Distance (mathématiques)

Définition

En mathématiques, on appelle distance sur un ensemble $E$ une application $d:E\times E\rightarrow\mathbb R^+$ telle que:

$\forall x,y\in E : d(x,y)=d(y,x)$ (symétrie)
$\forall x,y\in E : d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ (séparation)
$\forall x,y,z\in E : d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire)

Un ensemble muni d'une distance s'appelle un espace métrique.

Remarque : dans la définition d'une distance, on demande généralement que l'ensemble d'arrivée soit $\mathbb R^+$ ; en réalité, on peut se contenter de supposer que c'est $\mathbb R$ et invoquer la suite d'inégalités valable pour tout couple $(x,y)$ de réels :

0 = d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)\leq 2d(x,y)

en utilisant respectivement la séparation, l'inégalité triangulaire puis la symétrie.

La distance est dite ultramétrique si de plus :

\forall x,y,z\in E : d(x,z)\leq \max( d(x,y), d(y,z) )

Un exemple de telle distance intervient de façon cruciale dans la théorie des valuation p-adiques. L'interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire dans un espace ultramétrique amène à dire que tous les triangles sont isocèles.

Distance algébrique

Soit deux points A et B d'un espace vectoriel par lesquels passe une droite orientée (une droite munie d'un sens, i.e. qui est générée par un vecteur v non-nul). On appelle distance algébrique de A vers B le réel tel que :

la valeur soit la distance (définie ci-dessus) entre A et B
si la valeur est non-nulle, le réel soit positif dans le cas où le vecteur AB est dans le même sens que v, négatif sinon.

On peut démontrer que la distance algébrique de A vers B (notée

d_a(A,B)

) vaut :

d_a(A,B) = \frac{\vec{AB}.\vec{v}}{\|v\|}

Attention, la distance algébrique n'est pas une distance, vu qu'elle est antisymétrique :

d_a(A,B) = - d_a(B,A)

Distance entre deux ensembles

Soient E₁ et E₂ deux parties d'un espace métrique muni d'une distance d, on définit la distance entre ces deux ensembles comme :

d(E_1,E_2) = inf\{ d(x,y)\ /\ (x,y) \in (E_1,E_2)\}

N.B. : Cette « distance » n'est pas une distance sur l'ensemble des parties de E au sens des axiomes définis plus haut. En particulier si la distance entre deux ensembles est nulle, on ne peut pas en déduire que ces ensembles sont égaux.

Néanmoins, il est possible de définir une vraie distance entre les parties compacteses d'un espace métrique. Pour cela, voir : distance de Hausdorff.

Distance sur des espaces vectoriels

Distance de Manhattan (chemin rouge, jaune et bleu) contre distance euclidienne en vert

Dans un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$ , on peut toujours définir de manière canonique une distance d à partir de la norme. En effet, il suffit de poser : $\forall (x,y) \in E \times E : d(x,y) = \|y-x\|$

En particulier, dans $\mathbb{R}^n$ , on peut définir de plusieurs manières la distances entre 2 points, bien qu'elle soit généralement donnée par la distance euclidienne (ou 2-distance). Soit deux points de E, (x₁, x₂, ... ,x_n) et (y₁, y₂, ... ,y_n), on exprime les différentes distances ainsi :

1-distance \sum_{i=1}^n >x_i-y_i| (distance de Manhattan)
2-distance \sqrt{\sum_{i=1}^n >x_i-y_i|^2} (distance euclidienne)
p-distance \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n >x_i-y_i|^p}
∞-distance \lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n >x_i-y_i|^p} = \sup_{i}
>

La 2-distance permet de généraliser l'application du théorème de Pythagore à un espace de dimension n. C'est la distance la plus intuitive.

La p-distance est rarement utilisée en dehors des cas p = 1, 2 ou ∞. La 1-distance présente la particularité amusante de permettre la définition en toute rigueur de sphères carrées (voir oxymore).

Distance sur une sphère

Voir : Distance du grand cercle

Distances entre deux permutations

Il est également possible de définir des distances entre des permutations. L'exemple suivant est très utilisé dans le réarrangement de génomes. Soit

S

un ensemble de permutations modélisant diverses opérations; alors la distance entre deux permutations

\pi

\sigma

est la longueur d'une séquence minimale formée du produit d'éléments de

S

telle que cette séquence transforme

\pi

\sigma

Ces distances peuvent également servir à mesurer, de diverses manières, le désordre présent dans une séquence. On utilise alors ces mesures pour analyser les performances de divers algorithmes de tri, ou pour construire de nouveaux algorithmes de tri qui effectuent un nombre de comparaisons optimal par rapport à la mesure de désordre choisie.