Généralités sur les machines électriques

Le but de cette page est d'expliquer et de démontrer comment une machine électrique fonctionne et produit un couple.

Circuit Statique

Soit un circuit magnétique entouré par un bobinage comportant N spires alimenté par une tension $u\; \backslash ,$. On note $\backslash varphi\backslash ,$ flux par spire et $\backslash Phi\; =\; N\; \backslash varphi\backslash ,$ le flux total embrassé par la bobine.

On peut faire le schéma électrique équivalent suivant avec une résistance R qui symbolise les pertes dans les cables. et une fem $e=\{d\backslash Phi\backslash over\; dt\}\backslash ,$ voir Loi de Lenz.

donc on peut écrire.

$u=Ri+\; \{d\backslash Phi\backslash over\; dt\}\backslash ,$

En multipliant cette équation par $idt\backslash ,$ on obtient :

$u.i.dt=R.i^2.dt+N.i.d\backslash varphi\backslash ,$

Bilan des énergies

on alimente un circuit magnétique avec une tension u, Le circuit consomme une puissance We, On obtient de la chaleur W_th(les câbles chauffent) et le reste est de l'énergie magnétique. donc $dW\_e=dW\_\{th\}+dW\_\{m\}\backslash ,$

Repronons la formule plus haut $u.i.dt=R.i^2.dt+N.i.d\backslash varphi\backslash ,$ On peut identifier $dW\_e=u.i.dt\; \backslash ,$ la puissance consommée et $dW\_\{th\}\; =\; R.i^2.d\; t\backslash ,$ les pertes thermiques.

Par identification on en déduit que $dW\_m=Nid\backslash varphi\backslash ,$. Donc:

$W\_m\; =\; \backslash int\{Nid\backslash varphi\}\backslash ,$

Si on considère que le circuit est indéformable alors $dS=0\; \backslash ,$ avec $S\; \backslash ,$ = surface délimitée par le cicuit.

$\backslash varphi\; =\; B.S\; \backslash Rightarrow\; d\backslash varphi\; =\; S.dB+dS.B\; \backslash Rightarrow\; dW\_m=N.i.S.dB\backslash ,$

$Ni\; =\; \backslash int\{H.dl\}=Hl$

donc on en déduit $dW\_m=H.l.S.dB=H.dB.V\; \backslash ,$ avec $V=\; l.S\; =\; \backslash ,$Volume

donc $W\_m=\backslash int\{H.dB.V\}$

Cas linéaire :On considère que le matériau est non-saturé.

donc $\backslash Phi\; =Li\backslash ,$ et $B=\backslash mu\; .H\backslash ,$

$W\_m=\backslash frac\{1\}\{2\}.\backslash Phi\; .i\backslash ,$ si $\backslash Phi=L.i\backslash ,$ alors $Wm=\backslash frac\{1\}\{2\}.L.i^2$

$\backslash frac\{W\_m\}\{V\}=\backslash frac\{1\}\{2\}.B.H=\backslash frac\{1\}\{2\}.\backslash mu\; .H^2=\; \backslash frac\{B^2\}\{2\backslash mu\}$

on pose $W\_m+W\text{'}\_m=\; \backslash Phi\; .i=N.\backslash varphi\; .i\; \backslash ,$ avec :

• $W\_m\; \backslash ,$= énergie magnétique
• $W\text{'}\_m\backslash ,$= Co-énergie

dans le cas linéaire = $W\_m=W\text{'}\_m=\backslash Phi\; .i\; /2\; \backslash ,$

Circuit déformable ou dynamique

Comme le circuit est en mouvement on a de l'énergie mécanique en plus de l'énergie thermique et l'énergie Magnétique.

Donc : $dW\_e=dW\_\{th\}+dW\_\{meca\}+dW\_m\; \backslash ,$, avec :

• $dW\_e=u.i.dt=(Ri+N\backslash frac\{d\backslash varphi\}\{dt\}).i.dt=R.i^2.dt+N.i.d\backslash varphi\; \backslash ,$
• $dWth=\; R.i^2.dt\backslash ,$
• $dW\_\{meca\}\; =\; F.dx\backslash ,$ (déplacement linéaire) ou $dW\_\{meca\}\; =\; C.d\; \backslash theta\; \backslash ,$ (rotation)

De plus on néglige les pertes fer et les frottements.

donc on obtient :

$R.i.dt+N.i.d\backslash varphi=Fdx+dW\_m\; \backslash ,$

$F=(-\backslash frac\{dW\_m\}\{dt\})\; \backslash varphi=cste\backslash ,$

comme $W\_n+W\text{'}\_m\; =\; \backslash varphi\; .N.i\; \backslash ,$

= Machines élémentaires =

Cas Particulier

Stator lisse Rotor Lisse

Stator lisse Rotor Saillant

Stator Saillant Rotor lisse

Stator Saillant Rotor Saillant