Loi normale

\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!|

 cdf        =$\backslash frac12\; \backslash left(1\; +\; \backslash mathrm\{erf\}\backslash ,\backslash frac\{x-\backslash mu\}\{\backslash sigma\backslash sqrt2\}\backslash right)\; \backslash !$|
 mean       =$\backslash mu$|
 median     =$\backslash mu$|
 mode       =$\backslash mu$|
 variance   =$\backslash sigma^2$|
 skewness   = 0|
 kurtosis   = 3 (0 si normalisé)|
 entropy    =$\backslash ln\backslash left(\backslash sigma\backslash sqrt\{2\backslash ,\backslash pi\backslash ,e\}\backslash right)\backslash !$|
 mgf        =$M\_X(t)=\; \backslash exp\backslash left(\backslash mu\backslash ,t+\backslash sigma^2\; \backslash frac\{t^2\}\{2\}\backslash right)$|
 char       =$\backslash phi\_X(t)=\backslash exp\backslash left(\backslash mu\backslash ,i\backslash ,t-\backslash frac\{\backslash sigma^2\; t^2\}\{2\}\backslash right)$|

}} En probabilité, une variable aléatoire suit une loi normale (ou loi normale gaussienne, loi de Laplace-Gauss) d'espérance m et d'écart type σ si elle admet une densité de probabilité f telle que :

$f(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{x-m\}\{\backslash sigma\}\backslash right)^2\}$

Une telle variable aléatoire est dite variable gaussienne.

La loi normale est une des principales distributions de probabilité. Elle a été mise en évidence par Gauss au XIX siècle et permet de modéliser de nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une courbe dite courbe en cloche ou courbe de Gauss.

Le Théorème de Moivre-Laplace affirme la convergence d'une loi binomiale vers une loi de Gauss quand le nombre d'épreuves augmente.

La loi normale centrée réduite

La fonction $\backslash varphi\; :\; \backslash R\; \backslash to\; \backslash R^+$ définie par :

$\backslash varphi(t)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash ;\backslash pi\}\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash frac\{t^2\}\{2\}\}$

est une densité de probabilité : elle est continue, et son intégrale sur $\backslash \; \backslash R$ est égale à 1.

On sait en effet que $\backslash \; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash frac\{t^2\}\{2\}\}\backslash \; dt\; =\; \backslash sqrt\{2\backslash ,\; \backslash pi\}$ (intégrale de Gauss).

On démontre (voir plus bas) que la loi définie par cette densité de probabilité admet une espérance nulle et une variance égale à 1.

Remarques :

• la densité $\backslash varphi$ est paire ;
• elle est indéfiniment dérivable et vérifie, pour tout $\backslash \; t\; \backslash in\; \backslash R$, l'identité $\backslash varphi\text{'}(t)\; =\; -\; t\backslash ,\; \backslash varphi(t)$.

Définition

On appelle loi normale (ou gaussienne) centrée réduite la loi définie par la densité de probabilité $\backslash varphi$.

La représentation graphique de cette densité est une courbe en cloche (ou courbe de Gauss).

Moments

Les moments de cette loi existent tous. Pour tout $\backslash \; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$, le moment d'ordre n par rapport à l'origine est :

$\backslash \; m\_n\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; t^n\backslash ,\; \backslash varphi(t)\backslash ,\; dt$.

• En raison de la parité de l'intégrande, tous les moments d'ordre impair sont nuls :

$m\_\{2\backslash ,\; k+1\}\; =\; 0$

• Supposons à présent n pair : $\backslash \; n\; =\; 2\backslash ,\; k$, où $\backslash \; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$.

Si $\backslash \; k\; \backslash geq\; 1$, une intégration par parties (non détaillée ici) donne :

$m\_\{2\backslash ,\; k\}\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; t^\{2\backslash ,\; k\; -\; 1\}\backslash ,\; t\backslash ,\; \backslash varphi(t)\backslash ,\; dt\; =-\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; t^\{2\backslash ,\; k\; -\; 1\}\backslash ,\; \backslash varphi\text{'}(t)\backslash ,\; dt\; =\; (2\backslash ,\; k\; -\; 1)\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; t^\{2\backslash ,\; k\; -\; 2\}\backslash ,\; \backslash varphi(t)\backslash ,\; dt$

ce qui fournit la relation de récurrence :

$m\_\{2\backslash ,\; k\}\; =\; (2\backslash ,\; k\; -\; 1)\backslash ,\; m\_\{2\backslash ,\; k\; -\; 2\}$ .

De cette relation, on déduit, comme $\backslash \; m\_0\; =\; 1\backslash ,$, que :

$m\_\{2\backslash ,\; k\}\; =\; 1\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdots\; (2\backslash ,\; k\; -\; 1)\; =\; \backslash frac\{(2\backslash ,\; k)\backslash ,\; !\}\{2^k\backslash ,\; k\backslash ,!\}$

• En particulier, $\backslash \; m\_1\; =\; 0$ (l'espérance est nulle : la loi est donc dite centrée) et $\backslash \; m\_2\; =\; 1\backslash ,$ (la variance vaut $\backslash \; \backslash \; m\_2\; -\; m\_1^2\; =\; 1\backslash ,\backslash !$ : la loi est donc dite réduite).

Ceci justifie l'appellation de loi normale centrée réduite.

• Des formules précédentes, on déduit encore :

$m\_3\; =\; 0\backslash ,$  et  $m\_4\; =\; 3\backslash ,$

• La loi étant réduite, les moments centrés sont tous égaux aux moments par rapport à l'origine de même rang ; en particulier :

$\backslash mu\_2\; =\; \backslash sigma^2\; =\; 1\backslash ,$,  $\backslash mu\_3\; =\; 0\backslash ,$ et $\backslash mu\_4\; =\; 3\backslash ,$.

On en déduit l'asymétrie (skewness) : $\backslash gamma\_1\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_3\}\{\backslash sigma^3\}\; =\; 0\backslash ,$ et l'aplatissement (kurtosis) : $\backslash beta\_2\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_4\}\{\backslash sigma^4\}\; =\; 3\backslash ,$.

Fonction de répartition

On note $\backslash Phi$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Elle est définie, pour tout réel x, par :

$\backslash \; \backslash Phi(x)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^x\; \backslash varphi(t)\backslash ,\; dt\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^x\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash ,\backslash pi\}\}\backslash ,\backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash frac\{t^2\}\{2\}\}\backslash ,\; dt$.

C'est la primitive de $\backslash varphi$ qui tend vers 0 en $-\backslash infty$ ; elle ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.) mais devient elle-même une fonction usuelle, importante, pour quiconque pratique le calcul des probabilités ou les statistiques.

Citons les propriétés suivantes de la fonction $\backslash Phi$ :

• Elle est indéfiniment dérivable, et $\backslash Phi\text{'}\; =\; \backslash varphi$
• Elle est strictement croissante, tend vers 0 en $-\backslash infty$ et vers 1 en $+\backslash infty$

(c'est donc une bijection $\backslash R\; \backslash to\backslash ,\; ]0,\backslash ,\; 1[\backslash ,$ : pour tout $p\; \backslash in\backslash ,\; ]0,\backslash ,\; 1[\backslash ,$, il existe $x\; \backslash in\; \backslash R$ unique, noté $\backslash \; \backslash Phi^\{-1\}(p)$, tel que $\backslash \; \backslash Phi(x)\; =\; p$)

• Pour tout $x\; \backslash in\; \backslash R,\; \backslash Phi(-x)\; =\; 1\; -\; \backslash Phi(x)$ (ceci résulte de ce que la densité est paire) ; en particulier, $\backslash \; \backslash Phi(0)\; =\; 0,5$

Remarque : les notations $\backslash varphi$ et $\backslash \; \backslash Phi$ pour désigner « la » densité et la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite sont usuelles.

Approximation de la fonction de répartition

Il n'existe pas d'expression pour $\backslash Phi$ mais on peut exploiter avec profit son aspect régulier pour en donner une approximation grâce à un développement en série de Taylor. Par exemple, voici une approximation (à l'ordre 5) autour de 0: $\backslash Phi(x)\; \backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; 0,3989423\; \backslash left[x-\backslash frac\{x^3\}\{6\}+\backslash frac\{x^5\}\{40\}\backslash right]$. Cette approximation est performante pour .

Tables numériques

Il existe des tables de la fonction de répartition, donnant des valeurs approchées de $\backslash \; \backslash Phi(x)$ ; on se limite à des x positifs ou nuls : en effet, si par exemple on connaît l'approximation $\backslash Phi(0,5)\; \backslash simeq\; 0,6915$, on en déduit $\backslash Phi(-0,5)\; \backslash simeq\; 1\; -\; 0,6915\; =\; 0,3085$.

Au lieu des précédentes, on utilise souvent des tables de la fonction qu'on notera ici $\backslash \; \backslash Phi\_0$, définie sur $\backslash \; \backslash R^+$ par :

$\backslash Phi\_0(x)\; =\backslash int\_0^x\; \backslash varphi(t)\backslash ,\; dt$

Voici une table de cette fonction $\backslash \; \backslash Phi\_0$ (où les valeurs de x vont de 0,0 jusqu'à 3,4 par pas de 0,1) :

x	,0	,1	,2	,3	,4	,5	,6	,7	,8	,9
0	0	0,0398	0,0793	0,1179	0,1554	0,1915	0,2257	0,2580	0,2881	0,3159
1	0,3413	0,3643	0,3849	0,4032	0,4192	0,4332	0,4452	0,4554	0,4641	0,4713
2	0,4772	0,4821	0,4861	0,4893	0,4918	0,4938	0,4953	0,4965	0,4974	0,4981
3	0,4987	0,4990	0,4993	0,4995	0,4998

On dispose des relations simples suivantes entre $\backslash \; \backslash Phi$ et $\backslash \; \backslash Phi\_0$ (découlant de la formule de Chasles pour les intégrales) :

• si $\backslash \; x\; \backslash geq\; 0$, alors $\backslash \; \backslash Phi(x)\; =\; 0,5\; +\; \backslash Phi\_0(x)$
• si , alors $\backslash \; \backslash Phi(x)\; =\; 0,5\; -\; \backslash Phi\_0(-x)$

Soit T une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite :

• pour tout $\backslash \; x\; \backslash in\; \backslash R,\backslash ,\; P(T\; \backslash leq\; x)\; =\; \backslash Phi(x)$ et pour tout $\backslash \; x\; \backslash in\; \backslash R^+,\backslash ,\; P(0\; \backslash leq\; T\; \backslash leq\; x)\; =\; \backslash Phi\_0(x)$

• pour tout couple $\backslash \; x\_1,\backslash ,\; x\_2$ de réels tels que $\backslash \; x\_1\; \backslash leq\; x\_2$, $\backslash \; P(x\_1\; \backslash leq\; T\; \backslash leq\; x\_2)\; =\; \backslash Phi(x\_2)-\; \backslash Phi(x\_1)$.

Exemples numériques

À l'aide de la table ci-dessus, on obtient, pour la variable aléatoire précédente :

• $\backslash \; P(0\; \backslash leq\; T\; \backslash leq\; 1,7)\; =\; \backslash Phi\_0(1,7)\; \backslash simeq\; 0,4554$

• $\backslash \; P(T\; \backslash leq\; 1,7)\; =\; \backslash Phi(1,7)\; =\; 0,5\; +\; \backslash Phi\_0(1,7)\; \backslash simeq\; 0,9554$

• $\backslash \; P(-0,3\; \backslash leq\; T\; \backslash leq\; 1,7)\; =\; \backslash Phi(1,7)-\; \backslash Phi(-0,3)\; =\; 0,5\; +\; \backslash Phi\_0(1,7)\; -\; 0,5\; +\; \backslash Phi\_0(0,3)\; \backslash simeq\; 0,5733$

La loi normale générale

Soient $\backslash \; T$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, et deux réels $\backslash mu,\backslash ,\; \backslash sigma$, où $\backslash \; \backslash sigma\; >\; 0$.

On définit la variable aléatoire $X\; =\; \backslash sigma\backslash ,\; T\; +\; \backslash mu$, dont on note $\backslash \; F$ la fonction de répartition.

On a $\backslash mathrm\{E\}(X)\; =\; \backslash sigma\backslash ,\; \backslash mathrm\{E\}(T)\; +\; \backslash mu\; =\; \backslash mu$ et $\backslash mathrm\{V\}(X)\; =\; \backslash sigma^2\backslash ,\; \backslash mathrm\{V\}(T)\; =\; \backslash sigma^2$ puisque $\backslash \; \backslash mathrm\{E\}(T)\; =\; 0$ et $\backslash \; \backslash mathrm\{V\}(T)\; =\; 1$.

Cherchons la loi de $\backslash \; X$ : pour tout $x\; \backslash in\; \backslash R$,

$F(x)\; =\; P(X\; \backslash leq\; x)\; =\; P(\backslash sigma\backslash ,\; T\; +\; \backslash mu\; \backslash leq\; x)\; =\; P\backslash left(T\; \backslash leq\; \backslash frac\{x\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash right)\; =\; \backslash Phi\backslash left(\backslash frac\{x\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash right)$,

puisque la fonction de répartition de $\backslash \; T$ est $\backslash \; \backslash Phi$.

Ainsi, $\backslash \; F$ est continûment (et même indéfiniment) dérivable : $\backslash \; X$ suit une loi à densité, et la dérivée $\backslash \; f$ de $\backslash \; F$ est une densité de probabilité de cette variable aléatoire ; pour tout $x\; \backslash in\; \backslash R$,

$f(x)\; =\; F\text{'}(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\}\backslash ,\; \backslash Phi\text{'}\; \backslash left(\backslash frac\{x\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\}\backslash ,\; \backslash varphi\; \backslash left(\backslash frac\{x\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\; \backslash sqrt\{2\backslash ,\backslash pi\}\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{x-\backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash right)^2\}$.

Ceci légitime la définition suivante :

Définition

On appelle loi normale (ou gaussienne, ou de Laplace-Gauss) de paramètres $\backslash \; \backslash mu,\backslash ,\; \backslash sigma^2$ (où $\backslash \; \backslash sigma\; >\; 0$) la loi de probabilité définie par la densité $\backslash \; f\; :\; \backslash R\; \backslash to\; \backslash R^+$, telle que pour tout $x\; \backslash in\; \backslash R$ :

$f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\}\backslash ,\; \backslash varphi\; \backslash left(\backslash frac\{x\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\; \backslash sqrt\{2\backslash ,\backslash pi\}\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{x-\backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash right)^2\}$.

Notation: cette loi est notée $\backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\backslash ,\; \backslash sigma^2)$ (on a aussi utilisé $\backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\backslash ,\; \backslash sigma)$, mais cette dernière tend à céder la place à l'autre, d'autant plus qu'elle n'est pas cohérente avec la notation habituelle de la loi (multi-)normale sur $\backslash \; \backslash R^n$). La loi normale centrée réduite est $\backslash mathcal\{N\}(0,\backslash ,\; 1)$.

On peut énoncer plusieurs propriétés, compte tenu de ce qui précède (le dernier point se démontrant de manière analogue).

Propriétés

Soit une variable aléatoire $\backslash \; X$ qui suit la loi normale $\backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\backslash ,\; \backslash sigma^2)$. Alors :

• son espérance et sa variance existent et $\backslash \; \backslash mathrm\{E\}(X)\; =\; \backslash mu$, $\backslash \; \backslash mathrm\{V\}(X)\; =\; \backslash sigma^2\; >\; 0$
• sa fonction de répartition $\backslash \; F$ est telle que pour tout $x\; \backslash in\; \backslash R$,

$F(x)\; =\; \backslash Phi\backslash left(\backslash frac\{x\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash right)$

• la variable aléatoire $X^\backslash star\; =\; \backslash frac\{X\; -\; \backslash mathrm\{E\}(X)\}\{\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{V\}(X)\}\}$, c'est-à-dire $X^\backslash star\; =\; \backslash frac\{X\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}$, suit la loi normale centrée réduite
• si $\backslash \; \backslash alpha,\backslash ,\; \backslash beta$ sont deux réels ($\backslash \; \backslash alpha\; \backslash neq\; 0$), alors la variable aléatoire $\backslash \; \backslash alpha\backslash ,\; X\; +\; \backslash beta$ suit la loi normale $\backslash mathcal\{N\}(\backslash alpha\backslash ,\; \backslash mu\; +\; \backslash beta,\backslash ,\; \backslash alpha^2\backslash ,\; \backslash sigma^2)$

Largeur à mi-hauteur

Lorsque l'on travaille sur une représentation graphique, on estime fréquemment la largeur de la gaussienne par sa largeur à mi-hauteur H (en anglais full width at half maximum, FWHM), qui est la largeur de la courbe à une altitude qui vaut la moitié de l'altitude du sommet. La largeur à mi-hauteur est proportionnelle à l'écart type :

$H\; =\; 2\; \backslash sqrt\{2\backslash \; ln(2)\}\backslash \; \backslash sigma\; \backslash simeq\; 2,3548\; \backslash sigma$

Le facteur 2 sert à prendre en compte l'extension de la Gaussienne dans les valeurs négatives.

Calcul de P(a ≤ X ≤ b)

Les résultats précédents permettent de ramener tout calcul de probabilité relatif à la loi normale $\backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\backslash ,\; \backslash sigma^2)$ à un calcul de probabilité relatif à la loi normale centrée réduite. On a vu qu'on dispose de tables donnant des approximations de valeurs de la fonction $\backslash \; \backslash Phi$, tables qu'on utilise encore fréquemment, même si certaines calculatrices ou certains tableurs peuvent maintenant les remplacer.

Si la variable aléatoire $\backslash \; X$ suit la loi normale $\backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\backslash ,\; \backslash sigma^2)$, et si $\backslash \; a,\backslash ,\; b$ sont deux réels tels que $\backslash \; a\; \backslash leq\; b$, on a :

$\backslash \; P(a\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; b)\; =\; F(b)\; -\; F(a)\; =\; \backslash Phi\backslash left(\backslash frac\{b\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash right)\; -\; \backslash Phi\backslash left(\backslash frac\{a\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash right)$

Cas d'un intervalle centré à la moyenne, plages de normalité

• Si t est un réel positif,

$\backslash \; P(\backslash mu\; -\; t\backslash ,\; \backslash sigma\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; \backslash mu\; +\; t\backslash ,\; \backslash sigma)\; =\; \backslash Phi(t)\; -\; \backslash Phi(-t)\; =\; \backslash Phi(t)\; -\; (1\; -\; \backslash Phi(t))\; =\; 2\backslash ,\; \backslash Phi(t)\; -\; 1$

• lorsque $\backslash \; P(\backslash mu\; -\; t\backslash ,\; \backslash sigma\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; \backslash mu\; +\; t\backslash ,\; \backslash sigma)\; =\; \backslash alpha$, où $\backslash \; \backslash alpha\; \backslash in\backslash ,\; ]0,\backslash ,\; 1[$,

ce qui équivaut à $\backslash \; 2\backslash ,\; \backslash Phi(t)\; -\; 1\; =\; \backslash alpha$, ou $\backslash \; \backslash Phi(t)\; =\; \backslash frac\{\backslash alpha\; +\; 1\}\{2\}$,

l'intervalle $\backslash \; [\backslash mu\; -\; t\backslash ,\; \backslash sigma,\backslash ,\; \backslash mu\; +\; t\backslash ,\; \backslash sigma]\; =\; [\backslash mathrm\{E\}(X)\; -\; t\backslash ,\; \backslash sigma,\backslash ,\; \backslash mathrm\{E\}(X)\; +\; t\backslash ,\; \backslash sigma]$ est appelé plage de normalité au niveau de confiance $\backslash alpha$

(si par exemple, $\backslash alpha\; =\; 0,\; 95$, on dit : 'plage de normalité au niveau de confiance 95%' : en statistique, c'est un intervalle dans lequel se trouve 95% de la population lorsque la distribution est gaussienne).

Exemples numériques

Grâce à la table précédente, on obtient :

• $\backslash \; P(\backslash mu\; -\; \backslash sigma\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; \backslash mu\; +\; \backslash sigma)\; \backslash simeq\; 0,6826$ ;

l'intervalle $[\backslash mathrm\{E\}(X)\; -\; \backslash sigma,\backslash ,\; \backslash mathrm\{E\}(X)\; +\; \backslash sigma]$ est la plage de normalité au niveau de confiance 68 %

• $\backslash \; P(\backslash mu\; -\; 0,5H\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; \backslash mu\; +\; 0,5H)\; \backslash simeq\; 0,76..$ ;

l'intervalle $[\backslash mathrm\{E\}(X)\; -\; 0,5H,\backslash ,\; \backslash mathrm\{E\}(X)\; +\; 0,5H]$ (H étant la largeur à mi-hauteur) est la plage de normalité au niveau de confiance 76 %

• $\backslash \; P(\backslash mu\; -\; 2\backslash ,\; \backslash sigma\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; \backslash mu\; +\; 2\backslash ,\; \backslash sigma)\; \backslash simeq\; 0,9544$ ;

l'intervalle $[\backslash mathrm\{E\}(X)\; -\; 2\backslash ,\; \backslash sigma,\backslash ,\; \backslash mathrm\{E\}(X)\; +\; 2\backslash ,\; \backslash sigma]$ est la plage de normalité au niveau de confiance 95 %

• $\backslash \; P(\backslash mu\; -\; 3\backslash ,\; \backslash sigma\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; \backslash mu\; +\; 3\backslash ,\; \backslash sigma)\; \backslash simeq\; 0,9974$ ;

l'intervalle $[\backslash mathrm\{E\}(X)\; -\; 3\backslash ,\; \backslash sigma,\backslash ,\; \backslash mathrm\{E\}(X)\; +\; 3\backslash ,\; \backslash sigma]$ est la plage de normalité au niveau de confiance 99 %

Champ d'application

La loi normale s'utilise notamment comme approximation d'une loi binomiale de paramètres (n ; p) pour n grand et p, 1 - p de même ordre de grandeur ; on approche alors cette loi binomiale par la loi normale ayant même espérance $np$ et même variance $np(1-p)$.

On a dessiné ci-dessous :

• un diagramme en bâtons de la loi binomiale de paramètres (12 ; 1/3) et la loi normale correspondante d'espérance 4 et de variance $8/3$

• un diagramme en bâtons de la loi binomiale de paramètres (60 ; 1/3), et la loi normale correspondante d'espérance 20 et de variance $40/3$

Le mathématicien Carl Friedrich Gauss a introduit cette loi pour le calcul d'erreurs.

En statistiques, de nombreux phénomènes suivent des distributions gaussiennes : données biométriques des individus (Adolphe Quételet).

Critères de normalité

Le recours à une distribution gaussienne est si fréquent qu'il peut finir par être abusif. Il faut alors rechercher des critères de normalité.

Le premier critère, le plus simple, consiste à tracer l'histogramme ou le diagramme en bâtons de la distribution et à vérifier si le diagramme est en forme de « cloche ». Ce critère, subjectif, permet cependant d'éliminer une partie des distributions jugées alors non gaussiennes.

Le critère suivant consiste à utiliser les plages de normalité ou intervalles de confiance. On a vu que si une distribution est gaussienne :

• 68% de la population est dans l'intervalle $[\backslash overline\{x\}\; -\backslash sigma\backslash ,\; ;\backslash ,\; \backslash overline\{x\}+\backslash sigma]$,

• 76% de la population est dans l'intervalle $[\backslash overline\{x\}\; -0,5H\backslash ,\; ;\backslash ,\; \backslash overline\{x\}+0,5H]$,

• 95% de la population est dans l'intervalle $[\backslash overline\{x\}\; -2\backslash ,\; \backslash sigma\backslash ,\; ;\backslash ,\; \backslash overline\{x\}\; +\; 2\backslash ,\; \backslash sigma]$,

• 99% de la population est dans l'intervalle $[\backslash overline\{x\}\; -\; 3\backslash ,\; \backslash sigma\backslash ,\; ;\backslash ,\; \backslash overline\{x\}\; +\; 3\backslash ,\; \backslash sigma]$.

Lorsque ces pourcentages ne sont pas respectés, il est fort à parier que la distribution n'est pas gaussienne.

On peut aussi utiliser la droite de Henry, en particulier quand on possède peu de renseignements sur la distribution. La droite de Henry va permettre de porter un diagnostic sur la nature non gaussienne de la distribution, et, dans le cas où celle-ci a des chances d'être gaussienne, elle permet d'en déterminer la moyenne et l'écart type.

Le dernier critère est l'application d'un test d'adéquation, le Test de Jarque Bera, (test du χ²) qui valide ou non l'hypothèse de normalité.

Néanmoins, l'utilisation d'un test automatique est délicate. En effet, dans le cas de petits effectifs, le test manquera de puissance et ne détectera pas la non normalité, même en cas de non normalité évidente. Réciproquement, dans le cas d'effectifs importants, le test sera surpuissant et détectera la moindre petite variation. Il rejettera donc des variables presque normales.

Stabilité de la loi normale par la somme

La somme de deux variables gaussiennes indépendantes est elle-même une variable gaussienne. Plus explicitement :

Soient $X\_1,\backslash ,\; X\_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois $\backslash mathcal\{N\}(m\_1,\backslash ,\; \backslash sigma\_1^2)$ et $\backslash mathcal\{N\}(m\_2,\backslash ,\; \backslash sigma\_2^2)$.

Alors, la variable aléatoire $\backslash \; X\_1\; +\; X\_2$ suit la loi normale $\backslash mathcal\{N\}(m\_1\; +\; m\_2,\backslash ,\; \backslash sigma\_1^2\; +\; \backslash sigma\_2^2)$.

Cette propriété se démontre directement (par convolution), ou indirectement (au moyen des fonctions caractéristiques).

Exemple

On prend ici le gramme comme unité de masse. Si la masse du contenu d'une boîte de conserve suit la loi normale d'espérance 400 et de variance 25, et si celle du contenant suit la loi normale d'espérance 60 et de variance 4, alors (avec l'hypothèse, naturelle, d'indépendance) la masse totale de la boîte de conserve suit la loi normale d'espérance 460 et de variance 29 ; son écart type est environ $5,\; 4$ grammes.

Stabilité de la loi normale par la moyenne

Stabilité de la loi normale par la combinaison

Mélange de populations

Il ne faut pas confondre la somme de deux variables gaussiennes indépendantes, qui reste une variable gaussienne, et le mélange de deux populations gaussiennes, qui n'est pas une population gaussienne (voir aussi modèle de mixture gaussienne).

Un mélange constitué de

• 2/3 d'individus dont la taille suit une loi normale de moyenne 160 cm et d'écart type 15 cm, de densité f
• 1/3 d'individus dont la taille suit une loi normale de moyenne 130 cm et d'écart type 10 cm, de densité g

suit une loi de moyenne (2/3)×160+(1/3)×130 = 150 cm, mais non gaussienne, de densité

h = (2/3) f + (1/3) g.

Sur la représentation graphique de la densité h, on peut apercevoir une double bosse : la distribution est bimodale.

Simulation

Il est possible de simuler, par exemple par ordinateur, un tirage aléatoire dont la loi est normale.

Les logiciels ou les langages de programmation possèdent en général un générateur de nombres pseudo-aléatoires ayant une distribution uniforme sur ]0,1[. On cherche donc une fonction transformant ces nombres. De manière générale, on peut prendre la fonction réciproque de la fonction de répartition : en l'occurrence, si la variable aléatoire $U$ suit la loi uniforme sur ]0,1[, alors la variable aléatoire $\backslash \; \backslash Phi^\{-1\}(U)$ suit la loi normale centrée réduite ; cependant, cette méthode est tout à fait malcommode, faute d'expressions simples des fonctions $\backslash \; \backslash Phi$ et $\backslash \; \backslash Phi^\{-1\}$. En revanche, on peut facilement utiliser la méthode décrite ci-dessous.

Cas de la loi normale à une dimension

Pour simuler la loi normale à une dimension (celle qui a été étudiée jusqu'ici), on peut utiliser la méthode de Box-Muller dont voici le principe :
Si $U\_1$ et $U\_2$ sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme sur $]0,1[$, alors on démontre assez aisément que les variables aléatoires :

$T\_\{1\}=\backslash sqrt\{-2\backslash ln\; U\_\{1\}\}\backslash ,\; \backslash cos\; (2\backslash pi\; U\_\{2\})$

$T\_\{2\}=\backslash sqrt\{-2\backslash ln\; U\_\{1\}\}\backslash ,\; \backslash sin\; (2\backslash pi\; U\_\{2\})$

suivent toutes deux la loi normale centrée réduite (et sont indépendantes).

Les variables aléatoires $X\_1\; =\; \backslash mu\; +\; \backslash sigma\backslash ,\; T\_1$ et $X\_2\; =\; \backslash mu\; +\; \backslash sigma\backslash ,\; T\_2$ suivent donc toutes deux la loi normale $\backslash ,\; \backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\backslash ,\; \backslash sigma^2)$, et indépendamment l'une de l'autre.

; Voir ausi

• Générateur de nombres aléatoires gaussiens, message de news:fr.sci.maths, 27 janvier 2000 ;
• Generating Gaussian Random Numbers

Cas de la loi multinormale

La loi multinormale ou loi normale sur $\backslash R^n$ étend la loi normale à un vecteur aléatoire $X\; =\; (X\_1,\backslash ,\; X\_2,\backslash dots,\backslash ,\; X\_n)$ à valeurs dans $\backslash R^n$.

Elle est caractérisée par deux paramètres : un vecteur $m$ de moyennes, et une matrice de variance-covariance $V$ (carrée d'ordre n).

Pour simuler une loi multinormale non dégénérée de paramètres $m$ et $V$, on utilise la méthode suivante :

1. Soit $T$ un vecteur aléatoire à $n$ composantes gaussiennes centrées réduites et indépendantes (la loi de $T$, multinormale, a pour moyenne le vecteur nul et pour matrice de variance-covariance la matrice identité).
2. Soit $L$ la matrice résultant de la factorisation de Cholesky de la matrice $V$.
3. Alors, le vecteur aléatoire $X=m+L\; T$ suit la loi multinormale de moyenne $m$ et de variance-covariance $V$

(on convient dans cette dernière relation d'identifier chaque élément de $\backslash R^n$ avec la matrice colonne de ses composantes en base canonique).

Le calcul de l'intégrale de Gauss

On trouvera ce calcul (utilisant une intégrale double) dans l'article sur l'intégrale de Gauss.

Voir aussi

Articles connexes

• Loi normale multidimensionnelle
• Erreur (métrologie)
• Statistiques
• Probabilité
• Loi de probabilité
• Loi de Student