Ellipsoïde de révolution

Une ellipsoïde de révolution est un modèle géométrique couramment utilisé pour approximer une géoïde. Chaque système géodésique (repère dans lequel sont calculées les coordonnées GPS par exemple) dépend d'une ellipsoïde de révolution. Elle permet de calculer une coordonnée appelée hauteur géodésique (souvent notée h_e) qui est la distance entre un point et la surface de ladite ellipsoïde.

Paramétrisation d'une ellipsoïde de révolution

Une paramétrisation possible d'une ellipsoïde de révolution est :

$\backslash frac\; \{x^2\; +\; y^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{z^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

Définition

z'Oz	axe de révolution de l'ellipsoïde
a	demi grand axe
b	demi petit axe

Autres définitions

D'autres valeurs permettant de caractériser une ellipsoïde de révolution sont également utiliséeshttp://www.ign.fr/telechargement/FAQ/FAQ5.pdf :

f (pour flattening)	applatissement	$f\; =\; \backslash frac\{a-b\}\{a\}$
première excentricité	e	$e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a^2-b^2\}\{a^2\}\}$
deuxième excentricité	e'	$e\text{'}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a^2-b^2\}\{b^2\}\}$

On distingue alors deux types d'ellipsoïdes de révolution :

b > a	l'ellipsoïde est en forme de ballon de rugby ou cigare (prolate en anglais)
b < a	l'ellipsoïde est du type galette (oblate en anglais).

Ellipsoïdes de révolution par type

Type galette

La figure méridienne est donc une ellipse ordinaire d'excentricité e = c/a avec a² - b² = c².

Pour une colatitude $\backslash theta$ : $r\; =\; \backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{1\; +\; (\backslash frac\{c^2\}\{b^2\}\backslash cdot\backslash cos^2\backslash theta)\}\}$

Attention à la différence entre : normale en M et radiale OM.

Le volume est V = 4/3. Pi. a².b . La surface est S = 2.Pi.a² +2.Pi.b² . 1/2e .[Ln(1+e)-Ln(1-e)]

Un système de coordonnées convenant bien à l'étude est :

• x = a cosh v . sin$\backslash theta$.cos$\backslash phi$
• y = a cosh v . sin$\backslash theta$.sin$\backslash phi$
• z = a sinh v . cos$\backslash theta$

Cas particulier d'ellipsoïde de révolution : IAG GRS 80

Voici, à titre d'exemple , les valeurs des paramètres de l'ellipsoïde de révolution IAG GRS 80, associée au système géodésique WGS84 utilisé par le GPS :

Par définition :

demi grand axe	a	= 6 378 137,0 m
aplatissement	f	= 1/298,257 222 101

Par calcul :

demi petit axe	b	$\backslash simeq$ 6 356 752,314 140 355 847 852 106 m
première excentricité	e	$\backslash simeq$ 0,081 819 191 32
Circonférence équatoriale	2.π.a	$\backslash simeq$ 40 075,017 km (2.π.b $\backslash simeq$ 39 940,652 km)

Longueur de l'ellipse méridienne (par intégrale elliptique) : 40 007,863 km, ce qui prouve que la réalisation du mètre-étalon en platine iridié n'a pas été trop mal faite (précision 2×10) au .

À titre indicatif :

• la surface est : S = 510,065 622 millions de km ( un moyen mnémotechnique : S ≈ (2.π.R)²/π ; et aussi : on peut environ coller 1000 fois la France sur le globe terrestre).
• le volume est : 1083 milliards de km avec une densité moyenne de 5,5, soit une masse de 6×10kg.

Type cigare

La formule donnant le volume est la même.

La formule donnant la surface est différente :

S = 2.π.a² + 2.π.a.b.[ arcsin(e) / e]

Voir aussi

Notes et références

Liens internes

• figure de la Terre