Formule de Stirling

La formule de Stirling, du nom du mathématicien James Stirling, donne un équivalent de la factorielle au voisinage de l'infini réel (quand n tend vers l'infini) :

$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; +\backslash infty\}\; \{n\backslash ,!\backslash over\; \backslash sqrt\{2\; \backslash pi\; n\}\; \backslash ;\; \backslash left(\backslash frac\{n\}\{e\}\backslash right)^\{n\}\; \}\; =\; 1$

que l'on trouve souvent écrit ainsi :

$n\backslash ,!\backslash sim\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\; n\}\backslash ,\backslash left(\{n\; \backslash over\; e\}\backslash right)^n$

Version continue

La formule précédente est un cas particulier, pour un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction Γ d'Euler.

Histoire

La formule a d'abord été découverte par Abraham de Moivre sous la forme

$n\backslash ,!\backslash sim\; C\backslash ;\; n^\{n+1/2\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{e\}^\{-n\}$,

où $C$ est une constante réelle (non nulle).

L'apport de StirlingJacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum, (1730), proposition 28, p.135 fut de donner un développement de $\backslash ln(n!)$ à tout ordre et d'attribuer la valeur $C\; =\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\}$ à la constante. La démonstration classique de ceci est donné dans l'article intégrales de Wallis.

{{boîte déroulante|titre=Démonstration du résultat de Moivre|contenu=La détermination de la constante n'est pas immédiate, mais il est facile de montrer le résultat de Moivre. En effet, en posant $u\_n=\backslash frac\{n^n\backslash ,\; \backslash mathrm\{e\}^\{-n\}\; \backslash sqrt\{n\}\}\{n\backslash ,!\}$, il suffit de montrer que la suite $(u\_n)$ converge, et que sa limite est non nulle. Or $(u\_n)$ étant à termes strictement positifs pour $n\backslash geq\; 1$, on peut définir :

$v\_n=\; \backslash ln\; \backslash left(\; \backslash frac\{u\_\{n+1\}\}\{u\_n\}\; \backslash right)\; =\; \backslash ln\; \backslash left(\; \backslash frac\{(n+1)^n\backslash ,\; \backslash mathrm\{e\}^\{-1\}\; \backslash sqrt\{n+1\}\}\{n^n\; \backslash sqrt\{n\}\}\; \backslash right)\; =\; \backslash left(\; n+\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash ln\; \backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash right)\; -1$

de telle sorte qu'en utilisant le développement limité de $\backslash ln\; (1+x)$ en 0 à l'ordre 2, on obtient :

$v\_n\; =\; \backslash left(n+\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\backslash left[\backslash frac\{1\}\{n\}-\backslash frac\{1\}\{2n^2\}+O\backslash left(\backslash frac\{1\}\{n^3\}\backslash right)\; \backslash right]\; -1\; =\; 1-\backslash frac\{1\}\{2n\}+O\backslash left(\backslash frac\{1\}\{n^2\}\backslash right)+\backslash frac\{1\}\{2n\}-\backslash frac\{1\}\{4n^2\}+O\backslash left(\backslash frac\{1\}\{n^3\}\backslash right)-1\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4n^2\}+O\backslash left(\backslash frac\{1\}\{n^2\}\backslash right)$

On en déduit que $\backslash sum\; v\_n$ est une série absolument convergente, donc en écrivant $v\_n$ sous la forme : $v\_n\; =\; \backslash ln(u\_\{n+1\})-\backslash ln\; (u\_n)$, on trouve que la suite $(\backslash ln\; (u\_n))$ converge (vers une limite que nous notons L), donc la suite $(u\_n)$ aussi, et vers la limite non nulle $\backslash exp\{(L)\}$, ce qu'on voulait démontrer.}}

Nota

On peut améliorer la qualité de l'approximation de Stirling en utilisant le développement de la fonction Γ ; on trouve :

$n\backslash ,!\; =\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\; n\}\backslash ,\backslash left(\{n\; \backslash over\; e\}\backslash right)^n\; \backslash left[1\; +\; \backslash frac\{1\}\{12\backslash \; n\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{288\backslash \; n^2\}\; -\; \backslash frac\{139\}\{51\backslash \; 840\backslash \; n^3\}\; -\; \backslash frac\{571\}\{2\backslash \; 488\backslash \; 320\backslash \; n^4\}\; +\; \backslash frac\; \{163\backslash \; 879\}\{209\backslash \; 018\backslash \; 880\backslash \; n^5\}\; +\; \backslash mathcal\{O\}\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{n^5\}\; \backslash right)\; \backslash right]$

La formule d'Euler-MacLaurin permet d'aboutir au résultat à l'ordre que l'on veut.

(Sloane's A001163 and A001164 ).

Calculs numériques

$n\; \backslash ;$	$n!\; \backslash ;$	$\backslash sqrt\{2\backslash pi\; n\}\backslash ,\backslash left(\{n\; \backslash over\; e\}\backslash right)^n$	$\backslash sqrt\{2\backslash pi\; n\}\backslash ,\backslash left(\{n\; \backslash over\; e\}\backslash right)^n\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{12\backslash \; n\}\backslash right)$
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 40	1 2 6 24 120 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800 1 307 674 368 000 2 432 902 008 176 640 000 15 511 210 043 330 985 984 000 000 265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000 815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000	0,93 1,92 5,84 23,51 118,02 710,08 4 980,4 39 902,4 359 536,9 3,598 696 x $10^6$ 1,300 431 x $\{10\}^\{12\}$ 2,422 787 x $\{10\}^\{18\}$ 1,545 959 x $\{10\}^\{25\}$ 2,645 171 x $\{10\}^\{32\}$ 8,142 173 x $\{10\}^\{47\}$	0,999 1,999 5,998 23,996 119,99 719,94 5 039,7 40 318,1 362 866,0 3,628 685 x $10^6$ 1,307 665 x $\{10\}^\{12\}$ 2,432 882 x $\{10\}^\{18\}$ 1,551 113 x $\{10\}^\{25\}$ 2,652 519 x $\{10\}^\{32\}$ 8,159 136 x $\{10\}^\{47\}$

Notes et références