Vektori

Vektori on vektoriavaruuden alkio. Tyypillisesti vektori on n:n muun alkion (usein reaali- tai kompleksilukujen) järjestetty joukko. Alkioiden lukumäärä n ilmaisee myös vektorin ulottuvuuden. Tällainen vektori on matriisin erikoistapaus eli matriisi, jonka leveys on 1.

Vektorin ei kuitenkaan tarvitse olla järjestetty lukujoukko eikä muukaan järjestetty joukko, vaan vektoreita voivat olla mitkä tahansa oliot, joiden välillä vektoriavaruuden laskutoimitukset on määritelty. Juuri tämä vektorien yleiskäyttöisyys on tehnyt lineaarialgebrasta tehokkaan matemaattisen työkalun.

Geometrisesti nollavektorista poikkeavilla vektorilla on suunta ja pituus (vertaa janann). Nollavektori suunta on määräämätön ja pituus 0. Fysiikassa mm. nopeus on vektorisuure ja sen itseisarvo, vauhti, on skalaari.

Biologiassa ja lääketieteessä vektori tarkoittaa tartunnanlevittäjää tai -välittäjää, esim. virusvektorit.

Tyypillinen vektori

Mikäli vektori on järjestetty joukko, se voidaan esittää muodossa:

$a\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{bmatrix}, jossa kaikki alkiot $a\_i,~i\; =\; 1,..,n$ kuuluvat johonkin joukkoon. Joskus tilan säästämiseksi vektorit kirjoitetaan vaakavektoreina muodossa $a\; =\; \backslash Big(a\_1,a\_2,...,a\_n\; \backslash Big)$ tai tulkitaan matriisin transpoosiksi $a\; =\; [a\_1,a\_2,...,a\_n]^\{\backslash mathbf\{T\}\}$. Vektorit kirjoitetaan matematiikassa yleensä lihavoiduilla kirjaimilla ja fysiikassa vektorinuolien avulla: $\backslash mathbf\{a\}$ ja $\backslash vec\{a\}$.

Yleisiä laskutoimituksia

Yleisiä vektoriavaruudelle määriteltyjä laskutoimituksia ovat vektoreiden $\backslash mathbf\; x,\backslash mathbf\; y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{V\}$summa:

$\backslash mathbf\; x\; +\backslash mathbf\; y$

sekä kerroinkunnan alkiolla kertominen $c\; \backslash in\; \backslash mathbb\{A\}$:

$c\backslash mathbf\; x$

Näiden lisäksi usein vektoriavaruuksissa määritellään normi, joka on vektorin pituuden yleistys

$\backslash left|\; \backslash left|\; \backslash mathbf\; x\; \backslash right|\; \backslash right|$.

Tällöin vektoreiden sanotaan muodostavan normiavaruuden.

Voidaan myös määritellä pistetulo

$\backslash mathbf\{a\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}$

=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos(\theta), missä $\backslash theta$ on vektoreiden välinen kulma. Pistetuloa voidaan merkitä symbolilla

$\backslash langle\; \backslash mathbf\{a\},\; \backslash mathbf\{b\}\; \backslash rangle$,

sillä pistetulo on erikoistapaus sisätulosta ja pistetulolla täydennettyä vektoriavaruutta kutsutaankin sisätuloavaruudeksi.

Perusavaruuksien vektorit

Jos kaikki n-ulotteisen vektorin

$\backslash mathbf\{a\}=\; \backslash begin\{bmatrix\}$

a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{bmatrix} alkiot $a\_\{i\}$ ovat reaalilukuja ts. $\backslash forall\; \backslash left\backslash \{1,2,...,n\backslash right\backslash \}:\; a\_\{i\}\; \backslash in\backslash mathbb\{R\}$, niin a on reaaliarvoinen vektori, merkitään $\backslash mathbf\{a\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^n$.

Vastaavasti jos kaikki alkiot ovat komplesilukuja, on vektori kompleksiarvoinen vektori, eli $\backslash mathbf\{a\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^n$

Jos vektori kuuluu avaruuteen $\backslash mathbb\{R\}^2$ voidaan se piirtää myös koordinaatistoon. Jos vektori piirretään alkamaan origosta (paikkavektori), sen kärkipiste osoittaa komponenttien lukuarvojen mukaista koordinaatiston pistettä. Eli esim. vektorin

$\backslash mathbf\{a\}=\; \backslash begin\{bmatrix\}$

7 \\ -5 \end{bmatrix} kärki on pisteessä (7, -5). Vastaava suhde löytyy myös avaruuden $\backslash mathbb\{R\}^3$ vektoreilla kolmiulotteiseen koordinaatistoon. Usein nämä vektorit rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia.

Reaaliavaruuden laskutoimituksia

Reaaliavaruudessa $\backslash mathbb\{R\}^3$ (ja samalla myös avaruuden $\backslash mathbb\{R\}^2$) vektoreiden $\backslash mathbf\{x,\; y\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^3$ laskutoimituksille on käytössä seuraavat määritelmät.

Pituus eli normi

$\backslash left|\; \backslash left|\; \backslash mathbf\; x\; \backslash right|\; \backslash right|\; :=\; \backslash sqrt\{x\_1^2\; +\; x\_2^2\; +\; x\_3^2\}$, jossa alkiot $x\_1,\; x\_2,\; x\_3$ ovat vektorin x alkioita.

Skalaaritulo eli pistetulo

Pistetulo on kahden vektorin välinen erikoistapaus sisätulosta. Se yleistyy suoraan $n$-ulotteisen avaruuden vektoreille.

$\backslash langle\backslash mathbf\; x\; ,\; \backslash mathbf\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{y\}\; :=\; \backslash left|\; \backslash left|\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash right|\; \backslash right|$

\left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \cos \theta = \mathbf{x}^T \mathbf{y}, kun $\backslash mathbf\{x,\; y\}\backslash ne\; \backslash mathbf\{0\}$, missä $\backslash theta$ on vektoreiden x ja y välinen kulma.

Vektoritulo eli ristitulo

Ristitulo on esimerkki ulkoisesta tulosta. Se on määritelty ainoastaan $\backslash mathbb\{R\}^3$:n vektoreille

$\backslash mathbf\{x\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{y\}\; :=\; \backslash mathbf\{e\}\; \backslash left|\; \backslash left|\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash right|\; \backslash right|$

\left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \sin \theta

missä e on vektoreita x ja y vastaan kohtisuora yksikkövektori (eli vektori, jonka normi $\backslash left|\; e\; \backslash right|\; =\; 1$) ja vektorit x, y ja e muodostavat oikeakätisen koordinaatiston.

Karteesisessa koordinaatistossa x,y ja z akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla $\backslash mathbf\; i,\; \backslash mathbf\; j,\; \backslash mathbf\; k$ määriteltyjen vektoreiden $\backslash mathbf\; x$ ja $\backslash mathbf\; y$ ristitulo voidaan laskea determinantin avulla:

$\backslash mathbf\; x\; =\; a\; \backslash mathbf\; i\; +\; b\; \backslash mathbf\; j\; +\; c\; \backslash mathbf\; k$

$\backslash mathbf\; y\; =\; d\; \backslash mathbf\; i\; +\; e\; \backslash mathbf\; j\; +\; f\; \backslash mathbf\; k$

a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix} = bf\mathbf i + cd\mathbf j + ae\mathbf k - ce\mathbf i - af\mathbf j - bd\mathbf k

Aiheesta muualla

• Jotain vektoreista