Loi du χ²

{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,|

 cdf        =$\backslash frac\{\backslash gamma(k/2,x/2)\}\{\backslash Gamma(k/2)\}\backslash ,$|
 mean       =$k\backslash ,$|
 median     =approximativement $k-2/3\backslash ,$|
 mode       =$k-2\backslash ,$ si $k\backslash geq\; 2\backslash ,$|
 variance   =$2\backslash ,k\backslash ,$|
 skewness   =$\backslash sqrt\{8/k\}\backslash ,$|
 kurtosis   =$3\; +\; \{12\backslash over\; k\}\; \backslash ,$|
 entropy    =$\backslash frac\{k\}\{2\}\backslash !+\backslash !\backslash ln(2\backslash Gamma(k/2))\backslash !+\backslash !(1\backslash !-\backslash !k/2)\backslash psi(k/2)$|
 mgf        =$(1-2\backslash ,t)^\{-k/2\}$ pour |
 char       =$(1-2\backslash ,i\backslash ,t)^\{-k/2\}\backslash ,$

}}

La loi du χ² (prononcé « khi-deux » ou « khi carré ») est une loi à densité de probabilité. Cette loi est caractérisée par un paramètre dit degrés de liberté à valeur dans l'ensemble des entiers naturels (non nuls).

Soit $X\_1,\; \backslash ldots\; ,\; X\_k$ $k$ variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée et réduite, alors par définition la variable $X$, telle que

$X:=\backslash Sigma\_\{i=1\}^k\; X\_i^2$

suit une loi du χ² à k degrés de liberté.

Soit $X~$ une variable aléatoire suivant une loi du χ² à $k~$ degrés de liberté, on notera $\backslash chi^2(k)~$ la loi de $X~$.

Alors la densité de $X~$ notée $f\_X~$ sera:

$f\_X(t)=\backslash frac\{1\}\{2^\backslash frac\{k\}\{2\}\backslash Gamma(\backslash frac\{k\}\{2\})\}\; t^\{\backslash frac\{k\}\{2\}\; -\; 1\}\; e^\{-\backslash frac\{t\}\{2\}\}\backslash ,$ pour tout t positif

où Γ est la fonction gamma.

L'espérance mathématique de $X$ vaut $k$ et sa variance vaut $2k$.

Approximation

Lorsque k est « grand » (k > 100), la loi du χ² peut s'approximer par une loi normale d'espérance k et de variance 2k.

Utilisation

La principale utilisation de cette loi consiste à apprécier l'adéquation d'une loi de probabilité à une distribution empirique en utilisant le test du χ² basé sur la loi multinomiale. Plus généralement elle s'applique dans le test d'hypothèses à certains seuils (indépendance notamment).

Lien avec les méthodes bayésiennes

Dans son ouvrage Décisions rationnelles dans l'incertain (1974), qui constitue une somme des techniques bayésiennes dont la grande émergence se fait à cette époque, le professeur Myron Tribus montre que le χ² constitue un exemple de passage à la limite du psi-test (test de plausibilité) bayésien lorsque le nombre de valeurs en présence devient grand - ce qui est la condition de travail des statistiques classiques, mais pas nécessairement des bayésiennes. Le raccord entre les deux disciplines, qui sont asymptotiquement convergentes, est ainsi complet.

L'ouvrage de référence de Jaynes en donne également une démonstration en page 287. Lien vers l'introduction de ce livre

Articles connexes

• Méthode des moindres carrés
• Test du χ²
• Loi de Rice