Nombre transcendant

En mathématiques, un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale :

$a\_n~x^n\; +\; a\_\{n-1\}~x^\{n-1\}\; +\; \backslash ldots\; +\; a\_1~x^1\; +\; a\_0\; =\; 0\backslash ,$

où $n\; \backslash ge\; 1\backslash ,$ et les coefficients $a\_i\backslash ,$ sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), dont au moins l'un $a\_n$ est non nul. Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique.

L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de nombres réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques.

Les nombres transcendants ne sont jamais rationnels. Néanmoins, tous les nombres irrationnels ne sont pas transcendants : la racine carrée de 2 est irrationnelle, mais est une solution de l'équation polynomiale $x^2\; -\; 2\; =\; 0\backslash ,$.

L'ensemble de tous les nombres transcendants est indénombrable. La preuvess est simple : puisque les polynômes à coefficients entiers sont dénombrable, et puisque chacun de ces polynômes possède un nombre fini de zéros, l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable. Mais l'argument de la diagonale de Cantor établit que les nombres réels (et par conséquent les nombres complexes aussi) sont indénombrables, donc l'ensemble de tous les nombres transcendants doit être indénombrable. En d'autres termes, il y a beaucoup plus de nombres transcendants que de nombres algébriques. Néanmoins, seules peu de classes de nombres transcendants sont connues et prouver qu'un nombre donné est transcendant peut être extrêmement difficile.

Résultats : Considérons l'ensemble A des nombres algébriques. Alors :

1. A est un sous-corps de $\backslash mathbb\{R\}\backslash ,$. En particulier, A est stable par addition et multiplication.
2. A est dénombrable, ce qui montre que A est différent de l'ensemble $\backslash mathbb\{R\}\backslash ,$ (les nombres transcendants existent bien).

Histoire

Leibniz fut probablement la première personne à croire en l'existence des nombres qui ne satisfont pas les polynômes à coefficients rationnels. Le nom 'transcendants' vient de Leibniz dans sa publication de 1682 où il démontra que sin(x) n'est pas une fonction algébrique de x. L'existence des nombres transcendants fut prouvée pour la première fois en 1844 par Joseph Liouville, qui montra des exemples, incluant la constante de Liouville :

$$

c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0,110001000000000000000001000\ldots

dans lequel le n-ième chiffre après la virgule est 1 si n est une factorielle (i.e., 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...., etc.) et 0 sinon. Liouville montra que ce nombre est ce que nous nommons maintenant un nombre de Liouville; ceci signifie essentiellement qu'il peut être particulièrement bien approximé par les nombres rationnels. Liouville montra que tous les nombres de Liouville sont transcendants.

Johann Heinrich Lambert, dans son article prouvant l'irrationalité de $\backslash pi\backslash ,$ conjectura que $e\backslash ,$ et $\backslash pi\backslash ,$ étaient des nombres transcendants. Le premier nombre à avoir été démontré transcendant sans avoir été construit spécialement pour cela fut e, par Charles Hermite en 1873. En 1874, Georg Cantor trouva l'argument décrit ci-dessus établissant l'ubiquité des nombres transcendants.

En 1882, Ferdinand von Lindemann publia une démonstration de la transcendance de $\backslash pi\backslash ,$. Il montra d'abord que $e$ à n'importe quelle puissance algébrique non nulle est transcendant, et puisque $e^\{i\backslash pi\}\; =\; -1\backslash ,$ est algébrique (voir identité d'Euler), $i\backslash pi\backslash ,$ et par conséquent $\backslash pi\backslash ,$ doit être transcendant. Cette approche fut généralisée par Karl Weierstrass avec le théorème de Lindemann-Weierstrass. La transcendance de $\backslash pi\backslash ,$ a permis la démonstration de l'impossibilité de plusieurs constructions géométriques anciennes avec le compas et la règle, incluant le plus célèbre d'entre eux, la quadrature du cercle.

En 1900, David Hilbert a posé une importante question à propos des nombres transcendants, connue sous le nom de septième problème de Hilbert : « Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre $a^b\backslash ,$ est-il nécessairement transcendant ? » La réponse affirmative fut donnée en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider. On peut obtenir facilement des nombres transcendants grâce à lui. Par exemple $2^\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash ,$ ou $e^\{\backslash pi\}\backslash ,$.

Ce travail fut étendu par Alan Baker dans les années 1960.

Nombres transcendants connus et problèmes ouverts

• Le nombre $\backslash pi\backslash ,$ (voir l'article pi).
• Le nombre e (base des logarithmes néperiens)
• $e^\{\backslash pi\}\backslash ,$ constante de Gelfond
• $2^\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash ,$ (constante de Gelfond-Schneider) ou plus généralement $a^b\backslash ,$ (voir le théorème de Gelfond-Schneider) où $a\; \backslash ne\; 0\backslash ,$ et $a\backslash ne\; 1\backslash ,$ est algébrique et b est algébrique mais non rationnel. Le cas général du septième problème de Hilbert, c’est-à-dire déterminer si $a^b\backslash ,$ est transcendant lorsque $a\; \backslash ne\; 0\backslash ,$ et $a\backslash ne\; 1\backslash ,$ est algébrique et b est irrationnel, reste non-résolu.
• La valeur de la fonction trigonométrique $\backslash sin(1)\backslash ,$
• $\backslash ln(a)\backslash ,$ si a est un rationnel strictement positif et différent de 1.
• $\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)\backslash ,$ et $\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash right)\backslash ,$ (voir fonction Gamma d'Euler).
• Le nombre de Champernowne 0,12345678910111213... obtenu en écrivant à la suite les nombres entiers en base dix (théorème de Mahler, 1961)
• $\backslash sum\_\{k=0\}^\{+\backslash infty\}\; 10^\{-\backslash lfloor\; \backslash beta^\{k\}\; \backslash rfloor\};\backslash qquad\; \backslash beta\; >\; 1\backslash ;\; ,$

où $\backslash \; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$ est la partie entière de $\backslash \; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$. Par exemple, si $\backslash beta\; =\; 2\backslash ,$, ce nombre est 0,11010001000000010000000000000001000...

• $\backslash Omega\backslash ,$, constante de Chaitin, et plus généralement : chaque nombre non-calculable est transcendant (puisque tous les nombres algébriques sont calculables).

• constante de Prouhet-Thue-Morse

Toute fonction algébrique non constante à une variable donne une valeur transcendante lorsqu'on lui applique une valeur transcendante. Donc, par exemple, pour savoir que $\backslash pi\backslash ,$ est transcendant, nous pouvons immédiatement déduire que $5\backslash pi\backslash ,$, $\backslash frac\{\backslash pi-3\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash ,$, $(\backslash sqrt\{\backslash pi\}-\backslash sqrt\{3\})^8\backslash ,$ et $(\backslash pi^\{5\}+7)^\{\backslash frac\{1\}\{7\}\}\backslash ,$ sont aussi transcendants.

Néanmoins, une fonction algébrique à plusieurs variables peut donner un nombre algébrique lorsqu'elle est appliquée aux nombres transcendants si ces nombres ne sont pas algébriquement indépendants. Par exemple, $\backslash pi\backslash ,$ et $1-\backslash pi\backslash ,$ sont tous les deux transcendants, mais $\backslash pi~+~(1-\backslash pi)~=~1\backslash ,$ ne l'est évidemment pas. On ignore si $\backslash pi~+~e\backslash ,$, par exemple est transcendant, mais au moins l'un de $\backslash pi~+~e\backslash ,$ et $\backslash pi\; e\backslash ,$ doit être transcendant. Plus généralement, pour deux nombres transcendants a et b, au moins l'un de a+b et a b doit être transcendant. Pour voir cela, considérons le polynôme $(x~-~a)\; (x~-~b)\; =\; x^2\; -\; (a+b)\; x\; +\; a\; b\backslash ,$. Si (a+b) et a b sont tous les deux algébriques, alors ceci serait un polynôme à coefficients algébriques. Parce que les nombres algébriques forment un corps algébriquement clos, ceci implique que les racines du polynôme, a et b, doivent être algébriques. Mais ceci est une contradiction et ainsi, il doit y avoir le cas où au moins l'un des deux coefficients est transcendant.

Les nombres dont on ignore s'il sont transcendants ou non incluent :

• $(\backslash pi~+~e)\backslash ,$, $(\backslash pi~-~e)\backslash ,$, $(\backslash pi\; e)\backslash ,$, $(\backslash frac\{e\}\{\backslash pi\})\backslash ,$, $(\backslash frac\{\backslash pi\}\{e\})\backslash ,$, $(\backslash pi^\{\backslash pi\})\backslash ,$, $(e^e)\backslash ,$, $(\backslash pi^e)\backslash ,$

• La constante d'Euler-Mascheroni $\backslash gamma\backslash ,$ (dont on ignore même si elle est irrationnelle)

• La constante de Catalan, dont on ignore aussi si elle est irrationnelle

• $\backslash zeta(3)\backslash ,$, la constante d'Apéry

Tous les nombres de Liouville sont transcendants, néanmoins les nombres transcendants ne sont pas tous des nombres de Liouville. Tout nombre de Liouville doit avoir des termes non bornés dans leurs développement en fraction continuée, et donc, en utilisant un argument de dénombrement, on peut montrer qu'il existe des nombres transcendants qui ne sont pas des nombres de Liouville. En utilisant le développement explicite en fraction continuée de e, on peut montrer que e n'est pas un nombre de Liouville. Kurt Mahler montra en 1953 que $\backslash pi\backslash ,$ n'est pas non plus un nombre de Liouville. Il a été conjecturé que toutes les fractions continuées à termes bornés qui ne sont pas éventuellement périodiques sont transcendants (les fractions continuées éventuellement périodiques correspondent aux irrationnels quadratiques).

Esquisse de démonstration de la transcendance de $e$

La première démonstration que $e$ est transcendant date de 1873. Nous suivrons maintenant la stratégie de David Hilbert (1862 - 1943) qui donna une simplification de la démonstration originale de Charles Hermite. L'idée est la suivante :

Supposons, dans le but de trouver une contradiction, que $e$ est algébrique. Alors, il existe un ensemble fini de coefficients entiers $c\_\{0\},c\_\{1\},\backslash ldots,c\_\{n\}\backslash ,$ satisfaisant l'équation :

$c\_\{0\}+c\_\{1\}e+c\_\{2\}e^\{2\}+\backslash cdots+c\_\{n\}e^\{n\}=0\backslash ,$

et $c\_0$ et $c\_n$ sont tous deux différents de zéro.

Dépendant de la valeur de n, nous précisons un entier positif suffisamment grand k (pour nos besoin ultérieurs) et multiplions les deux cotés de l'équation ci-dessus par $\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{0\}\backslash ,$, où la notation $\backslash int^\{b\}\_\{a\}\backslash ,$ sera utilisé dans cette démonstration comme abréviation de l'intégrale :

$\backslash int^\{b\}\_\{a\}:=\backslash int^\{b\}\_\{a\}x^\{k\}[(x-1)(x-2)\backslash cdots(x-n)]^\{k+1\}e^\{-x\}\backslash ,dx\backslash ,$.

Nous arrivons à l'équation :

$c\_\{0\}\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{0\}+c\_\{1\}e\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{0\}+\backslash cdots+c\_\{n\}e^\{n\}\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{0\}\; =\; 0\backslash ,$

qui peut maintenant être écrite sous la forme

$P\_\{1\}+P\_\{2\}=0\backslash ,$

où

$P\_\{1\}=c\_\{0\}\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{0\}+c\_\{1\}e\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{1\}+c\_\{2\}e^\{2\}\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{2\}+\backslash cdots+c\_\{n\}e^\{n\}\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{n\}\backslash ,$

$P\_\{2\}=c\_\{1\}e\backslash int^\{1\}\_\{0\}+c\_\{2\}e^\{2\}\backslash int^\{2\}\_\{0\}+\backslash cdots+c\_\{n\}e^\{n\}\backslash int^\{n\}\_\{0\}\backslash ,$

Le plan d'attaque maintenant est de montrer que pour un k suffisamment grand, les relations ci-dessus sont impossible à satisfaire parce que

$\backslash frac\{P\_\{1\}\}\{k!\}\backslash ,$ est un entier différent de zéro et $\backslash frac\{P\_\{2\}\}\{k!\}\backslash ,$ ne l'est pas.

Le fait que $\backslash frac\{P\_\{1\}\}\{k!\}\backslash ,$ est un entier différent de zéro résulte de la relation

$\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{0\}x^\{j\}e^\{-x\}\backslash ,dx=j!\backslash ,$

qui est valide pour tout entier positif j et peut être prouvé par récurrence au moyen d'une intégration par parties.

Pour montrer que

pour un k suffisamment grand

nous noterons d'abord que $x^\{k\}[(x-1)(x-2)\backslash cdots(x-n)]^\{k+1\}e^\{-x\}\backslash ,$ est le produit des fonctions $[x(x-1)(x-2)\backslash cdots(x-n)]^\{k\}\backslash ,$ et $(x-1)(x-2)\backslash cdots(x-n)e^\{-x\}\backslash ,$. En utilisant la borne supérieure pour $|x(x-1)(x-2)\backslash cdots(x-n)|\backslash ,$ et $|(x-1)(x-2)\backslash cdots(x-n)e^\{-x\}|\backslash ,$ sur l'intervalle [0,n] et en employant le fait que

$\backslash lim\_\{k\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{G^k\}\{k!\}=0\backslash ,$ pour chaque nombre réel G

est alors suffisant pour achever la démonstration.

Une stratégie similaire, différente de l'approche originale de Lindemann, peut être utilisée pour montrer que le nombre $\backslash pi\backslash ,$ est transcendant. En outre, la fonction gamma, certaines estimations pour $e$ et des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle vital dans la démonstration.

Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de transcendances de $\backslash pi\backslash ,$ et $e\backslash ,$, voir les références et les liens externes.

Voir aussi

• théorie de la transcendance, l'étude des questions relatives aux nombres transcendants

Références

• David Hilbert, « Über die Transcendenz der Zahlen $e$ und $\backslash pi$ », Mathematische Annalen 43:216–219 (1893).
• Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975 .

Liens externes

• Démonstration que $e$ est transcendant
• Démonstration que $e$ est transcendant
• Démonstration que $\backslash pi$ est transcendant