Division euclidienne

Définitions

Division euclidienne dans les entiers positifs

$\forall (a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*, \exists ! (q, r)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}, a=b.q+r \quad et \quad r < b$

À deux entiers a et b, avec b non nul, la division euclidienne associe un unique quotient q et un unique reste r, tout deux entiers, vérifiant :

$a = b.q+r\,$
$r < b\;$

L'affirmation de l'existence et de l'unicité du reste et du quotient est appelée Théorème de la division euclidienne pour les entiers positifs. {{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= Soient a et b deux entiers positifs, avec b non nul.

Existence

Considérons l'ensemble E défini par :

E = \left\{ x \in \mathbb{N}\quad | \quad \exist z \in \mathbb{N}\, x = a - bz\right\}

E est non vide car il contient a. Comme E est une partie non vide de N, par axiome, le minimum de E existe. Notons r ce minimum et q l'entier qui le définit, c’est-à-dire celui vérifiant l'égalité a - b.q = r, Par construction r est un entier naturel. L'entier r - b ne peut être élément de E et donc est strictement négatif, ce qui montre que r est strictement plus petit que b. L'existence est alors démontrée.

Unicité

Supposons qu'il existe quatre entiers q₁,q₂, r₁ et r₂ formant deux couples de solutions. Par différence, (q₁ - q₂).b + (r₁ - r₂) est nul. Cette égalité montre que b divise r₁ - r₂ . Commer₁ et r₂ sont strictement plus petit que b et positifs, r₁ - r₂ est strictement compris entre - b et b. La seule valeur multiple de b possible pour r₁ - r₂ est donc zéro. En conclusion r₁ est égal à r₂ donc q₁ est aussi égal à q₂. }}

Division euclidienne dans les entiers relatifs

$\forall (a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*, \exists q, r\in\mathbb{Z} / a=b.q+r \quad et \quad |r| < |b|$

À deux entiers a et b, avec b non nul, la division euclidienne associe un quotient q et un reste r, tout deux entiers, vérifiant :

$a = b.q+r\,$
$|r| < |b|\;$

L'affirmation de l'existence du reste et du quotient est appelée Théorème de la division euclidienne pour les entiers.

S'il était possible de définir une division tel que l'unicité du quotient et du reste soit garantie, elle serait néanmoins incompatible avec le cas général de la division dans les anneaux euclidiens.

Division euclidienne dans l'ensemble des polynômes

La division euclidienne selon les puissances décroissantes existe si l'anneau est défini sur un corps :

\forall (A,B)\in\mathbb{K}[X]\times\mathbb{K}[X]^*,\quad \exists !Q, R\in\mathbb{K}[X], A=B.Q+R \quad avec \quad \operatorname{deg}(R) < \operatorname{deg}(B)

À deux polynômes A et B à coefficients dans un corps K avec B non nul, la division euclidienne associe un unique quotient Q et un unique reste R, tout deux polynômes, vérifiant :

$A=B.Q+R\,$
$\operatorname{deg}(R) < \operatorname{deg}(B)$

L'unicité est ici garantie, en revanche il est nécessaire que K soit un corps. Sinon la division est encore parfois possible, si par exemple le coefficient du monôme dominant de B est égal à 1.

Division euclidienne dans un anneau

Dans certains types d'anneaux commutatifs unitaires intègres, on peut définir une division euclidienne par

a = bq + r avec r = 0 ou v(r) < v(b) v étant une application de A - { 0 } dans

\mathbb N

appelée stathme euclidien. Cette application vérifie la propriété suivante : si a et b sont deux éléments de A tel que b divise a, alors v(b)

\scriptstyle {\leq}

v(a).

Ces anneaux sont appelés anneaux euclidiens.

Algorithmes de calcul

On s'intéresse au calcul de division euclidienne de deux entiers, connaissant au préalable les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, et de comparaison, entre des nombres entiers. Il est facile de ramener le problème à deux entiers positifs, et on se restreint à ce cas.

Les algorithmes décrits ci-dessous calculent le quotient de la division euclidienne ; il est bien clair que le reste s'en déduit. Attention, le contraire ne serait pas vrai.

La première méthode, naturelle mais naïve, demande beaucoup trop de calculs pour des grands nombres. On présente ensuite deux méthodes courantes, de complexité semblable : la première convient pour des calculs en base 2, et donc pour une programmation informatique ; la deuxième méthode, essentiellement équivalente, est une adaptation pour la base de numération habituelle, la base décimale, et convient donc pour des calculs à la main. C'est l'algorithme enseigné à l'école.

Méthode naïve

Pour effectuer la division euclidienne de a par b, on construit une suite strictement décroissante

(a_i)

définie par une relation de récurrence de pas 1 :

a_0=a

, puis

a_{i+1}=a_i-b=a-(i+1)\times b

. Il existe donc un plus petit entier I tel que

a_I : c'est-à-dire a-I\times b, ce qui s'écrit encore 0\leq a-I\times b . Le quotient de la division cherchée est donc I, et le reste a-I\times b .

Le nombre de pas de cet algorithme est donc $I=\frac{a}{b}$ ; chaque étape requiert une soustraction et une comparaison ; la complexité de calcul croît linéairement avec a, c'est-à-dire exponentiellement avec la taille de a - si on convient de mesurer la taille d'un entier par le nombre de chiffres que requiert son développement binaire (ou décimal si on préfère, cela ne modifie les choses que d'une constante), cette taille est de l'ordre du logarithme de l'entier.

Méthode courante, binaire

Une simple amélioration consiste à faire une recherche dichotomique, sur le quotient : au lieu de parcourir comme précédemment tous les entiers depuis

0

en attendant de tomber sur le bon quotient, on va commencer par trouver rapidement un entier dont on sera sûr qu'il est plus grand que le quotient cherché ; dans la liste finie de quotients possibles restants, on fera une recherche dichotomique.

Le premier calcul se fait simplement en considérant la suite géométrique $2^n$ . Tant que $2^n\times b \le a$ , on incrémente n de 1 à chaque étape. Soit $N$ le plus petit entier tel que $2^N\times b >a \,$ . Le nombre d'étapes pour trouver cet entier est de l'ordre de $log_2\left (\frac{a}{b}\right )$ . Chacune de ces étapes ne demande qu'une multiplication par deux (encore plus facile qu'une addition, pour une écriture binaire), et une comparaison.

Pour le deuxième calcul, on construit deux suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ ; l'une stockera des minorants du quotient cherché, l'autre des majorants stricts. On pose donc $\alpha_0=2^{N-1}$ et $\beta_0=2^N$ , puis par récurrence :

\frac{\alpha_n+\beta_n}{2}\times b\le a

, alors on peut affiner le minorant, et on pose donc

\alpha_{n+1}=\frac{\alpha_n+\beta_n}{2}

\beta_{n+1}=\beta_n\,

en revanche, si

\frac{\alpha_n+\beta_n}{2}\times b > a

, on peut affiner le majorant, et on pose

\beta_{n+1}=\frac{\alpha_n+\beta_n}{2}

, et

\alpha_{n+1}=\alpha_n\,

On montre facilement par récurrence qu'à chaque étape n de ce deuxième calcul,

\alpha_n

\beta_n

sont deux entiers, tous deux multiples de

2^{N-1-n}

et dont la différence vaut

2^{N-1-n}

; cette remarque permet notamment de montrer que les suites sont bien définies jusqu'à

n=N-1

, et que

\alpha_{N-1}

\beta_{N-1}

ne diffèrent que de 1 ; puisqu'ils sont respectivement un minorant large et un majorant strict du quotient,

\alpha_{N-1}

est le quotient cherché.

Le nombre maximal d'étapes pour ce calcul est de l'ordre de $log_2\left (\frac{a}{b}\right )$ (une des dichotomies a pu donner le bon quotient avant la N - 1 étape, c'est le cas d'égalité de la comparaison, auquel cas on peut arrêter l'algorithme avant), qui chacune n'exige qu'une addition, une division par deux (facile en écriture binaire, ce n'est évidemment pas une division euclidienne cachée), une multiplication (qui peut être évitée, en gérant plus de variables), et une comparaison.

En concaténant les résultats des deux calculs, on voit que cet algorithme a une complexité qui croît logarithmiquement avec $\frac{a}{b}$ , et donc linéairement avec la taille de a . L'amélioration est donc très nette.

Méthode courante, décimale

Soit deux entiers naturels a et

b\neq 0

dont on veut effectuer la division. On commence par trouver la plus petite puissance de 10 telle que

b\times 10^{N_1+1}\geq a

; d'après le théorème de division euclidienne, il existe alors un unique entier

0\leq q_1<10

tel que :

q_1\times 10^{N_1}\times b\leq a< (q_1+1)\times 10^{N_1}\times b

. On se ramène donc à faire la division de

a-q_1\times 10^{N_1}\times b

par

b

; l'inégalité précédente montre que la première puissance de 10 telle que

10^{N_2}\times b

excèdera

a-q_1\times 10^{N_1}\times b

sera strictement plus petite que

10^{N_1+1}

; on la note

10^{N_2+1}

. On construit ainsi une suite d'entiers naturels

(N_i)

strictement décroissante ; elle vaut donc 0 à un certain rang ; on construit la suite d'entiers

0\leq q_i< 10

associée de la même façonqu'on a construit

q_1

. Le quotient cherché sera

\sum_i q_i10^{N_i}

: en effet l'inégalité qui donne

q_r

pour la première occurrence de

N_r=0

sera :

0\leq a-b\times\sum_i q_i10^{N_i}<10^{N_r}\times b=b

, ce qui est bien la définition du quotient.

On remarque que cette méthode se divise comme la précédente en deux étapes : d'abord une recherche d'une puissance assez grande, ce qui demande à nouveau un nombre de calcul logarithmique en a, c'est-à-dire linéaire en la taille de a ; ensuite un calcul de tous les coefficients $q_i$ associés au différentes puissances de 10 inférieures à la puissance assez grande obtenue. Pour chaque calcul de $q_i$ , l'algorithme demande en fait un calcul de division euclidienne intermédiaire ; mais le quotient est à chercher seulement parmi les entiers de 0 à 9 ; il se fait donc rapidement en utilisant des tables.

Cette méthode est celle utilisée en primaire lorqu'il s'agit de poser une division.