Identité d'Euler

L'identité d'Euler est la relation suivante :

$e^\{i\; \backslash pi\}\; +\; 1\; =\; 0\backslash ;$

où $\backslash \; e$ est la base du logarithme népérien, $\backslash \; i$ est l'unité des imaginaires purs (vérifiant $\backslash \; i^2=-1$) et $\backslash \; \backslash pi$ est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre).

L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748.

Dans la préface de l'un de ses cahiers, alors qu'il avait presque quinze ans, Richard Feynman, qualifia cette identité de « formule la plus remarquable au monde ».

Feynman a trouvé cette formule remarquable parce qu'elle lie des constantes mathématiques fondamentales :

• Les nombres $\backslash \; 0$ et $\backslash \; 1$ sont respectivement les éléments neutres pour l'addition et la multiplication.
• Le nombre $\backslash \; \backslash pi$ est une constante relative à notre monde euclidien, au moins sur de petites échelles (sinon le rapport de la longueur de la circonférence du cercle à son diamètre n'est pas une constante universelle, c'est-à-dire la même pour toutes les circonférences).
• Le nombre $\backslash \; e$ est important dans la description des comportements de forte croissance, et apparaît dans la solution $\backslash \; y$ ($\backslash \; y(x)\; =\; e^x$) de la plus simple équation différentielle de croissance : $\backslash \; dy\; /\; dx\; =\; y$ et $\backslash \; y(0)=1$.
• Enfin, le nombre imaginaire $\backslash \; i$ a été introduit pour que tous les polynômes non constants à coefficients réels admettent des racines (voir le théorème de d'Alembert).

La formule comporte également les opérations arithmétiques fondamentales d'addition, de multiplication et d'élévation à une puissance. Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe :

Pour tout nombre réel $\backslash \; x$,

$\backslash \; e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\; \backslash sin\; x\; \backslash ,\backslash !$

(moyen mnémotechnique: cis(x) = cos(x)+i sin(x) )

Si nous posons $\backslash \; x\; =\; \backslash pi$, alors

$\backslash \; e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; \backslash cos\; \backslash pi\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash pi\; \backslash ,\backslash !$

et puisque $\backslash \; \backslash cos(\backslash pi)\; =\; -1$ et $\backslash \; \backslash sin(\backslash pi)\; =\; 0$, nous obtenons

$\backslash \; e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; -1\; \backslash ,\backslash !$

et par conséquent,

$\backslash \; e^\{i\; \backslash pi\}\; +\; 1\; =\; 0\; \backslash ,\backslash !$

• L'interprétation géométrique est issue de $e^\{i\; \backslash pi\}\; \backslash simeq\; (1\; +\; \backslash frac\{i\backslash pi\}\{N\})^N\; \backslash simeq\; -1\; \backslash ;$

à partir du germe suivant réitéré N fois

En effet, d'une part, $z\backslash ,\backslash in\backslash mathbb\{C\}\; \backslash quad\; e^z\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(1+\backslash frac\{z\}\{n\}\backslash right)^n$ et d'autre part les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées $\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{i\backslash pi\}\{N\}\backslash right)^N$ est obtenu en juxtaposant $N\backslash ,$ triangles rectangles comme indiqué sur la figure ci-contre.

Aussi belle et mystérieuse qu'est cette identité d'Euler, on comprend mieux géométriquement pourquoi, lorsque $N\backslash ,$ tend vers $\backslash infty\backslash ,$, le point d'affixe $e^\{i\; \backslash pi\}\backslash ,$ est égal à $(-1,0)\backslash ,$

Une autre identité d'Euler en analyse à plusieurs variables

L' identité d'Euler est la relation suivante : (voir Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables))

Si $f(x\_1,x\_2,...,x\_n)$ est une fonction de classe C¹ homogène de degré k, alors

$\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; x\_i\; \backslash frac\{\; \backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; \{x\_i\}\}=k\; f$

Lien externe

Preuve de formule d'Euler avec série de Taylor