Dernier théorème de Fermat

en latin par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac. Cette édition du livre a été publiée en 1621. La page 85 contient le problème II.VIII de Diophante, et est la page sur laquelle Pierre de Fermat écrivit que la marge était trop petite pour contenir la démonstration.]] En mathématiques, le dernier théorème de Fermat, ou théorème de Fermat-Wiles, énonce qu'il n'y a pas de nombres entiers non nuls $x$, $y$ et $z$ tels que:

$x^n+y^n=z^n\; \backslash ,$

dès que $n$ est un entier strictement supérieur à 2.

Pour les valeurs de $n$ inférieures ou égales à 2, il existe une infinité de solutions. Le cas $n=1$ est évident. Le cas $n=2$ admet notamment la solution classique 3² + 4² = 5². De manière générale, toutes les solutions pour $n=2$ sont données par :

$x=2kml\backslash ,$

$y=k(m^2-l^2)\backslash ,$

$z=k(m^2+l^2)\backslash ,$

où les nombres k, l et m satisfont les conditions: k entier, m>l, m et l de parités différentes. On appelle parfois ces entiers les triplets pythagoriciens.

Cependant, dès que $n$ est supérieur à deux, ce n'est plus possible. Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat qui écrivit en marge d'une traduction de l'Arithmetica de Diophante, à côté de l'énoncé de ce problème :

J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.

En latin: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere : cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Cette note sibylline laissait penser qu'une démonstration élémentaire était possible; ce qui a donc vivement émoustillé la curiosité des gens. Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant plus de 300 ans, le théorème a finalement été démontré en 1994 par le mathématicien Andrew Wiles. La plupart des mathématiciens pensent aujourd'hui que Fermat s'était trompé en pensant avoir correctement démontré sa conjecture: la preuve connue (raffinée depuis) fait appel à des outils très puissants de théorie des nombres.

Plus précisément, Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà qu'il impliquait le théorème. La preuve fait appel aux formes modulaires, à des représentations galoisiennes… La preuve passait par l'établissement partiel de la conjecture de Shimura-Taniyama dont les implications pour le théorème de Fermat suivaient des idées d'Yves Hellegouarch, Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet.

Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il prend une telle valeur. L'article Démonstrations du dernier théorème de Fermat montre quelques exemples d'outils découverts et utilisés pour la résolution de ce problème.

On peut également comprendre ce théorème graphiquement en considérant la courbe d'équation  xⁿ + yⁿ = 1 : si n > 2, cette courbe ne passe par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles.

Remarques

L'usage voulant qu'on donne à un théorème le nom de celui qui en a apporté la démonstration, l'appellation de « théorème de Fermat » ne se justifie pas à proprement parler. Il faudrait parler soit d'une « conjecture de Fermat », soit du « théorème de Wiles ».

Contrairement à ce qu'on a pu parfois voir dans des journaux ou à la télévision (en raison du type de formule qui y figure), ce théorème n'a pas vraiment de relation avec le théorème de Pythagore. En fait, l'objet du théorème de Pythagore est de donner une caractérisation géométrique des triangles pythagoriciens, c'est-à-dire dont les longueurs des côtés forment un triplet pythagoricien, ces triplets étant eux-mêmes les solutions de l'équation de Fermat dans le cas n = 2. L'analogie avec le théorème de Fermat est donc la question de l'existence de triplets pythagoriciens, et la question de leur interprétation géométrique est nettement une autre question. Remarquons néanmoins que Fermat s'est évidemment inspiré de la notion de triplet pythagoricien : sa conjecture est en effet notée en marge d'un exposé de Diophante sur les triplets pythagoriciens.

Références

• Wiles, Andrew (1995). Modular elliptic curves and Fermat's last theorem , Annals of Mathematics (141) (3), 443-551
• Simon Singh, Le Dernier Théorème de Fermat,

Voir aussi

• Démonstrations du dernier théorème de Fermat