Coordonnées sphériques

Les coordonnées sphériques sont un système de coordonnées de l'espace qui généralise coordonnées polaires du plan. Un point de l'espace y est repéré par la distance à un pôle et deux angles, le premier par rapport à un axe vertical et le deuxième par rapport à un axe horizontal. Ce système est d'emploi courant pour le repérage géographique : l'altitude, la latitude, et la longitude sont une variante de ces coordonnées. Plusieurs systèmes de coordonnées célestes sphériques sont employés en astrométrie.

Histoire

Définition et propriétés élémentaires

Définition et notations

Étant donné un repère cartésien (O, x, y, z), les coordonnées sphériques (ρ, ϕ, θ) d'un point P sont définies par :

• ρ est la distance du point P au pôle O ;
• ϕ est l'angle non orienté formé par les vecteurs z et OP, appelé zénith ou colatitude ;
• θ est l'angle orienté formé les demis-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point P. Si H est le projeté orthogonal de P dans le plan horizontal (O, x, y), alors θ peut être défini comme l'angle formé par les vecteurs x et OH.

Par convention, et pour assurer l'unicité pour ρ > 0, ϕ est compris entre 0 et π radians (0 et 180°) et θ entre 0 et 2π radians (0 et 360°), pour le repérage, mais θ et ϕ peuvent parcourir un intervalle plus important pour une courbe paramétrée ρ(θ, ϕ).

Ces notations sont les plus courantes en mathématiques ; en physique, les notations ϕ et θ sont généralement inversées, conformémement au standard ISO 31-11 sur les « signes et symboles mathématiques à utiliser en sciences physiques et en technologie »International Organization for Standardization, ISO Standards Handbook : Quantities and units., 3rd ed., Genève, 1993, 345 p., ISBN 92-67-10185-4 La distance au pôle est parfois notée r.

Lien avec les coordonnées polaires

Dans le plan vertical (O, z, OM), le système de coordonnées (ρ, ϕ) est polaire. Dans le plan horizontal (O, x, y), (ρ sin ϕ, θ) est aussi un système de coordonnées polaires.

Base comobile

On définit la base orthonormée directe comobile (u, u, u) pour tout point M comme suit :

• u est un vecteur unitaire de même direction et sens que OM ;
• u est le vecteur unitaire du plan vertical (O, z, OM) directement orthogonal à OM ;
• u est le vecteur unitaire normal au plan vertical qui complète en une base directe.

La direction de ces vecteurs est généralement résumée ainsi : u pointe dans le sens des ϕ croissants, u des ϕ croissants.

Dans cette base comobile, la position du point M s'écrit de manière simple :

$\backslash mathbf\{OM\}\; =\; \backslash rho\; \backslash mathbf\{u\}\_\backslash rho.$

En physique, elle s'utilise pour exprimer les quantités cinématiques comme que vitesse et accélération.

Utilisation

Repérage géographique

Les coordonnées géographiques, utilisées pour se repérer sur la surface de la Terre, sont une variante des coordonnées sphériques. Elles utilisent les coordonnées h (altitude), l (latitude) et λ (longitude), qui sont reliées aux coordonnées sphériques par :

$\backslash begin\{align\}$

h &= \rho - \rho_\text{g}(l, \lambda),\\ l &= 90^\text{o} - \phi,\\ \lambda &= \theta \text{ si } \theta \le 180^\text{o}\\

       &= \theta-360   \text{ sinon},

\end{align} où ρ(l, λ) est la distance au centre de la Terre du point du géoïde situé dans la direction (l, λ). Lorsque l'ellipsoïde de révolution est utilisé à la place du géoïde, h est alors la hauteur géodésique ; elle diffère de l'altitude d'environ 50 m au plus.

Coordonnées célestes

Les coordonnées célestes, utilisées pour repérer les astres sur le ciel, utilisent cette même variante avec ρ fixé (projection sur la voûte céleste). Par exemple, le système de coordonnées équatoriales, utilisé pour repérer les objets hors du système solaire, utilisent la déclinaison (correspond à l) et l'ascension droite (correspond à λ, exprimée en heures, avec 1 h = 15°).

Calculs

Les coordonnées sphériques sont d'emploi courant dans deux cas :

• mouvement à distance fixe d'un point donné, comme dans le cas d'un pendule ;
• mouvement à force centrale, notamment dans le potentiel de Coulomb.

Exemple du pendule

Exemple de l'attraction coulombienne

Propriétés

Propriétés différentielles

Différentielles

Le volume infinitésimal s'écrit

$$

 \text{d}^3 V = \rho^2\sin\phi\,\text{d}\rho\text{d}\phi\text{d}\theta

et le déplacement $\backslash text\{d\}s^2\; =\; c^2\backslash text\{d\}t^2\; -\; \backslash text\{d\}\backslash rho^2\; -\; \backslash rho^2\backslash text\{d\}\backslash phi^2\; -\; \backslash rho^2\backslash sin^2\backslash phi\backslash ,\backslash text\{d\}\backslash theta^2.$

Les vecteurs de la base comobile (u, u, u) ont pour différentielles :

$\backslash begin\{align\}$

 \text{d}\vec{u}_\rho   &= + \text{d}\phi\,\vec{u}_\phi
                           + \sin\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\theta,\\
 \text{d}\vec{u}_\phi   &= -\text{d}\phi\,\vec{u}_\rho                            
                           + \cos\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\theta,\\
 \text{d}\vec{u}_\theta &=  -\sin\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\rho
                           - \cos\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\phi.

\end{align}

Cinématique

Les quantités cinématiques, position, vitesse et accélération s'en déduisent :

$\backslash begin\{align\}$

 \vec{OM}      &= \rho\,\vec{u}_\rho,\\
 \dot\vec{OM}  &= \dot\rho\,\vec{u}_\rho + \rho\dot\phi\,\vec{u}_\phi + \rho\sin\phi\,\dot\theta\,\vec{u}_\theta,\\
 \ddot\vec{OM} &= (\ddot\rho-\rho\dot\phi^2-r\dot\theta^2\sin^2\phi)\,\vec{u}_\rho
                  + (\rho\ddot\phi + 2\dot\rho\dot\phi - \rho\dot\theta^2\sin \phi\,\cos\phi) \,\vec{u}_\phi
                  + (\rho\ddot\theta\sin\phi + 2\dot\rho\dot\theta\sin\phi + 2\rho\dot\phi\dot\theta\cos \phi) \,\vec{u}_\theta.

\end{align}

Opérateurs différentiels

L'opérateur nabla, servant au calcul du gradient, de la divergence et du rotationnel s'écrit

$$

 \vec\nabla =  \left(\frac\partial{\partial\rho}, \frac1\rho \frac\partial{\partial\phi}, \frac1{\rho\sin\phi} \frac\partial{\partial\theta}\right).

Le laplacien s'en déduit :

$$

 \Delta = \frac1{\rho^2} \frac\partial{\partial\rho}\left(\rho^2\frac\partial{\partial\rho}\right)
          +\frac1{\rho^2\sin\phi} \frac\partial{\partial\phi}\left(\sin\phi\frac\partial{\partial\phi}\right)
          +\frac1{\rho^2\sin^2\phi} \frac{\partial^2}{\partial\theta^2}.

Tenseurs usuels

Le tenseur métrique s'écrit

$g\_\{ij\}\; =\; \backslash left(\backslash begin\{matrix\}$

 1 & 0 & 0\\
 0 & r^2 & 0\\
 0 & 0 & r^2 \sin^2\phi

\end{matrix}\right) et l'intervalle

$\backslash text\{d\}s^2\; =\; c^2\backslash text\{d\}t^2\; -\; \backslash text\{d\}\backslash rho^2\; -\; \backslash rho^2\backslash text\{d\}\backslash phi^2\; -\; \backslash rho^2\backslash sin^2\backslash phi\backslash ,\backslash text\{d\}\backslash theta^2.$

Les éléments non nuls du symbole de Christoffel sont

$\backslash begin\{align\}$

\Gamma^{\rho}_{\phi\phi} &= -\rho\\ \Gamma^{\rho}_{\theta\theta} &= -r \sin^2\phi\\ \Gamma^{\phi}_{\rho\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi\rho} &= \rho^{-1}\\ \Gamma^{\phi}_{\theta\theta} &= -\cos\phi\,\sin\phi\\ \Gamma^{\theta}_{\rho\theta} = \Gamma^{\theta}_{\theta\rho} &= \rho^{-1}\\ \Gamma^{\theta}_{\theta\phi} = \Gamma^{\theta}_{\phi\theta} &= -\cot\phi \end{align}

Relation avec les autres systèmes de coordonnées usuels

Les coordonnées cartésiennes (x, y, z), cylindriques (r, θ′, z) et sphériques, lorsqu'elles sont définies par rapport au même repère cartésien (O, x, y, z) suivent les lois de transformations données ci-dessous.

Système de coordonnées	Depuis les coordonnées sphériques	Vers les coordonnées sphériques
Coordonnées cartésiennes
Coordonnées cylindriques

Dans le tableau ci-dessus arctan(y, x) est la prolongement classique sur les différents quadrants de arctan(y/x) pour x et y positifs.

Généralisation

Soit un espace vectoriel normé de dimension n finie. Pour un point x de cet espace, de coordonnées (x, …, x), on définit les coordonnées sphériques (r, ϕ, …, ϕ) par

$\backslash begin\{align\}$

r &= ||x||\\ x_1 &= r\cos\phi_1\\ x_2 &= r\sin\phi_1 \cos \phi_2\\ \cdots\\ x_{n-1} &= r\sin\phi_1\,\cdots\,\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}\\ x_n &= r\sin\phi_1\,\cdots\,\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1} \end{align}

Les coordonées sphériques constituent le cas particulier n = 3 et les polaires n = 2.

Sources