Jusqu'à l'aube du les méthodes utilisées, si elles dénotent une grande astuce chez les mathématiciens, sont finalement peu nombreuses et de principes simples. L'exemple suivant, tiré du problème des deux carrés, en illustre trois : existe-t-il un nombre dont la division par quatre donne pour reste trois et qui est somme de deux carrés ? Soit a 2 et b 2 ces deux carrés. Seul l'un est pair car sinon leur somme serait paire et sa division par 4 aurait soit 0 soit 2 comme reste. Supposons a pair et b impair. a est pair donc son carré est un multiple de 4. L'entier b est impair donc s'écrit 2c + 1, son carré est égal à 4c 2 + 4c + 1, la division de b 2 par quatre donne pour reste un et la somme des deux carrés donne aussi pour reste un.
Ces deux grandes découvertes procèdent d'une même démarche, la mise au point d'outils plus sophistiqués que ceux dont disposaient Fermat ou Euler, simplifiant les démonstrations au prix d'une abstraction plus grande. Sa démarche fonde l'arithmétique modulaire.
Elle est appliquée d'abord aux entiers puis aux polynômes puis à un nouvel ensemble d'entiers, maintenant appelés entiers de Gauss. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) découvre un ensemble analogue, celui des entiers de Dirichlet. Il lui permet d'initier la preuve du théorème de Fermat pour n = 5 qu'il envoie à l'académie des sciences en 1825. Elle est analysée par Legendre qui met quelques mois pour la mener à bonne fin[Dirichlet Démonstration du théorème de Fermat et de Wilson (compte-rendu par Cournot de quelques mémoires d'Abel, Jacobi et Lejeune-Dirichlet, au Journ. der Mathemat., de M. Crelle, t. 3, cah. 4). 1829, t. 11, p. 153-157].
Toutes les équations diophantiennes de Fermat sont maintenant résolues à l'exception de son grand théorème. De nouvelles conjectures apparaissent. Par exemple, si a et b sont premiers entre eux, la suite arithmétique de valeur initiale a et de raison b contient-elle des nombres premiers, si oui combien ? Gauss et d'autres mathématicien comme Legendre ont bien imaginé qu'il en existe une infinité mais ne parvient pas à le démontrer. De même la loi de réciprocité quadratique doit posséder des équivalents pour les ordres supérieurs.
L'arithmétique modulaire est enrichie. Dirichlet, un élève de Gauss trouve une démonstration[Dirichlet Recherches de diverses applications de l'analyse infinitésimale à la théorie des nombres J. Reine Angew math. (19) 1839 ibid (21) 1840] du théorème de la progression arithmétique en développant le concept des caractères et en formalisant les bases de la théorie analytique des nombres. Son raisonnement est un joyau de l'arithmétique modulaire, C. G. J. Jacobi (1804 - 1851) écrit, dans une lettre à son frère : [W. Ahrens Briefwechsel zwischen C. G. J. Jacobi und M. H. Jacobi The Mathematical Gazette, Vol. 4, No. 71 pp. 269-270, 1908] Dirichlet n'est pas le premier à utiliser des outils qui sont maintenant qualifiés de conséquence de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Legendre pour tenter de démontrer la loi de réciprocité quadratique développa des calculs similaires[Adrien-Marie Legendre Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798] sur les réels, formalisant ce qui est maintenant appelé le symbole de Legendre. Gauss enfin, généralise cette approche aux nombres complexes dans son livre de 1801. Ses calculs portent le nom de somme de Gauss et période de Gauss.
Enigma, une machine de chiffrement utilisée durant la
Ce domaine quitte celui des mathématiques pures. En revanche, une application industrielle fait, au cours de temps, de plus en plus appel aux notions mathématiques développées par Gauss : la science des codes secrets appelée cryptologie. En 1883, Auguste Kerckhoffs (1835 - 1903) énonce que : [Auguste Kerckhoffs La cryptographie militaire, Journal des sciences militaires, vol. IX, pp. 5–83 et pp. 161–191, 1883 lire ]
. Cette approche est à l'origine d'une modification profonde de cette science. Au milieu du XXe siècle, elle devient une branche des mathématiques appliquées[Claude E. Shannon, Communication Theory of Secrecy Systems, Bell System Technical Journal, Vol 28, pp. 656-715, 1949. (lire )].
Au début des années 1930, le bureau du chiffre polonais fait appel au mathématicien Marian Rejewski (1905 - 1980) pour percer le code du système Enigma, utilisé par les Allemands. Les anciens codes, comme le chiffre de César, sont réinterprétés comme une transformation mathématique dans l'ensemble des modulo de Gauss sur les nombres entiers. Le terme d'[Alain Tapp Cryptographie Laboratoire d’informatique théorique et quantique Université de Montréal lire ] est utilisé pour décrire ces techniques. Durant les années 1970, Horst Feistel (1915 - 1990) développe[Horst Feistel Cryptography and Computer Privacy Scientific American, Vol. 228, No. 5, 1973. lire ] un système à clé privée, le Data Encryption Standard ou DES, qui devient le standard des applications non classifiées[Don Coppersmith The data encryption standard (DES) and its strength against attacks, IBM Journal of Research and Development; 38(3), p 243–250 1994 lire ]. Les cryptanalystes du DES, et plus généralement des chiffrements symétriques, utiliseront des mathématiques issues des travaux de Dirichlet sur les caractères, dans le cadre d'un espace vectoriel sur un corps fini à deux éléments.
En 1978 une nouvelle famille de codes est découverte[Whitfield Diffie Martin Hellman New directions in cryptography, IEEE Trans. Inform. Theory, IT-22, 6, pp. 644-654 1976], fondée sur une clé publique. Des solutions industrielles sont rapidement développées, la plus célèbre est dénommée R.S.A. Elle se fonde sur les travaux de Fermat et d'Euler[R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman. A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems , Communications of the ACM, Vol. 21 (2), pp.120–126. 1978]. Le terme est, dans ce contexte, utilisé pour décrire[Laurent Bloch, Les systèmes d'exploitation des ordinateurs. Histoire, fonctionnement, enjeux, Vuibert, 2003, ISBN 2-7117-5322-2] non seulement la structure des modulo sur les entiers, mais aussi les théorèmes traitant des nombres premiers comme la décomposition en produit de facteurs premiers, le théorème chinois, le petit théorème de Fermat et sa généralisation par Euler.
L'arithmétique modulaire est un domaine de recherche actif au début du . Une mise en œuvre efficace nécessite l'utilisation d'opérations sur des grands ensembles de modulo. L'approche de Gauss est utilisée sur des polynômes à coefficients dans un corps fini. L'arithmétique modulaire se généralise à d'autres ensembles que les quotients d'entiers[Thomas Plantard Arithmétique modulaire pour la cryptologie Thèse de l'Université de Montpellier II, 2005 lire ], par exemple pour la cryptanalyse.
Théorie de l'information
contenant une
unité arithmétique et logique fondé sur l'arithmétique modulaire
La cryptographie n'est pas l'unique domaine utilisant le vocable . La fin de la
Deuxième Guerre mondiale voit l'apparition d'une nouvelle science : la
théorie de l'information. En
1948, sous l'impulsion de
Claude Shannon (1916 - 2001), elle devient
[Claude Shannon A Mathematical Theory of Communications, Bell System Technical; Journal, vol. 27, pp. 379-423, 623-656 1948] une branche des
mathématiques appliquées.
Si la confidentialité est l'un des sujets abordés, la fiabilité est aussi un thème majeur. Richard Hamming (1915 - 1998) propose un premier algorithme[Richard Hamming Error Detecting and Correcting Codes, Bell System Tech. Jour., 29, 150-163 1950] dès 1950. Une fois encore, les modulo sur les entiers sont utilisés pour une des plus simples techniques de code : les sommes de contrôle. En 1960, de nouveaux codes plus puissants sont développés[R. C. Bose and D. K. Ray-Chaudhuri On a class of error-correcting. binary group codes Inform. Control, vol. 3, pp. 68-79 1960], sur la base de polynômes à coefficients dans un corps fini. L'arithmétique utilisée prend souvent le nom de [J. Velu Méthodes mathématiques pour l'informatique Dunod informatique 1987].
L'informatique devient un sujet[Jean Berstel, Jean-Éric Pin et Michel Pocchiola Mathématiques et informatique : exercices résolus, vol. 2 McGraw-Hill France, 1991], on y trouve même les entiers de Gauss ou les polynômes, par exemple, pour des calculs sur des grands entiers.
Les techniques développées pour la cryptographie, la théorie des codes et l'arithmétique informatique reposent sur les mêmes concepts, offrant une relative unité aux mathématiques de la théorie de l'information.
Outils de l'arithmétique modulaire
Congruence et les entiers
L'exemple historique de l' repose sur les
nombres entiers. Un entier
n étant fixé, le calcul modulo
n consiste à identifier tous les entiers à leur reste dans la division euclidienne par
n ; ceci peut être illustré par l'exemple de l', qui correspond à
n=12 : la petite aiguille se trouve dans la même position à deux moments éloignés de douze heures, on identifie par exemple 13 h à 1 h. Pour obtenir un calcul sur un tel ensemble, on vérifie que l'addition et la multiplication sont compatibles avec les identifications. Cette formalisation
[Adrien-Marie Legendre Recherches d'Analyse Indéterminée Hist Acad Roy des Sciences (1785/1788)] est l'œuvre de Legendre, qui donne le nom de
résidu aux différents éléments.
L'apport de Gauss consiste à analyser la structure de cet ensemble, maintenant qualifié du nom d'anneau de congruences et noté Z/nZ. Elle se divise en premier lieu en l'étude de l'addition, qui définit un groupe cyclique de générateur 1 ; puis de la multiplication, qui dépend des propriétés du modulo. Si celui-ci est premier, on obtient un corps. Cette approche simplifie les démonstrations arithmétiques. Les deux exemples historiques du livre Disquisitiones arithmeticae sont le théorème de Wilson[Carl Friedrich Gauss, Recherches arithmétiques, 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p56 1807] et le petit théorème de Fermat[Carl Friedrich Gauss, Recherches arithmétiques, 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p 34 1807].
Le calcul modulaire, dans le cas où le modulo n'est pas premier, est plus complexe. Le théorème des restes chinois permet d'élucider la structure. L'anneau n'est pas intègre, il existe des diviseurs de zéro, ce sont des nombres qui, multipliés par un certain autre nombre, donnent zéro. Le nombre d'éléments inversibles est en général donné par la fonction indicatrice d'Euler. Elle permet, par exemple, de généraliser le petit théorème de Fermat.
Résidu et polynôme
Heptadécagone
, un polygone régulier de 17 cotés, mis en évidence avec les techniques de l'arithmétique modulaire]]
Gauss remarque que l'ensemble des polynômes à coefficients
rationnels peut se voir appliquer la logique du calcul modulaire, puisqu'il dispose d'une addition, d'une multiplication, et d'une division euclidienne. Les congruences sont les restes de la division euclidienne des polynômes par un polynôme donné.
Il applique cette approche au polynôme X n - 1 et trouve sa décomposition en produit de facteurs irréductibles, qui prennent le nom de polynôme cyclotomique. Gauss utilise ces résultats pour trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas l'heptadécagone.
Il hésite à considérer ces travaux comme de l'arithmétique ; il écrit : [Carl Friedrich Gauss, Recherches arithmétiques, 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p XV 1807]. Le terme d'arithmétique « transcendante » de Gauss est maintenant remplacé par celui d'arithmétique « modulaire ». La logique de cet argument est toujours d'actualité.
Entier algébrique
Le cas des polynômes à coefficients entiers diffère : la propriété de division ne fonctionne que pour des polynômes dont le plus grand coefficient est égal à plus ou moins un. Le cas des modulo du polynôme X 2 + 1 est envisagé : la structure modulaire obtenue est encore celle d'un anneau, s'identifiant à l'ensemble des nombres de la forme α + i.β où α et β sont des entiers et i désigne le nombre imaginaire, correspondant au monôme X. Cet ensemble est celui des entiers de Gauss.
]]
entiers de Gauss
]]
Il peut être muni d'une norme. À l'entier de Gauss a = α + i.β est associée la norme α2 + β2, qui provient du module des nombres complexes. Cette norme permet de définir une division euclidienne, comme l'illustre la figure de droite. Les entiers sont représentés par les intersections du quadrillage. La valeur a/b existe si b est différent de zéro, cependant cette valeur n'est pas nécessairement un entier de Gauss. Elle est représentée par le point noir de la figure. Dire qu'une division euclidienne existe, revient à dire qu'il existe un entier de Gauss à une norme strictement inférieure à un de ce point noir. L'illustration montre que, dans le cas présent, il existe au moins trois candidats. Dans le cas général, il en existe entre un et quatre et dans ce contexte seule l'existence compte.
Ce résultat de division euclidienne implique des propriétés sur cet anneau d'entiers : l'identité de Bézout, l'existence de nombres premiers de Gauss et un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique. Ces nombres premiers permettent à Richard Dedekind (1831-1916) de proposer une résolution simple du théorème des deux carrés. L'illustration géométrique est donnée sur la figure de gauche. Un nombre premier p s'exprime comme somme de deux carrés si le cercle de rayon la racine de p croise au moins un entier Gauss.
Ferdinand Eisenstein (1823 1852), un élève de Gauss, découvre un nouvel anneau d'entiers ; l'arithmétique sur cet anneau offre une démonstration rigoureuse du grand théorème de Fermat pour n égal à trois, justifiant, encore une fois, la nécessité théorique d'une telle généralisation de l'arithmétique modulaire.
Caractère de Dirichlet
.]]
caractère
.]]
Dirichlet s'intéresse aux nombres premiers de la forme n + λ.m où n et m sont deux entiers premiers entre eux et λ une variable qui décrit l'ensemble des entiers positifs. Il souhaite en effet démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de cette nature.
L'arithmétique modulaire est un bon outil pour cette problématique, qui est équivalente à trouver le cardinal de l'ensemble des nombres premiers dans une classe de modulo.
Dirichlet considère le groupe des éléments inversibles modulo m, et étudie l'ensemble des fonctions du groupe dans les nombres complexes non nuls qui vérifient, si a et b sont deux résidus : f(a.b) = f(a).f(b). De telles fonctions sont appelées caractères de Dirichlet. Il en existe φ(n), le produit de deux caractères est encore un caractère, et leur table de multiplication est exactement la même que celle du groupe des unités étudié.
Les calculs sur ces fonctions sont formellement analogues à ceux réalisés[Joseph Fourier Mémoire sur la propagation de la Chaleur dans les corps solides, Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomathique de Paris No 6 p. 112-116 1807] précédemment par Joseph Fourier (1768 - 1830). Il faut néanmoins atteindre le pour voir apparaître une théorie unifiant les deux approches. Elle prend le nom d'analyse harmonique.
Développements théoriques
Il est fréquent que des concepts mathématiques, développés dans un contexte, soient réutilisés dans d'autres domaines. Ainsi la
théorie des groupes s'applique à l'
arithmétique et à la
géométrie. Il en est de même pour les outils de l'arithmétique modulaire, dont les outils alimentent de vastes champs des
mathématiques pures, comme l'
algèbre générale ou la
théorie de Galois. Ces théories ne sont néanmoins pas considérées comme des cas particuliers d'arithmétique modulaire car elles font aussi appel à bien d'autres concepts.
Structure quotient
En langage moderne, l'arithmétique modulaire se formalise par la notion de quotient d'
anneaux euclidiens. Le concept de
relation d'équivalence permet de généraliser ce concept aux principales
structures algébriques. Le
quotient, d'un
groupe par un
sous-groupe normal, est, par exemple, un outil de base de la classification des
groupes finis, à travers le
théorème de Jordan-Hölder. Les groupes quotients sont aussi utilisés en
topologie algébrique pour classifier les
variétés. Dans la
théorie des anneaux, la notion d'
idéal joue un rôle analogue à celui de la notion de sous-groupe normal en théorie des groupes. Elle permet de construire des
anneaux quotients dans un contexte plus général que celui de l'arithmétique modulaire. Le
théorème des zéros de Hilbert, base du lien entre l'
algèbre commutative et la
géométrie algébrique, s'exprime en terme d'idéal.
Les termes de congruence et de modulo sont néanmoins réservés aux quotients sur un anneau euclidien.
Résidus de polynômes et théorie de Galois
L'arithmétique modulaire s'applique à l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps. Elle est le point de départ de la théorie[Evariste Galois sur les conditions de résolubilité des équations algébriques 1846 Journal de Liouville] d'Evariste Galois (1811 1832) et consiste en l'étude systématique des ensembles de modulo de polynômes irréductibles, l'équivalent des nombres premiers. Ces ensembles sont maintenant appelés extensions algébriques.
Ces extensions permettent l'analyse de la résolubilité des équations algébriques, c'est-à-dire des équations s'écrivant sous forme polynomiale. Si le polynôme est irréductible, son ensemble de modulo est le plus petit corps contenant au moins une racine. Il est appelé corps de rupture. En réitérant ce processus, un corps contenant toutes les racines, le corps de décomposition, est construit. La logique modulaire du quotient fournit la structure algébrique adaptée à cette problématique.
La théorie de Galois fait appel à bien d'autres notions. L'étude de la résolubilité de l'équation est possible via l'étude du groupe des automorphismes du corps, appelé groupe de Galois, grâce à la correspondance de Galois entres sous-corps et sous-groupes. Au-delà de l'étude de la résolubilité des équations algébriques, la théorie de Galois est devenue un cadre naturel de résolution de nombreux problèmes en arithmétique, géométrie arithmétique ou géométrie algébrique, et permet surtout de formuler de nouveaux problèmes plus généraux dans ces divers domaines.
Si cette théorie utilise le concept de quotient d'un anneau euclidien, la variété d'outils spécifiques à ce domaine en fait un champ propre, bien distinct du sujet de cet article. Il est à noter que l'un des fruits de cette théorie : les corps finis, encore appelés corps de Galois, fournissent un cadre naturel à de nombreuses applications en arithmétique modulaire.
Entier algébrique et théorie algébrique des nombres
pour de nombreuses valeurs de
n et fonde la théorie algébrique des nombres
L'arithmétique modulaire offre un bon cadre conceptuel pour la résolution du grand théorème de Fermat. Cependant, si
n est plus grand que
dix, les anneaux d'
entiers algébriques, construits selon la méthode de Gauss, présentent ce que Dirichlet appelle une
obstruction. Il montre que le
groupe des unités de cet anneau, c'est-à-dire des éléments ayant un inverse pour la multiplication, n'est plus un
groupe cyclique ou
abélien fini comme celui qu'étudiait Gauss. Il contient aussi des copies de l'anneau des entiers et est donc infini. Ce résultat prend le nom de
théorème des unités de Dirichlet. L'obstruction provient de cette nouvelle configuration. Elle empêche l'application des techniques modulaires utilisées pour les entiers de Gauss car l'anneau associé n'est plus euclidien.
Ernst Kummer (1810 - 1893) utilise un outil lié à la généralisation du quotient maintenant formalisé par les idéaux. Ils remplacent les nombres premiers absents. La théorie algébrique des nombres prend alors le relais, avec des techniques différentes. L'outil de base est un anneau dont les éléments sont appelés entiers algébriques et qui possède une structure dite d'anneau de Dedekind. Kummer parvient ainsi à démontrer[Ernst Kummer Sur la théorie des nombres complexes, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences. Paris. 1847] le grand théorème pour certaines valeur de n premier, c'est-à-dire pour les nombres premiers réguliers. Les seules valeurs inférieures à 100 non traitées sont 37, 59 et 67.
D'autres outils et objets d'étude apparaissent, comme l'anneau adélique, ceux de la théorie de Galois, les courbes elliptiques, les séries L de Dirichlet ou les formes modulaires. Certains proviennent de conséquences presque directes de l'arithmétique modulaire, comme les corps finis, utilisés de manière intensive au . La théorie algébrique des nombres est largement plus vaste que le cadre de l'arithmétique modulaire, tout en reposant in fine sur des techniques parfois similaires.
Caractère de Dirichlet et théorie analytique des nombres
fonction ζ
.]]
La découverte par Euler d'un
produit infini, construit à l'aide de nombres premiers et égal au sixième du carré de la surface d'un cercle de rayon
un, ouvre la voie à une approche différente pour la compréhension des nombres. Dirichlet l'utilise pour démontrer que chacun des modulo d'entiers du groupe des unités contient une infinité de nombres premiers. Ce résultat porte maintenant le nom de
théorème de la progression arithmétique.
Pour mener à bien sa démonstration, Dirichlet développe un outil spécifique, les séries L de Dirichlet. L'une de ses séries correspond à une célèbre fonction qui prendra le nom de ζ de Riemann. Sa plus grande difficulté consiste à prouver que ses fonctions n'ont pas de racine au point un. Pour y parvenir, il utilise l'analyse harmonique sur le groupe des unités d'une classe de modulo.
Néanmoins, une fois encore, l'arithmétique modulaire est insuffisante pour venir à bout du théorème. Dirichlet utilise de nombreuses techniques analytiques, comme les séries entières et l'analyse complexe. Le fruit de ces travaux donne naissance à une nouvelle branche des mathématiques : la théorie analytique des nombres. L'un des points cruciaux de cette théorie provient de l'unique article de Bernhard Riemann (1826 - 1866) en théorie des nombres : Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée. Il conjecture une localisation des racines de sa fonction ζ. La recherche de la position des racines, initié par Dirichlet, devient une préoccupation centrale et reste l'une des conjectures pressenties comme les plus difficiles des mathématiques de notre époque (2007).
Cryptographie
en vue d'une escroquerie. La nécessité de communication d'informations confidentielles représente un danger en cryptographie.]]
L'objet de la cryptographie est d'assurer la
confidentialité dans la transmission des messages et l'
authentification de ceux-ci. On peut citer deux exemples : la protection des messages qu'utilise une armée pour empêcher une anticipation de l'ennemi, ou la carte bleue proposée par le système bancaire, offrant à un usager une bonne sécurité.
En termes plus mathématiques, l'opération de chiffrement se traduit par un algorithme, c'est-à-dire une fonction f qui, à un message en clair m et une clé k, associe un message chiffré f(k, m). La connaissance du message chiffré et de l'algorithme doit être insuffisante pour reconstituer le message en clair sans une clé de déchiffrement. Dans le cas de la cryptographie traditionnelle, dite cryptographie symétrique, la clé de déchiffrement est identique à la clé de chiffrement ou s'en déduit aisément. Cette clé doit alors rester secrète.
La cryptographie asymétrique s'appuie sur le constat que seule la clé de déchiffrement doit rester secrète, et connue du seul récepteur du message. Elle n'a pas besoin d'être communiquée à ses correspondants. Alice utilise la clé de chiffrement de Bob, que celui-ci a rendu publique, pour lui envoyer un message. Seul Bob peut le déchiffrer, même Alice, si jamais elle avait perdu le message en clair, en serait incapable. Bob doit répondre en utilisant la clé de chiffrement d'Alice.
L'objectif est donc de définir une fonction simple à évaluer mais difficile à inverser sans la connaissance d'un secret. L'arithmétique modulaire a été la première à offrir des solutions, et elle est toujours à la base de beaucoup de solutions commerciales. Par exemple l'échange de clés Diffie-Hellman, premier exemple historique, exploite la difficulté pratique à inverser l'exponentiation modulaire. Cette dernière, ou ses généralisations à d'autres groupes, reste fondamentale dans le domaine.
La cryptographie asymétrique résout en particulier le délicat problème de la distribution des clés en cryptographie symétrique. Si plusieurs correspondants communiquent, en crypotographe asymétrique, une clé différente s'avère nécessaire pour chaque couple d'intervenants, alors qu'en cryptographie symétrique chaque correspondant dispose d'une clef qu'il garde secrète, et d'une clef qu'il rend publique. Cependant elle n'a pas fait disparaître les codes symétriques, qui offrent des algorithmes beaucoup plus efficaces. Pour une sécurité équivalente, les codes symétriques présentent l'avantage de nécessiter des clés nettement plus petites, 128 bits pour la version courante de AES, contre plus d'un millier pour le RSA, mais surtout le chiffrement comme le déchiffrement sont de cent à mille fois plus rapide[Christine Bachoc Cours de cryptographie symétrique p 3, Université de Bordeaux I]. Les systèmes cryptographiques modernes, comme ceux utilisés par les cartes bancaires, ou le protocole de communication cryptée SSL/TLS très utilisé sur Internet, n'utilisent qu'en début de communication la cryptographie asymétrique, pour échanger les clés d'un chiffrement symétrique qui prendra ensuite le relai.
Cryptographie asymétrique
algorithme
]] Le code
RSA est un exemple largement répandu de cryptographie asymétrique. Il se décrit de la manière suivante :
Alice (le choix des prénoms est traditionnel) souhaite pouvoir recevoir des messages de Bob sans qu'Ève puisse les déchiffrer. Alice choisit deux grands nombres premiers p et q et un entier e, premier avec l'ordre g du groupe des unités de Z/pqZ. Ici g est égal à (p - 1)( q - 1), soit la valeur de la fonction indicatrice d'Euler en n=pq. Les messages sont supposés être des éléments de cet anneau. Si Bob souhaite transmettre le message m à Alice, il transmet la valeur de me modulo n. Alice a rendu au préalable publiques les valeurs de n = p.q, e et donc la fonction f de chiffrement, qui est ici égale à :
Ève a pu intercepter la connaissance de
f,
e et
n, ces informations sont en effet publiques. En revanche, elle ne peut intercepter les valeurs de
p et
q qui n'ont jamais été communiquées.
Pour Bob, la fonction de codage est aisée : il s'agit d'une simple exponentiation modulaire. Pour Alice la lecture l'est aussi, il lui suffit de trouver une solution à l'identité de Bézout :
Si (
x0,
y0) est une solution, alors le
théorème d'Euler montre que :
En revanche Ève ne connaît pas
a priori la
décomposition en produit de facteurs premiers de
n. Elle doit calculer le
logarithme discret de
f(
m), ce qui constitue un problème ardu. La méthode la moins lente connue correspond à déterminer les valeurs de
p et de
q. Si
n est grand, il n'existe pas, en
2007, d'algorithme efficace pour résoudre cette question.
La clé permettant le chiffrement est la donnée de e et n. La force d'un tel système réside dans le fait que la connaissance de cette clé ne permet pas le décryptage, elle peut donc être publique. Les valeurs de p et q constituent la clé du décryptage.
Cryptographie symétrique
La cryptograpie asymétrique n'existerait pas sans les méthodes issues de l'arithmétique modulaire, ce qui, pour des raisons historiques évidentes, n'est pas le cas de la cryptographie symétrique. Elle se divise en deux grandes familles donnt l'une, les chiffrements par flot, utilise comme composant de base les suites récurrentes linéaires sur un corps fini (voir ci-dessous). L'autre, celle des chiffrements par bloc, comprend entre autres le DES et son successeur, le standard de chiffrement avancé appelée AES pour Advanced Encryption Standard. Ces derniers opèrent sur des blocs de données d'une taille fixe comptée en octets, huit pour le DES par exemple. Une suite d'opérations primitives assez simples est appliquée de façon répétée pour coder un bloc. Un octet, ou plus généralement un bloc de n bits, peut être vu comme les coefficients d'un polynôme sur les entiers modulo deux, de degré maximal n-1. Cela a conduit les cryptologues à s'intéresser à certaines opérations sur les corps finis de caractéristique 2. Ainsi il s'avère que l'opération d'inversion sur le corps fini F2n, composée avec une transformation affine, a de bonnes propriétés cryptographiques pour en faire l'une des primitives des chiffrements par bloc[Kaisa Nyberg. Differentially uniform mappings for cryptography. In Advances in Cryptology - EUROCRYPT'93, volume 765 of Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag, 1994, http://www.tcs.hut.fi/~knyberg/publications/diffuni.pdf]. Ceci a été exploité par les auteurs du chiffrement Rijndael, qui est devenu l'AES. La publication officielle de ce dernier par le NIST (agence fédérale américaine) contient d'ailleurs quelques préliminaires mathématiques sur le sujet[lire http://www.csrc.nist.gov/publications/fips/fips197/fips-197.pdf pp 10-12]. Cependant il n'est nul besoin d'algorithmique sur l'arithmétique ou les corps finis pour l'implémentation : ces opérations sont représentées par des tables, comme les opérations analogues du DES obtenues elles de façon beaucoup plus heuristique. Certains cryptologues ont vu une faiblesse potentielle dans la caractérisation trop algébrique de Rijndael, qui le rendrait plus accessible à l'imagination des mathématiciens[Niels Ferguson, Richard Schroeppel, Doug Whiting, A simple algebraic representation of Rijndael, Proceedings of Selected Areas in Cryptography, 2001, Lecture Notes in Computer Science, pp 103–111, http://www.macfergus.com/pub/rdalgeq.html], ce qui n'a pas empêché son adoption pour l'AES.
Test de primalité
Les codes RSA utilisent comme clé les nombres premiers
p et
q du paragraphe précédent. L'usage, pour les trouver, consiste à choisir un nombre
presque au hasard, de tester s'il est premier ou non et de recommencer s'il ne l'est pas.
Le crible d'Ératosthène est une méthode rapide pour les petits nombres. Utilisé habilement, 46 tests suffisent pour vérifier la primalité d'un nombre inférieur à 39 000. En revanche, il est inefficace pour une application industrielle employant des nombres qui s'écrivent avec plusieurs centaines de chiffres.
La majorité des tests de l'industrie se fondent sur des variantes du petit théorème de Fermat[Cryptosec La plupart des implémentations ont donc recours à des algorithmes probabilistes de test de primalité pour déterminer p et q, comme le test de primalité de Miller-Rabin. lire 2003]. Si un nombre p est premier, alors pour tout entier a, ap est congru à a modulo p. La réciproque est fausse : il existe des nombres non premiers, appelés nombres de Carmichaël (par exemple 1729), pour lesquels la congruence est vraie pour toute valeur de a. Toutefois, si p n'est ni un nombre de Carmichaël, ni un nombre premier, la congruence est fausse pour au moins la moitié des valeurs de a comprises entre un et p. Que la congruence soit vérifiée pour un grand nombre de valeurs de a indique une très forte probabilité de primalité pour p, s'il n'est pas un nombre de Carmichaël.
Le test de primalité de Solovay-Strassen et surtout le test de primalité de Miller-Rabin sont deux exemples largement utilisés. Ils se fondent sur une analyse plus poussée du petit théorème de Fermat et n'admettent pas d'analogues aux nombres de Carmichaël, ce qui lève l'un des problèmes du test de Fermat. Pour ces deux méthodes, un test de primalité déterministe consiste à vérifier la propriété pour un nombre de valeurs de a garantissant une preuve irréfutable. Le nombre de calculs à effectuer étant rédhibitoire, on se contente d'un test probabiliste. Il consiste à vérifier la congruence sur un ensemble de valeurs de a, choisi pour assurer une probabilité de primalité supérieure à une valeur donnée, souvent[Philippe Bayart Comment fabriquer de grands nombres premiers? lire Bibmath.net] égale à 1 - (1/2)100.
Décomposition en produit de facteurs premiers
La
sécurité par l'obscurité n'est pas de mise pour les codes RSA. Il est important de connaître précisément l'état de l'art de la décomposition des entiers en termes de facteurs premiers. Un concours appelé,
compétition de factorisation RSA est en permanence ouvert, proposant un prix pour quiconque capable de factoriser un nombre choisi dans une liste rendue publique.
Le crible d'Ératosthène est un test de primalité qui offre une méthode de décomposition. Mais une fois encore, il n'est pas applicable pour de grands nombres car trop lent.
Les différentes méthodes actuellement utilisées reposent souvent sur les résidus quadratiques. Un diviseur de zéro est un résidu quadratique contenant comme représentants au moins deux carrés parfaits. L'objectif est de trouver ces deux carrés. Cette approche est celle du crible quadratique et de l' algorithme de factorisation par crible sur les corps de nombres généralisé, le plus rapide connu en 2007. On peut encore citer l'algorithme ρ de Pollard, il utilise le paradoxe des anniversaires.
Corps fini
De même que pour l'arithmétique des mathématiques pures, d'autres structures sont nécessaires pour exploiter les capacités offertes par l'arithmétique modulaire. En informatique, les nombres sont codés sur
n bits, c'est-à-dire correspondent à une suite de longueur
n composée de
zéros et de
uns. Une telle suite peut être considérée comme un
vecteur d'un
espace vectoriel de
dimension n sur le corps fini
F2 à deux éléments.
Cette structure est souvent considérée comme l'espace des polynômes à coefficients dans F2. Pour garantir la stabilité de la multiplication, la logique de Gauss est appliquée, cet espace est quotienté par un polynôme irréductible (l'équivalent d'un nombre premier) de degré n. La structure obtenue est le corps fini de cardinal 2n. Un nombre a modulo 2n et un polynôme P[X] du système modulaire sont très semblables, ils s'écrivent en effet :
Un exemple d'utilisation est la création d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires dans F2, par exemple pour un chiffrement de flux utilisé dans le contexte d'une communication orale par téléphone portable. Un élément de l'algorithme est la constitution d'un registre à décalage. À l'aide d'une clé, ici un entier c modulo modulo 2n, un tel registre fournit une suite pseudo-aléatoire. Elle est obtenue par une suite récurrente linéaire. Si elle est notée (u j), alors :
La suite obtenue est périodique, cependant si la clé est bien choisie, la période est très longue : 2n - 1. Cette situation se produit si le polynôme de rétroaction R[X], donnée par la formule suivante, est le polynôme minimal d'un élément primitif du groupe cyclique F2n*.
Analyse harmonique sur un groupe abélien fini
Les idées de Dirichlet s'appliquent sur le système modulaire du paragraphe précédent. Pour l'addition, l'espace vectoriel V précédent est un groupe abélien fini. Les caractères de ce groupe forment une base orthonormale de l'ensemble des fonctions de V dans celui des nombres complexes. Il est à noter[D. Stinson Cryptographie théorique et pratique Int. Thomson Pub. France 1996] que l'ensemble d'arrivée choisi n'est pas toujours celui les complexes mais parfois le corps F2. Les résultats sont strictement identiques. Une telle structure dispose d'une analyse harmonique. Si l'ensemble d'arrivée est choisi égal à F2 la transformée de Fourier prend le nom de transformée de Walsh. Cette approche est utilisée à la fois pour les systèmes DES, RSA et certains chiffrements de flux.
Un registre à décalage est trop aisément déchiffrable. L'algorithme de Berlekamp-Massey permet de déterminer la suite grâce la connaissance de n valeurs consécutives avec une complexité quadratique. Ainsi, si la clé est composée de 128 bits, il suffit d'un multiple de 128 x 128 = 16 384 étapes pour le décrypter, ce qui représente une sécurité insuffisante. La solution adoptée consiste à utiliser plusieurs registres à décalage. Les différents résultats sont vus comme un élément d'un nouvel espace vectoriel sur F2. Une fonction booléenne associe à chaque élément de cet espace la valeur un ou zéro. Si une telle fonction est bien choisie, le meilleur algorithme de déchiffrement connu demande de l'ordre de 2n étapes pour trouver le signal apportant la confusion. La détermination de cette fonction est obtenue à l'aide des outils de l'analyse harmonique.
Pour un code RSA et à la fin du , la clé est souvent un nombre[S. Sing Histoire des codes secrets, Poche p 345 1999] dépassant 10308. Il est important de disposer d'une multiplication rapide sur les grands modulo. La technique consiste à identifier les modulo aux polynômes sur un corps fini. La multiplication de deux polynômes de degré n est une opération qui, si elle est réalisée de manière naïve, impose une complexité quadratique. Les caractères du groupe additif associés étant orthogonaux, la complexité devient linéaire si une telle base est utilisée. Un calcul plus rapide consiste à réaliser une transformée de Fourier rapide, à multiplier les deux résultats et à opérer la transformée de Fourier inverse. La complexité totale est alors en n log(n) où log désigne ici le logarithme de base deux.
Code correcteur
Les CD utilisent comme code cyclique
une variante du
code de Reed-Solomon appelée
code C.I.R.C.
Un code correcteur n'a pas la vocation d'assurer la sécurité, mais la fiabilité de la transmission d'un message. Il permet de restituer le texte original même si une perturbation aléatoire et modérée se produit durant la transmission. Le message
encodé est transmis sous une forme appelée
mot du code. Il contient non seulement les informations du message initial mais aussi les redondances permettant la validation d'une bonne communication et parfois la correction automatique d'éventuelles erreurs.
Un mot du code est composée d'une famille de n lettres choisies dans un alphabet, en général binaire. Le cas industriel le plus fréquent est celui du code linéaire, la valeur n est constante pour chaque mot du code et est appelée dimension du code. L'ensemble des mots du code est muni d'une structure d'espace vectoriel de dimension n.
Les codes linéaires utilisent essentiellement l'arithmétique modulaire comme base mathématique. Beaucoup enrichissent la structure d'espace vectoriel par celle d'un anneau de polynômes sur un corps fini. Ce corps est parfois le corps binaire, souvent un corps de cardinal une puissance de deux. On parle alors de code cyclique.
Les codes linéaires sont largement présent dans l'industrie. La télécommunication les utilise pour le téléphone portable ou internet, l'informatique pour notamment la communication entre la mémoire et de processeur, l'audio-visuel pour les disques compacts ou d'autres formats de même nature comme les DVD.
Somme de contrôle
Code de longueur deux avec une somme de contrôle
Une somme de contrôle est un code linéaire particulièrement utilisé. Il correspond à un code correcteur dont seule la détection est automatisable, la correction est obtenue par une demande de répétition du message.
Au message initial est ajoutée une information codée sur une lettre. La lettre est choisie de telle manière à ce que la congruence de la somme des lettres du mot du code soit égale à une valeur donnée, souvent zéro. Dans l'exemple illustré sur la figure de droite, le message initial est composée de deux lettres, un mot du code en contient trois, si le message initial est 00, le mot du code transmis est 000, si le message est 01, le mot du code devient 011. Les quatre mots possibles du code sont illustrés par les points verts de la figure.
Si une unique erreur se produit, sur n'importe laquelle des trois lettres du mot du code, le message reçu correspond à un point noir. Le récepteur sait qu'il doit demander le renouvèlement de la transmission. Cette configuration est analogue quelle que soit la longueur du mot du code. Une longueur égale à huit est souvent choisie, elle permet la transmission d'un message de sept lettres. Le résultat est identique, chaque mot licite du code ne possède pour voisin que des mots hors du code, une unique erreur durant la transmission est ainsi détectée. En revanche une double anomalie est systématiquement passée sous silence.
Code cyclique
Illustration d'un code parfait
Il existe certaines situations où la demande de répétition n'est pas possible, par exemple pour un
DVD, lorsqu'une poussière masque une information. Il est nécessaire d'imaginer des codes correcteurs qui, non seulement détectent, mais corrigent automatiquement les erreurs.
La méthode utilisée consiste à éloigner les mots du code à une distance suffisante pour repérer le bon message d'origine. La distance entre deux points correspond au nombre de lettres à modifier pour passer de l'un à l'autre. Le graphique de gauche illustre cette situation. Les points verts correspondent aux mots du code, par définition sans erreur. Les bleus sont ceux obtenus lorsqu'une unique lettre est altérée dans la transmission et les rouges quand deux lettres sont modifiées. Dans le schéma, on remarque que chaque point bleu contient un unique point vert à une distance de un et à chaque point rouge correspond un unique point vert situé à une distance de deux. Si une ou deux erreurs se sont produites, l'unique point vert le plus proche correspond nécessairement au message initial. Un tel code est capable de protéger jusqu'à deux erreurs.
L'arithmétique modulaire fournit des solutions optimales pour construire la géométrie d'un code linéaire correcteur. Comme un espace vectoriel ne constitue pas une structure suffisante pour définir des modulo, il est enrichi d'une structure d'anneau de polynômes quotienté par X n - 1, où n désigne la dimension de l'espace vectoriel. Dans cet espace de modulo, le monôme X n est identifié au polynôme constant un. Si la chaîne (a0, a1, …, an) est un mot du code, alors il en est de même de la suivante : (an, a1, a2, …, an-1). On parle pour cette raison de code cyclique. La logique est la même que celle d'un code correcteur, à la différence près que la congruence est définie non pas sur un entier mais sur un polynôme cyclotomique à coefficients dans un corps fini.
L'exemple le plus simple correspond au code de Hamming dont les messages à transmettre comportent quatre lettres et trois lettres supplémentaires décrivent les redondances.
Identité de Mac Williams
Le contexte d'un code linéaire est analogue à celui de la cryptographie, on y trouve aussi des espaces vectoriels de dimension
n sur un corps fini et un système de modulo de polynômes
[M. Klemm Etablissement de l'identité de Mac Williams pour les codes linéaires sur l'anneau des entiers modulo m, avec une fonction poids sous forme de polynôme homogène Archiv der Mathematik vol. 49, no5, pp. 400-406 1987], le polynôme choisi étant souvent :
X n + 1. Les caractères du groupe sont utilisés, ainsi que l'
analyse harmonique associée.
L'identité de Mac Williams[F.J. Mac Williams et J.J.A. Sloane The theory of error correcting codes, North-Holland, 1977] est un exemple archétypal. Elle permet la détermination du polynôme énumérateur des poids du code dual ou encore l'étude des caractéristiques du code de Hamming. Elle est obtenue grâce à l'analyse harmonique, à l'aide d'un produit de convolution.
Notes et références
Notes
Liens externes
Références
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- J-C Martzloff, Histoire des mathématiques chinoises, Masson 1988 (ISBN 2-2258-1265-9)
- T. Hayashi The Blackwell Companion to Hinduism, Basil Blackwell 2005 (ISBN 9-7814-0513-2510)
- R Rashed Entre arithmétique et algèbre: Recherches sur l'histoire des mathématiques arabes Les Belles Lettres, Paris 1984 (ISBN 2-2513-5531-6)
- A. Djebbar D Savoie D. Jacquart M. El Faïz L'Âge d'or des sciences arabes, Actes Sud / Institut du monde arabe oct. 2005 (ISBN 2-7427-5672-8)
- M. S. Mahoney The mathematical career of Pierre de Fermat, 1601 - 1665, Princeton Univ. Press 1994 (ISBN 0-6910-3666-7)
- Simon Singh, Le Dernier Théorème de Fermat, Hachette Littérature 1999 (ISBN 9-7827-0961-8540)
- G. W. Dunnington, Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, The Mathematical Association of America 2003 (ISBN 0-8838-5547-X)
- Simon Singh, Histoire des codes secrets, Lattes 1999 (ISBN 9-7827-0962-0482)
- Zemor Gilles, Cours de cryptographie, Cassini 2000 (ISBN 9-7828-4225-0201)
- Michel Demazure Cours d'algèbre. Primalité Divisibilité Codes, Cassini 1997 (ISBN 9-7828-4225-0003)
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