Todennäköisyysjakauma

Todennäköisyysjakauma on todennäköisyyslaskennan käsite, jolla kuvataan satunnaismuuttujan todennäköisyyttä saada tietty arvo. Todennäköisyysjakauman määrittelee funktio, joka kuvaa jokaisen reaalilukujen välin todennäköisyydeksi siten, että todennäköisyysaksioomat täyttyvät. Täsmällisesti määriteltynä se on todennäköisyysmitta, jonka lähtöjoukko on reaalilukujen Borel-joukko.

Jokaisella satunnaismuuttujalla on todennäköisyysjakauma ja todennäköisyysjakauma sisältää olennaisen tiedon satunnaismuuttujasta. Olkoon X satunnaismuuttuja, jolloin todennäköisyys että se saa arvon väliltä [a,b] on Pr[a ≤ X ≤ b].

Kertymäfunktio F(x) kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman yksikäsitteisesti ja se on määritelty kaikille reaaliluvuille x

$F(x)\; =\; \backslash Pr\backslash left[\; X\; \backslash le\; x\; \backslash right].$

Tiheysfunktio f(x) on kertymäfunktion derivaatta. Sen voi ajatella kertovan todennäköisyyden pisteessä x ja vastaavan histogramman tasoitettua versiota. Tiheysfunktio on olemassa, jos kertymäfunktio on aidosti derivoituva. Tällöin

$F(a)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^a\; f(x)\backslash ,dx.$

Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos sen otosavaruus on numeroituva. Tällöin kertymäfunktio on porrasfunktio eli se koostuu äärellisestä määrästä hyppyjä. Sen tiheysfunktiota vastaa pistetodennäköisyysfunktio Pr(x), joka kertoo diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyden saada arvo x. Jos x ei kuulu otosavaruuteen, saa se arvon 0.

Kertymäfunktiolla on seuraavat ominaisuudet:

• F(x) on ei-laskeva
• $F(-\backslash infty)=0$ ja $F(\backslash infty)=1$
• F on oikealta jatkuva

Todennäköisyysjakaumia

Suluissa annetaan esimerkki jakauman tulkinnasta.

Diskreettejä jakaumia:

• Bernoullin jakauma (dikotominen koe)
• Binomijakauma (toistokoe)
• Geometrinen jakauma (toistokokeen ensimmäisen onnistumisen kerta)
• Hypergeometrinen jakauma (otanta ilman takaisinpanoa)
• Negatiivinen binomijakauma (toistokokeen mielivaltaisen monennen onnistumisen kerta)
• Poissonin jakauma (Poisson-prosessin insidenssien lukumäärä)

Jatkuvia jakaumia:

• Tasajakauma (pyöristysvirhe)
• Normaalijakauma (keskeinen raja-arvolause)
• Log-normaalijakauma
• Beta-jakauma
• Cauchy-jakauma
• Eksponenttijakauma (muistinmenetysominaisuus)
• F-jakauma
• Gamma-jakauma (Poisson-prosessin insidenssien odotusajat)
• Khii toiseen -jakauma (riippumattomien normaalijakautuneiden muuttujien neliöiden summa)
• Pareto-jakauma
• Studentin t-jakauma
• Weibull-jakauma

Moniulotteisia jakaumia:

• Dirichlet-jakauma (jatkuva, multinomijakauman posteriorijakauma)
• Moniulotteinen Studentin t-jakauma
• Multinomijakauma (diskreetti, toisensa poissulkevien tapahtumien frekvenssit toistokokeessa)
• Multinormaalijakauma