää tasaisesti pisteillään'?

Suora määritelläänkin nykyään siten, että seuraavat aksioomat ovat voimassa:

1. Tasossa on olemassa osajoukkoja, joita kutsutaan suoriksi.

2. Jokaista kahta eri pistettä A ja B kohti on olemassa yksi ja vain yksi suora l jolla $A\in l$ ja $b\in l$

3. Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettä. Tasossa on ainakin kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.

4. Suorille on määritelty relaatio välissä: Jos piste C on pisteiden A ja B välissä, niin A, B ja C ovat suoran eri pisteitä. Tällöin C on myös pisteiden B ja A välissä.

5. Jos A ja B ovat eri pisteitä, niin suoralla AB on piste C siten että B on A:n ja C:n välissä.

6. (Paschin aksiooma) Olkoon piste C suoran AB ulkopuolella. Olkoon a suora ja $A \not\in a$ , $B \not\in a$ , $C \not\in a$ . Jos a leikkaa janan AB, niin se leikkaa ainakin toisen janoista AC ja BC.

Usein koulumatematiikassakin käytetään kaksiulotteisen reaaliavaruuden R² ensimmäisen asteen yhden muuttujatan funktio kuvaamaan suoraa. Tällöin nimetään reaaliakseleita muuttujilla x ja y, ja annetaan y x:n funktiona, kuten vaikkapa

y = f(x) = ax + b\!

, jossa

a,b\in\mathbb{R}

Vektorimuoto

Suora voidaan määritellä myös vektorien avulla:

Olkoot x ja y kolmiulotteisen reaaliavaruuden R³ pisteitä.

Pisteitä x ja y vastaavat paikkavektorit ovat

{x} = \begin{pmatrix}

x_1\\
x_2\\
x_3\\

\end{pmatrix} ja\ {y} = \begin{pmatrix}

y_1\\
y_2\\
y_3\\

\end{pmatrix}

, missä x₁, x₂ ja x₃ sekä y₁, y₂ ja y₃ ovat pisteiden x ja y koordinaatit.

Pisteiden x ja y kautta kulkevan suoran l suuntavektori s on

{s} = \begin{pmatrix}

y_1-x_1\\
y_2-x_2\\
y_3-x_3\\

\end{pmatrix}

Suoran l pisteille S saadaan yhtälö {S $\in$ l | S = x + ts}, missä t on reaaliluku. Huomaa, että kun t = 0, saadaan piste x ja kun t = 1, saadaan piste y.