Combinaison linéaire

En mathématiques, les combinaisons linéaires sont un concept central de l'algèbre linéaire et d'autres domaines des mathématiques connexes. La majeure partie de cet article traite des combinaisons linéaires dans le contexte d'espace vectoriel sur un corps commutatif, et indique quelques généralisations à la fin de l'article.

Définitions

Supposons que $K$ soit un corps commutatif et $E$ un espace vectoriel sur $K$. Comme d'habitude nous appelons les éléments de $E$ les vecteurs et les éléments de $K$ les scalaires. Si $v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_n$ sont des vecteurs de $E$ et $a\_1,\; \backslash ldots,\; a\_n$ des scalaires, alors la combinaison linéaire de ces vecteurs ayant comme coefficients ces scalaires est:

$a\_1\; v\_1+a\_2\; v\_2+\backslash cdots+a\_n\; v\_n$

Par convention, une combinaison linéaire ne portant sur aucun vecteur est déclarée nulle.

On peut souhaiter parler de combinaison linéaire sur une infinité de termes ; on convient alors que tous les scalaires intervenant soient nuls sauf un nombre fini : $(x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$ étant une famille quelconque de vecteurs de $E$ et $(\backslash lambda\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$ une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire tous nuls sauf éventuellement un nombre fini), la combinaison linéaire de la famille $(x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$ de coefficients $(xi)$ est la somme suivante:

$\backslash sum\_\{i\backslash in\; I\}\backslash lambda\_ix\_i$

Une relation de dépendance linéaire est une combinaison linéaire égale au vecteur nul. La relation de dépendance linaire triviale est celle donnée par une famille de coefficients tous nuls.

Exemples et contre-exemples

Géométrie analytique

Soit $K$ le corps $\backslash mathbb\{R\}$ des nombres réels, et soit $E$ l'espace vectoriel euclidien $\backslash mathbb\{R\}^3$.

Considérons les vecteurs $e\_1=(1,0,0)$, $e\_2=(0,1,0)$ et $e\_3=(0,0,1)$.

Alors tout vecteur de $\backslash mathbb\{R\}^3$ est une combinaison linéaire de $e\_1$, $e\_2$ et $e\_3$.

Pour le démontrer, considérons un vecteur arbitraire $(a\_1,\; a\_2,\; a\_3)$ de $\backslash mathbb\{R\}^3$, et écrivons:

$(\; a\_1\; ,\; a\_2\; ,\; a\_3)\; =\; (\; a\_1\; ,0,0)\; +\; (0,\; a\_2\; ,0)\; +\; (0,0,\; a\_3)\; \backslash ,$

$=\; a\_1\; (1,0,0)\; +\; a\_2\; (0,1,0)\; +\; a\_3\; (0,0,1)\; \backslash ,$

$=\; a\_1\; e\_1\; +\; a\_2\; e\_2\; +\; a\_3\; e\_3\; \backslash ,$

Analyse fonctionnelle

Soit $K$ l'ensemble $\backslash mathbb\{C\}$ de tous les nombres complexes, et soit $E$ l'ensemble $\backslash mathcal\{C\}(\backslash mathbb\{R\},\backslash mathbb\{C\})$ des fonctions continues de la droite réelle $\backslash mathbb\{R\}$ dans le plan complexe $\backslash mathbb\{C\}$.

Considérons les vecteurs (fonctions) $f$ et $g$définies par $f(t)=e^\{it\}$ et $g(t)=e^\{-it\}$.

(Ici, $e$ désigne la base du logarithme néperien, approximativement égale à 2,71828, et $i$ le nombre imaginaire, une racine carrée de $-1$.

Des combinaisons linéaires de $f$ et $g$ sont:

• $\backslash cos\; =\; \backslash begin\{matrix\}\backslash frac12\backslash end\{matrix\}\; f\; +\; \backslash begin\{matrix\}\backslash frac12\backslash end\{matrix\}\; g\; \backslash ,$
• $2\; \backslash sin\; =\; (-i\; )\; f\; +\; (\; i\; )\; g\; \backslash ,$

Par contre, la fonction constante 3 n'est pas une combinaison linéaire de $f$ et $g$. Pour le voir, supposons par l'absurde que 3 puisse être écrite comme combinaison linéaire des fonctions $t\backslash mapsto\; e^\{it\}$ et $t\backslash mapsto\; e^\{-it\}$. Cela signifierait qu'il existerait des scalaires complexes $a$ et $b$ tels que pour tout réel $t$, $ae^\{it\}+be^\{-it\}=3$. En posant $t=0$ et $t=\backslash pi$, cela donnerait les relations $a+b=3$ et $a+b=-3$, qui ne pourraient clairement se produire.

Géométrie algébrique

Soit $K$ un corps commutatif quelconque ($\backslash mathbb\{R\}$ ou $\backslash mathbb\{C\}$), et $E$ l'ensemble $K[X]$ des polynômes à coefficients dans le corps $K$.

Considérons les vecteurs (polynômes) $p\_1=1$, $p\_2=X+1$ et $p\_3=X^2+X+1$.

Le polynôme $X^2-1$ est-il combinaison linéaire de $p\_1$, $p\_2$ et $p\_3$ ?

Pour le voir, considérons une combinaison linéaire arbitraire de ces vecteurs et essayons de voir quand est-ce qu'elle est égale à ce vecteur $X^2-1$.

Prenons, des coefficients arbitraires $a\_1,\; a\_2$ et $a\_3$. Nous voulons:

$a\_1\; (1)\; +\; a\_2\; (X\; +\; 1)\; +\; a\_3\; (X^2\; +X+\; 1)\; =\; X^2\; -\; 1\; \backslash ,$

En distribuant les coefficients sur les polynômes nous obtenons

$(\; a\_1\; )\; +\; (\; a\_2\; X\; +\; a\_2)\; +\; (\; a\_3\; X^2\; +\; a\_3\; X\; +\; a\_3)\; =\; X^2\; -\; 1\; \backslash ,$

et regroupons selon les puissance de $X$, nous obtenons

$a\_3\; X^2\; +\; (\; a\_2\; +\; a\_3\; )X\; +\; (\; a\_1\; +\; a\_2\; +\; a\_3\; )\; =\; 1\; X^2\; +\; 0\; X\; +\; (-1)\; \backslash ,$

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients correpondants sont égaux, ainsi nous pouvons en déduire que

$a\_3\; =\; 1,\; \backslash quad\; a\_2\; +\; a\_3\; =\; 0,\; \backslash quad\; a\_1\; +\; a\_2\; +\; a\_3\; =\; -1\; \backslash ,$

Ce système d'équations linéaires peut facilement être résolu.

Tout d'abord, la première équation montre que $a\_3=1$.

Sachant cela, nous pouvons résoudre la deuxième équation qui donne $a\_2=-1$.

Finalement, la dernière équation nous indique que $a\_3$ vaut aussi $-1$.

Réciproquement, l'égalité $X^2\; -\; 1\; =\; -1\; -\; (X\; +\; 1)\; +\; (X^2\; +\; X\; +\; 1)\; =\; -\; p\_1\; -\; p\_2\; +\; p\_3\; \backslash ,$ est bien vérifiée. Ainsi $X^2-1$ est combinaison linéaire de $p\_1,\; p\_2$ et $p\_3$.

Par conséquent, $X^2-1$ s'écrit d'une seule manière possible sous forme d'une combinaison linéaire de $p\_1,\; p\_2$ et $p\_3$.

D'autre part, qu'en est-il du polynôme $X^3-1$ ?

Si nous essayons d'écrire ce vecteur comme une combinaison linéaire de $p\_1,\; p\_2$ et $p\_3$, alors en suivant le même raisonnement qu'avant, nous obtenons l'équation:

$0\; X^3\; +\; a\_3\; X^2\; +\; (a\_2\; +\; a\_3)\; X\; +\; (a\_1\; +\; a\_2\; +\; a\_3)\; \backslash ,$

$=\; 1\; X^3\; +\; 0\; X^2\; +\; 0\; X\; +\; (-1)\; \backslash ,$

Cependant, lorsque nous traduisons que les coefficients correspondants doivent être égaux dans ce cas-ci, la relation obtenue en considérant $X^3$ devient

$0\; =\; 1\; \backslash ,$ qui est contradictoire.

Par conséquent, il n'y a aucune manière pour que ceci soit vrai, ainsi $X^3-1$ n'est pas combinaison linéaire de $p\_1,\; p\_2$ et $p\_3$.

Sous-espace vectoriel engendré

Considérons un corps commutatif $K$ et un espace vectoriel $E$ arbitraires, et soit $v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_n$ des vecteurs de $E$. Il est intéressant de considérer l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs. Cet ensemble s'appelle le « sous-espace vectoriel engendré » (ou juste « sous-espace engendré ») par ces vecteurs, disons par l'ensemble $A\; =\; \backslash \{\; v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_n\backslash \}$. Notons $\{\backslash rm\; Vect\}(v\_1\; ,\backslash ldots,\; v\_n)$ ou $$ l'ensemble

$\backslash mathrm\{Vect\}(\; v\_1\; ,\backslash ldots,\; v\_n)\; =\; \backslash \{\; a\_1\; v\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; v\_n\; /\; a\_1\; ,\backslash ldots,\; a\_n\; \backslash in\; K\; \backslash \}\; \backslash ,$

Autres concepts relatifs

Parfois, un certain vecteur peut être écrit dans deux manières différentes comme combinaison linéaire de $v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_n$. Si cela se produit alors les vecteurs $v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_n$ sont linéairement dépendants, et dans le cas contraire, lorsque toute écriture d'un vecteur comme combinaison linéaire de $v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_n$ est unique, alors les vecteurs sont linéairement indépendants.

De même, nous pouvons parler de la dépendance ou de l'indépendance linéaire des vecteurs d'un ensemble arbitraire $A$. Si les vecteurs de $A$ sont linéairement indépendants alors la partie $A$ est dite libre et si de plus le sous-espace vectoriel engendré par $A$ est égal à $E$ alors $A$ est une partie basique de $E$.

Nous pouvons assimiler les combinaisons linéaires à l'opération la plus générale possible sur un espace vectoriel. Les opérations de base d'addition et de multiplication par un scalaire, ainsi que l'existence d'un élément neutre et d'opposés, ne peuvent pas être combinées de manière plus compliquée qu'en une combinaison linéaire. Finalement, ce fait se trouve au cœur de l'utilité des combinaisons linéaires dans l'étude des espaces de vecteur.

Généralisations

Si $E$ est un espace vectoriel topologique, alors il est possible de donner un sens à une combinaison linéaire infinie, en utilisant la topologie de $E$. Par exemple, nous pourrions parler de la somme infinie $a\_1\; v\_1+a\_2\; v\_2+a\_3\; v\_3+\backslash cdots$.

De telles combinaisons linéaires infinies n'ont pas toujours un sens; nous les qualifions de convergentes lorsqu'elles en ont un. Le fait de pouvoir considérer davantage de combinaisons linéaires dans ce cas peut également mener à des concepts plus larges de sous-espace vectoriel engendré, d'indépendance linéaire, et de bases.

Si $K$ est un anneau commutatif au lieu d'être un corps, alors tout ce qui a été dit au-dessus sur les combinaisons linéaires se généralise sans aucun changement. La seule différence est que nous appelons ces espaces $E$ des modules au lieu d'espaces vectoriels.

Si $K$ est un anneau non commutatif, alors la notion de combinaison linéaire se généralise encore, cependant avec une restriction: Puisque les modules sur les anneaux non commutatifs peuvent être des modules à droite ou à gauche, nos combinaisons linéaires peuvent également être écrites à droite ou à gauche, c'est-à-dire avec des scalaires placés à droite ou à gauche, selon la nature du module. C'est simplement une question de multiplication par un scalaire du bon côté.

Une adaptation plus compliquée survient lorsque $E$ est un bimodule sur deux deux anneaux, $K\_G$ et $K\_D$.

Dans ce cas, la combinaison linéaire la plus générale ressemble à:

$a\_1\; v\_1\; b\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; v\_n\; b\_n\; \backslash ,$

où $a\_1,\; \backslash ldots,\; a\_n$ appartiennent à $K\_G$, $b\_1,\; \backslash ldots,\; b\_n$ appartiennent à $K\_D$, et $v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_n$ appartiennent à $E$.