Ellipse (mathématiques)

Une ellipse est, en mathématiques, une courbe plane fermée obtenue par la projection d’un cercle sur un plan sécant, ou par l’intersection d’un cône droit avec un plan non perpendiculaire à son axe. Le cercle est considéré comme un cas particulier d’ellipse.

C’est donc la forme qu'on perçoit en regardant un cercle en perspective, ou la figure formée par l’ombre d'un disque sur une surface plane.

En géométrie, elle est le lieu dont chacun des points est tel que la somme des distances à deux points fixes, dits foyers, est constante (sa construction par la méthode du jardinier est très simple).

Les trajectoires des corps célestess (planète, comètes ou satellites artificiels) en orbite autour d'une étoile ou d’une autre planète sont des ellipses en première approximation (voir problème à deux corps et problème à N corps).

Une ellipse est une conique d'excentricité strictement comprise entre 0 et 1.

Définitions géométriques

Section d’un cône

L’ellipse est une courbe plane qui fait partie de la famille des coniques. Elle est obtenue par l’intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque ce plan traverse de part en part le cône. Le cercle est alors un cas particulier de l'ellipse (plan de coupe perpendiculaire).

Directrice et foyer

Le cadre est l'espace affine euclidien de dimension 2. Soient $(d)$ une droite, $F$ un point n'appartenant pas à $(d)$, $e$ un réel dans $]0,1[$. Soit $P$ le plan affine déterminé par $(d)$ et $F$. On appelle ellipse de droite directrice $(d)$, de foyer $F$ d'excentricité $e$ l'ensemble des points $M$ du plan $P$ vérifiant :

$\backslash frac\{d(M,F)\}\{d(M,(d))\}\; =\; e$

où $d(M,F)$ mesure la distance du point $M$ au point $F$ et $d(M,(d))\; =\; d(M,H)$ celle de $M$ à la droite $(d)$.

Notons $K$ le projeté orthogonal de $F$ sur $(d)$. $(KF)$ est alors clairement un axe de symétrie de l'ellipse appelé axe focal.

Définition bifocale de l'ellipse

Soient $F$ et $F$ deux points distincts du plan. On appelle ellipse de foyers $F$ et $F$, l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant la propriété suivante :

$d(M,F)\; +\; d(M,F\text{'})\; =2a=2\backslash sqrt\{c^2+b^2\}\; \backslash qquad\; a\; \backslash in\backslash R^*\_+,\backslash quad\; b\; \backslash in\backslash R^*\_+$

où $2a$ est la longueur du grand axe, $2c=d(F,F\text{'}\text{'})$ et $2b$ est la longueur du petit axe (perpendiculaire au grand axe). Cette relation exprime que la somme des distances d'un point $M$ aux foyers est constante et vaut la longueur du grand axe.

Image d'un cercle par une affinité

Soient $(C1)$ un cercle de centre $O$ et de rayon $a$, $(C2)$ un cercle de centre $O$ et de rayon $b$ (

Pour construire le point $M$ de l'ellipse, image du point $m\_1$ du grand cercle, on construit le point $m\_2$ du cercle $(C2)$ situé sur $[Om\_1]$. On mène par $m\_1$ une perpendiculaire à $(xx\text{'})$ et par $m\_2$ une parallèle à $(xx\text{'})$. Les droites se coupent en $M$. En effet, si $m\text{'}$ est le projeté orthogonal de $m\_1$ sur $(xx\text{'})$, on a, d'après le théorème de Thalès,

$\backslash frac\{m\text{'}M\}\{m\text{'}m\_1\}\; =\; \backslash frac\{Om\_2\}\{\; Om\_1\; \}\; =\; \backslash frac\{b\}\{a\}$

Construction par le cercle directeur

Soient $F$ et $F\text{'}$ deux point distincts, $(C)$ un cercle de centre $F\text{'}$ et de rayon $2a$ ($2a\; >\; FF\text{'}$).

On appelle ellipse de cercle directeur $(C)$ et de foyer $F$, l'ensemble des centres des cercles tangents à $(C)$ et passant par $F$.

Pour construire le point $M$, centre du cercle tangent à $(C)$ en $m$, on trace la médiatrice du segment $[Fm]$, elle rencontre le rayon $[F\text{'}m]$ en $M$.

Propriétés géométriques

Éléments de symétrie

L'« axe focal », aussi appelé « grand axe », passant par le foyer et perpendiculaire à la directrice, est axe de symétrie de l'ellipse; de même pour le petit axe, perpendiculaire au grand axe et passant par le « centre de l'ellipse », milieu de $[FF\text{'}]$. L'intersection du grand axe et du petit axe, centre de l'ellipse, est un centre de symétrie.

Les points d'intersection de l'ellipse avec son grand axe sont appelés sommets principaux, ceux de l'ellipse avec son petit axe sont dits secondaires.

Tangente et bissectrice

en ce point.]] Soit une ellipse dont les foyers sont $F$ et $F\text{'}$. En un point $M$ de cette ellipse, considérons la bissectrice du secteur angulaire $(FMF\text{'})$. Alors, cette bissectrice est perpendiculaire à la tangente en $M$.

Cette propriété est utilisée en optique géométrique dans les miroirs elliptiques : un rayon lumineux qui passe par un des foyers, lorsqu'il est réfléchi, passe par l'autre foyer. Ainsi, si l'on met une ampoule à un foyer d'un miroir elliptique, le faisceau lumineux se concentre sur l'autre foyer.

Ceci explique également le fait que les sons se propagent très bien d'un quai à l'autre du métro parisien. En effet, la plupart des stations ont une forme elliptique. Si la source d'un son se trouve à un des foyers, tous les sons réfléchis vont converger vers l'autre foyer (sur l'autre quai). Cette propriété possédée par l'ellipse est aussi appelée « propriété de réflexivité » et s'explique en se servant de la tangente en un point de l'ellipse : de cette façon, un son ou un rayon lumineux émis d'un des foyers sera réfléchi sur l'autre foyer. Cette propriété est exploitée dans la conception de certains instruments d'optique. Elle est évidemment présente dans une galerie à écho, c'est-à-dire dans une pièce dont le plafond, par sa forme elliptique, fait qu'une personne qui chuchote en l'un des foyers est entendue en l'autre foyer. La rotonde du Capital Building à Washington et le Mormon Tabernacle à Salt Lake City sont des exemples de cette sorte de galerieSwokowski (trad. Micheline Citta), Analyse, 5 édition.

Rapport entre les grandeurs

Si l'ellipse est définie par son excentricité $e$ et la distance $h$ entre le foyer et la directrice, alors

$p\; =\; eh$ où $p$ est le paramètre de l'ellipse.

$a\; =\; \{p\; \backslash over\; 1-e^2\}$ où $a$ est la longueur du demi-grand axe.

$b\; =\; \{p\; \backslash over\; \backslash sqrt\{1-e^2\}\}$ où $b$ est la longueur du demi-petit axe.

$c\; =\; ae\; =\; \{ep\backslash over\; 1\; -\; e^2\}$ où $c$ est la distance entre le foyer et le centre.

Si l'ellipse est donnée par ses demi-axes $a$ et $b$

$c\; =\; \backslash sqrt\{a^2-b^2\}$ où $c$ est la distance entre le foyer et le centre.

$e\; =\; \{c\backslash over\; a\}$ où $e$ est l'excentricité, $e$ strictement compris entre 0 et 1.

$p\; =\; \{b^2\backslash over\; a\}$ où $p$ est le paramètre de l'ellipse.

$h\; =\; \{p\backslash over\; e\}=\{b^2\backslash over\; c\}$ où $h$ est la distance entre le foyer et la directrice.

Équations caractéristiques

Équation cartésienne

Dans le repère défini par le grand axe et le petit axe de l'ellipse, son équation est :

$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

Si une ellipse n'est pas centrée à l'origine d'un système de coordonnées, mais que son grand axe et son petit axe restent parallèles aux axes des coordonnées, celle-ci peut être spécifiée par l'équation suivante :

$\backslash frac\{(x-h)^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{(y-k)^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

où les paramètres $h$ et $k$ sont les coordonnées du centre de l'ellipse.

Paramétrisation

$[2]\; \backslash qquad$

\begin{cases}x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases} \quad t \in\R dans le repère défini par le grand axe et le petit axe.

Équation polaire

$[3a]\; \backslash qquad\; r\; =\; \backslash frac\{p\}\{1+e\; \backslash cos\; \backslash theta\}\; \backslash qquad\; \backslash theta\; \backslash in\backslash R$

dans le repère défini par le foyer et l'axe focal.

ou

$[3b]\; \backslash qquad\; r^2\; =\; \backslash frac\{b^2\}\{1-e^2\; \backslash cos\; ^2\; \backslash theta\}\; \backslash qquad\; \backslash theta\; \backslash in\backslash R$

dans le repère défini par le centre et l'axe focal.

Circonférence

La circonférence $c$ d'une ellipse est $4aE(e)$, ou $E$ est une intégrale elliptique complète de deuxième espèce.

La série est :

$c\; =\; 2\backslash pi\; a\; \backslash left[\{1\; -\; \backslash left(\{1\backslash over\; 2\}\backslash right)^2e^2\; -\; \backslash left(\{1\backslash cdot\; 3\backslash over\; 2\backslash cdot\; 4\}\backslash right)^2\{e^4\backslash over\; 3\}\; -\; \backslash left(\{1\backslash cdot\; 3\backslash cdot\; 5\backslash over\; 2\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; 6\}\backslash right)^2\{e^6\backslash over5\}\; -\; \backslash dots\}\backslash right]$

Une bonne approximation est donnée par une formule de Ramanujan :

$c\; \backslash approx\; \backslash pi\; \backslash left[3(a+b)\; -\; \backslash sqrt\{(3a+b)(a+3b)\}\backslash right]$

qui peut aussi s'écrire :

$c\; \backslash approx\; \backslash pi\; a\; \backslash left[\; 3\; (1+\backslash sqrt\{1-e^2\})\; -\; \backslash sqrt\{(3+\; \backslash sqrt\{1-e^2\})(1+3\; \backslash sqrt\{1-e^2\})\}\; \backslash right]$

ou $a$ est la demi-longueur du grand axe et $b$ la demi-longueur du petit axe.

Plus généralement, la longueur de l'arc, comme une fonction de l'angle sous-tendu, est donnée par une intégrale elliptique incomplète de seconde espèce. La fonction réciproque, l'angle sous-tendu comme une fonction de la longueur de l'arc, est donnée par les fonctions elliptiques.

Aire du domaine intérieur à une ellipse

Il existe différentes manières de calculer l'aire d'une ellipse. On peut se placer dans le repère porté par les axes où l'équation de l'ellipse s'écrit :

$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

Avec les symétries établies plus haut, il suffit de calculer par exemple l'aire de la portion d'ellipse dans le quart supérieur droit du plan rapporté à ce repère. L'équation de la portion d'ellipse correspondante est :

$y=\; b\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash left(\backslash frac\; xa\backslash right)^2\}$

pour $x$ dans $[0,a]$. D'où l'aire du quart supérieur droit d'ellipse :

$I\; =\; \backslash int\_0^a\; b\; \backslash sqrt\{1-\backslash left(\backslash frac\; xa\backslash right)^2\}\backslash ,\backslash mathrm\; dx\; =\; ab\; \backslash int\_0^1\; \backslash sqrt\{1-\; t^2\}\backslash ,\backslash mathrm\; dt\; =\; ab\; \backslash int\_0^\{\backslash frac\backslash pi2\}\; \backslash cos^2\; u\backslash ,\backslash mathrm\; du$

la dernière réécriture obtenue avec le changement de variable $u\; \backslash mapsto\; \backslash sin\; u\; =\; t$ de $[0,\backslash pi/2]$ sur $[0,1]$. Reste à linéariser $\backslash cos^2\; u$ pour trouver le quart de l'aire d'une ellipse :

$I=\; ab\; \backslash int\_0^\{\backslash frac\backslash pi2\}\; \backslash frac\{1+\; \backslash cos\; 2u\}2\backslash ,\backslash mathrm\; du\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\; ab\}4$

et pour l'aire de toute l'ellipse :

$S=\; \backslash pi\; a\; b$

Remarquer que pour $a=b$, on retrouve l'aire du cercle.

Tracer une ellipse

• Méthode des deux points et de la corde : selon la définition bifocale, la somme $AF\; +\; AF\text{'}$ des distances entre un point $A$ de l'ellipse et ses deux foyers $F$ et $F\text{'}$ est constante. Ainsi, on plante deux piquets dans le sol (les deux foyers), on prend une corde non élastique de longueur donnée (la somme constante) que l'on attache aux piquets; le trajet que l'on parcourt en maintenant la corde tendue est une ellipse. On nomme cette technique celle de « l'ellipse du jardinier ».
  

  Tracé d'une ellipse à l'aide de deux piquets et d'une corde non élastique tendue

• En dessin industriel, une ellipse est en général un cercle vu en perspective (une pièce est rarement elliptique même si ce n'est pas exclu), ou bien un perçage en biais par rapport à la surface de la pièce. L'ellipse se représente donc avec les même traits d'axe que pour le cercle. Dans le cas d'un cercle vu en perspective, ces traits d'axe sont inclinés et suivent les directions de référence. Dans le cas d'une forme réellement elliptique, les traits d'axes sont perpendiculaires.
  

  Ellipse servant à représenter un perçage droit vu en perspective (figure de droite) ; le trait d'axe vertical figure l'axe du perçage

  

  Ellipse servant à représenter un perçage oblique vu de face (figure de droite)

• Tracé à main levée, méthode du parallélogramme exinscrit : on a vu ci-dessus qu'une ellipse pouvait être considérée comme un cercle vu en perspective. De même qu'un cercle est inscrit dans un carré, une ellipse est inscrite dans un parallélogramme qui n'est autre que ce carré vu en perspective cavalière (notez qu'il existe une infinité de parallélogrammes exinscrits, il suffit d'en choisir un). On trace d'abord un parallélogramme, on le divise en quatre quartiers selon les parallèles aux côtés passant par les milieux des autres côtés ; dans chaque quartier, on trace un arc passant par les milieux des côtés et tangent aux côtés en ces milieux (certaines caractéristiques de sécantes dans le cercle permettent de trouver d'autres points de passage intermédiaires de ces arcs).
  

  Tracé d'une ellipse à main levée à l'aide d'un parallélogramme

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Coniques
  • Hyperbole
  • Parabole

Liens externes

• Propriétés de l'ellipse avec démonstrations
• Cours de géométrie de M. Gerhard Wanner de l'université de Genève, section de mathématiques