Hermitien

Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.

Espace hermitien

On appelle espace hermitien tout espace vectoriel E complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire hermitien.

Produit scalaire hermitien

On dit qu'une forme définie sur un espace vectoriel complexe E est sesquilinéaire si (notant X, Y, Z des vecteurs, et a, b des scalaires, c'est-à-dire des nombres complexes) :

• $\backslash \; f(aX+Y,Z)=\backslash overline\{a\}f(X,Z)+f(Y,Z)$, et
• $\backslash \; f(X,bY+Z)=bf(X,Y)+f(X,Z)$.
• Une telle forme est dite hermitienne si de plus $f(X,Y)=\backslash overline\{f(Y,X)\}$.
• Elle est dite hermitienne définie positive si $f(X,X)>0\backslash ,$ pour tout vecteur $X\backslash ,\backslash not=0\backslash ,$.

Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.

Les deux exemples de base sont $\backslash mathbb\{C\}^n\backslash ,$, avec

$f(U,V)=\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash overline\{u\_i\}\{v\_i\}$ et $L^2(I)\backslash ,$ pour un intervalle $I\backslash subset\backslash R\backslash ,$, avec $f(g,h)=\backslash int\_I\backslash overline\{g(t)\}h(t)dt$ (On considère des fonctions à valeurs complexes.)

En théorie des séries de Fourier, il est plus commode de travailler avec les $e^\{inx\}\backslash ,$ qu'avec les sinus et les cosinus, ce qui explique l'intervention de cette notion dans la décomposition spectrale de Fourier.

Les deux propriétés de base du produit scalaire réel subsistent :

• l'inégalité de Cauchy-Schwarz ;
• $\backslash sqrt\{f(x,x)\}$ est une norme (une conséquence).

Opérateur hermitien

Un opérateur u de l'espace hermitien E est dit hermitien si :

$\backslash forall\; x\; \backslash in\; E,\; \backslash forall\; y\; \backslash in\; E,\; (u(x)|y)\; =\; (x|u(y))$

Les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique, car ils représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.

Dans une base orthonormale, la matrice d'un tel opérateur est égale à la transposée de son conjugué (auto-adjoint). Notons : $A^+\; =\; \{\}^t(A)^*$. Alors si $A\; =\; A^+$, A est la matrice d'un opérateur hermitien.

Matrice hermitienne

Une matrice hermitienne (ou auto-adjointe) est une matrice carrée avec des éléments complexes qui vérifie la propriété suivante :

• la matrice est égale à la matrice transposée conjuguée.
  En d'autres termes, $a\_\{i,j\}\; =\; \backslash overline\{a\_\{j,i\}\}$

Par exemple, est une matrice hermitienne.

En particulier, une matrice à éléments réels est hermitienne si et seulement si elle est symétrique.

Une matrice hermitienne est orthogonalement diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont réelles ; ses sous-espaces propres sont 2 à 2 orthogonaux.

Polynômes orthogonaux d'Hermite

Les polynômes d'Hermite interviennent dans la théorie de l'approximation uniforme des fonctions. En physique, on les retrouve dans la résolution de l'équation de la chaleur, mais aussi en mécanique quantique où ils donnent les fonctions d'ondes de l'oscillateur harmonique.

La suite des polynômes d'Hermite, notés $H\_n$, est orthogonale pour le produit scalaire défini par :

.

Ces polynômes sont définis de telle manière que $H\_n$ soit de degré n, le premier d'entre eux étant $H\_0\; =1$.

Cette suite satisfait les relations suivantes :

• $H^\{\}\_\{n+1\}(x)-2x\backslash ,H\_n(x)+2n\backslash ,H\_\{n-1\}(x)=0$
• $H^\{\text{'}\}\_n(x)=2n\backslash ,H\_\{n-1\}(x)$
• $H\_n^\{\text{'}\text{'}\}\; -\; 2x\backslash ,H\_n^\{\text{'}\}\; +\; 2n\backslash ,H\_n\; =\; 0$
• $H\_n(x)=(-1)^\{n\}\backslash ,\backslash mathrm\{e\}^\{x^2\}\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}\backslash left(\backslash mathrm\{e\}^\{-x^2\}\backslash right)$