Norme (mathématiques)

En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolues des nombres aux vecteur. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe.
La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne.

D'autres normes sont très utilisées sur les espaces vectoriels de dimension finie ou infinie, appelés alors espaces vectoriels normés. Elles sont notamment très importantes en analyse fonctionnelle pour obtenir des majorations, exprimer la différenciation sur les espaces de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes, calculer estimations et approximations.

Géométrie euclidienne usuelle

Définition

Si A et B sont deux points du plan ou de l'espace usuel, la norme du vecteur $\backslash overrightarrow\{AB\}$ est la distance $AB$ c'est-à-dire la longueur du segment $[AB]$. Elle se note à l'aide d'une double barre : $\backslash |\backslash overrightarrow\{AB\}\backslash |$.

La norme, la direction et le sens sont les trois données qui caractérisent un vecteur et qui ne dépendent donc pas du choix du représentant.

Calcul

La norme d'un vecteur peut se calculer à l'aide de ses coordonnées dans un repère orthonormé à l'aide du théorème de Pythagore.

• Dans le plan, si le vecteur $\backslash vec\; u$ a pour coordonnées $\backslash \; (x\; ;\; y)$ sa norme s'écrit $\backslash |\backslash vec\; u\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}$.

Si les points A et B ont pour coordonnées respectives $\backslash \; (x\_A,\; y\_A)$ et $\backslash \; (x\_B,\; y\_B)$ alors $\backslash |\backslash overrightarrow\{AB\}\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{(x\_B-x\_A)^2\; +\; (y\_B-y\_A)^2\}$.

• Dans l'espace, si le vecteur $\backslash vec\; u$ a pour coordonnées $\backslash \; (x\; ;\; y\; ;\; z)$ sa norme s'écrit $\backslash |\backslash vec\; u\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\}$.

Si les points A et B ont pour coordonnées respectives $\backslash \; (x\_A\; ;\; y\_A\; ;\; z\_A)$ et $\backslash \; (x\_B\; ;\; y\_B\; ;\; z\_B)$ alors $\backslash |\backslash overrightarrow\{AB\}\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{(x\_B-x\_A)^2\; +\; (y\_B-y\_A)^2\; +\; (z\_B-z\_A)^2\}$.

La norme d'un vecteur peut s'obtenir à partir du produit scalaire :

$\backslash |\backslash vec\; u\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash vec\; u\; \backslash cdot\; \backslash vec\; u\}$.

Réciproquement, le produit scalaire peut s'obtenir à partir de la norme grâce à la relation :

$\backslash vec\; u\; \backslash cdot\; \backslash vec\; v\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash |\backslash vec\; u\; +\; \backslash vec\; v\backslash |^2\; -\; \backslash |\backslash vec\; u\backslash |^2\; -\; \backslash |\backslash vec\; v\backslash |^2\backslash right)$.

Propriétés

• La norme ne s'annule que pour le vecteur nul $\backslash vec\; 0$.
• La norme du produit par un nombre est le produit de la norme par la valeur absolue de ce nombre :

$\backslash |k.\backslash vec\; u\backslash |\; =\; |k|\backslash times\; \backslash |\backslash vec\; u\backslash |$.

En particulier, tout vecteur a la même norme que son opposé : $\backslash |-\backslash vec\; u\backslash |\; =\; \backslash |\backslash vec\; u\backslash |$.

Sur un espace vectoriel quelconque

Définition formelle

Soit K un corps muni d'une valeur absolue et E un K-espace vectoriel.

Une norme sur E est une application $\backslash mathcal\; N$ sur E à valeurs réelles positives et satisfaisant les hypothèses suivantes :

• séparation : $\backslash forall\; x\; \backslash in\; E,\backslash \; \backslash mathcal\; N(x)=0\; \backslash Rightarrow\; x=0\_E$ ;
• homogénéité : $\backslash forall\; (\backslash lambda,\; x)\backslash in\; \backslash mathbb\; K\; \backslash times\; E,\backslash \; \backslash mathcal\; N\; (\backslash lambda\; \backslash cdot\; x)\; =\; |\backslash lambda|\; \backslash mathcal\; N\; (x)$ ;
• sous-additivité : $\backslash forall\; (x,y)\; \backslash in\; E^2,\backslash \; \backslash mathcal\; N\; (x\; +\; y)\; \backslash leq\; \backslash mathcal\; N\; (x)\; +\; \backslash mathcal\; N\; (y)$.

; Remarques :

• Les corps des réels et des complexes ne sont pas les seuls à admettre une valeur absolue. Tout corps fini supporte la valeur absolue constante égale à 1 en dehors de 0.
  Dans le cas des corps valués, la norme est même ultramétrique en vérifiant une certaine condition plus forte que la sous-additivité.
• Une fonction de E dans $\backslash R^+$ qui ne satisfait que les hypothèses d'homogénéité et de sous-additivité est appelée semi-norme.

Un espace vectoriel muni d'une norme est alors appelé espace vectoriel normé (parfois abrégé en EVN).

L'image d'un vecteur $x$ par la norme se note usuellement $\backslash |x\backslash |$ et se lit « norme de x ».

Premières propriétés

• La norme est sous-linéaire, c'est-à-dire qu'elle vérifie la propriété suivante :

$\backslash forall\; (\backslash lambda,x,y)\; \backslash in\; \backslash mathbb\; K\; \backslash times\; E^2\backslash \; ,\backslash \; \backslash |(\backslash lambda\; \backslash cdot\; x\; +\; y)\backslash |\; \backslash leq\; |\backslash lambda|\backslash cdot\backslash |x\backslash |\; +\; \backslash |y\backslash |$.

• Plus généralement, on obtient par récurrence immédiate l'inégalité dans $\backslash R$ :

$\backslash |\backslash lambda\_1\backslash cdot\; x\_1\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash lambda\_n\backslash cdot\; x\_n\backslash |\; \backslash leq\; |\; \backslash lambda\_1|\backslash times\; \backslash |x\_1\backslash |+\; \backslash dots\; +\; |\backslash lambda\_n|\backslash times\; \backslash |x\_n\backslash |\; \backslash \; \backslash$.

• La séparation et l'homogénéité garantissent les propriétés de séparation et de symétrie de la fonction $d\; \backslash colon\; (x,y)\; \backslash mapsto\; \backslash |y-x\backslash |$. La sous-additivité justifie alors l'inégalité triangulaire,

$\backslash |z\; -\; x\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |z\; -\; y\backslash |\; +\; \backslash |y\; -\; x\backslash |$

nécessaire pour montrer que d est une distance sur E, qui plus est invariante par translation.

Un espace vectoriel normé est donc un espace métrique homogène et la topologie associée est compatible avec les opérations vectorielles.

• La sous-additivité permet d'obtenir la propriété suivante :

$\backslash forall\; (x,y)\; \backslash in\; E^2\backslash \; ,\backslash \; \backslash big|\; \backslash |x\backslash |-\; \backslash |y\backslash |\backslash big|\; \backslash leq\; \backslash |x-y\backslash |$

qui montre que la norme est une application 1-lipschitzienne donc continue.

• La norme est aussi une fonction convexe, ce qui peut être utile pour résoudre des problèmes d'optimisation.

Topologie

La boule unité (ouverte) $\backslash mathcal\{B\}$ d'une norme est l'ensemble des vecteurs de norme inférieure (strictement) à 1.

Deux normes $\backslash mathcal\; N\_1$ et $\backslash mathcal\; N\_2$ sur un espace vectoriel E sont dites équivalentes s'il existe deux réels strictement positifs $\backslash alpha$ et $\backslash beta$ tels que :

$\backslash forall\; x\; \backslash in\; E,\backslash \; \backslash alpha\; N\_1(x)\; \backslash leq\; N\_2(x)\; \backslash leq\; \backslash beta\; N\_1(x)$.

Cela correspond au fait que dans les boules ouvertes des deux normes puissent s'inclure l'une dans l'autre à dilatation près.

Deux normes équivalentes définissent la même topologie sur l'espace vectoriel. Les structures sont même uniformément isomorphes.

Sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

La boule unité ouverte est un ouvert convexe borné et équilibré de E.

Constructions génériques

• Tout produit scalaire sur un espace vectoriel réel E définit la norme euclidienne associée par :

$\backslash forall\; x\backslash in\; E,\backslash \; \backslash |x\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash langle\; x,x\backslash rangle\}$.

Une norme $\backslash mathcal\; N$ est euclidienne (c'est-à-dire provient d'un produit scalaire) si et seulement si l'application $(x,y)\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash mathcal\; N(x+y)^2-\backslash mathcal\; N(x)^2\; -\; \backslash mathcal\; N(y)^2)$ est bilinéaire

et dans ce cas cette application est le produit scalaire associé.

• Si f est une application linéaire injective de E dans F alors toute norme sur F induit une norme sur E par l'équation

$\backslash mathcal\; \backslash |x\backslash |\_E\; =\; \backslash |f(x)\backslash |\_F$.

• Si C est un ouvert convexe borné et équilibré d'un espace vectoriel réel ou complexe E, alors la jauge de C est une norme définie par

$\backslash forall\; x\backslash in\; E\backslash \; ,\backslash \; J(x)\; =\; \backslash inf\backslash left\backslash \{\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash R^+\; \backslash colon\; \backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\}x\backslash in\; C\backslash right\backslash \}$

et dont C est la boule unité ouverte.

• Si E et F sont deux espaces vectoriels normés réels ou complexes, l'espace $\backslash \; L\_c(E,F)$ des applications linéaires continues est muni de la norme d'opérateur s'écrivant :

$\backslash forall\; T\; \backslash in\; L\_c(E,\; F),\backslash \; \backslash |T\backslash |\; =\; \backslash sup\_\{x\backslash in\; E-\backslash \{0\backslash \}\}\backslash frac\{\backslash |T(x)\backslash |\_F\}\{\backslash |x\backslash |\_E\}$.

Exemples

En dimension finie

Sur Kⁿ,

• la norme euclidienne est obtenue à partir du produit scalaire ou du produit hermitien canoniques :

$\backslash |(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)\backslash |\; =\; \backslash sqrt$ > :et elle correspond à la norme habituellement utilisée pour la distance entre deux points dans le plan ou l'espace usuels ;

• la norme 1 est donnée par la somme des modules (ou valeurs absolues) des coefficients :

$\backslash |(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)\backslash |\_1\; =\; |x\_1|\; +\; \backslash dots\; +\; |x\_n|$

et induit la distance de déplacement à angle droit sur un damier (ou dans les rues de ManhattanLa norme 1 est aussi appelée Manhattan norm en anglais.) ;

• plus généralement, pour tout p supérieur ou égal à 1, la norme p est donnée par la formule suivante :

$\backslash |(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)\backslash |\_p\; =\; \backslash left(|x\_1|^p\; +\; \backslash dots\; +\; |x\_n|^p\backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{p\}\}$,

elle identifie donc la norme euclidienne avec la norme 2, mais n'a surtout d'intérêt que dans sa généralisation aux espaces de fonctions ;

• la norme infini d'un vecteur est la limite de ses normes p lorsque p tend vers l'infini :

$\backslash |(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)\backslash |\_\{\backslash infty\}\; =\; \backslash lim\_\{p\; \backslash rightarrow\; +\backslash infty\}\backslash |(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)\backslash |\_p\; =\; \backslash max\backslash left(|x\_1|,\; \backslash dots,\; |x\_n|\backslash right)$,

elle induit la distance de déplacement par les faces et par les coins dans un réseau, comme celui du roi sur l'échiquier.

L'inégalité triangulaire pour les normes p s'appelle l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder.

D'autres exemples apparaissent classiquement :

• La norme sur l'espace des quaternions est la norme euclidienne appliquée à la base $(1,\; i,\; j,\; k)$.
• L'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n peut être muni de normes issues d'espaces de fonctions (voir ci-dessous).

En dimension infinie

• Sur l'espace $\backslash mathcal\; C^0([a,b])$ des fonctions continues définies sur un segment $[a,b]$ de $\backslash R$ et à valeurs réelles ou complexes, on retrouve des normes p définies de manières analogues à celles sur les espaces vectoriels de dimension finie pour p supérieur ou égal à 1 :

$\{\backslash |f\backslash$_p = \left( \int_a^b |f(t)|^p \mathrm dt\right)^{1/p}

qui permettent notamment de définir les espaces L^p;.

En particulier, la norme euclidienne associée au produit scalaire ou hermitien canonique est définie par

$\backslash |f\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash int\_a^b\; |f(t)|^2\backslash mathrm\; dt\}$.

La norme infini ou norme sup ou encore norme de la convergence uniforme s'écrit quant à elle

$\{\backslash |f\backslash |\}\_\{\backslash infty\}\; =\; \backslash sup\_\{t\backslash in\; [a,\; b]\}\; |f(t)|$

et s'obtient là aussi comme limite des normes p lorsque p tend vers l'infini.

Toutes ces normes ne sont pas équivalentes deux à deux.

Par ailleurs elles s'étendent aisément aux espaces de fonctions continues sur un compact de $\backslash R^n$, voire aux fonctions continues à support compact.

• Sur l'espace $\backslash mathcal\; C^1([a,b])$ des fonctions dérivables à dérivée continue, on peut utiliser l'une des normes ci-dessus ou prendre en compte aussi la dérivée à l'aide d'une norme comme suit :

$\backslash |f\backslash |\; =\; \backslash int\_a^b\; (|f(t)|\; +\; |f\text{'}(t)|\backslash mathrm\; dt)$

afin de considérer l'application dérivée de $\backslash mathcal\; C^1([a,b])$ dans $\backslash mathcal\; C^0([a,b])$ comme continue.

• Sur l'espace $\backslash ell^\{\backslash infty\}$ des suites bornées, la norme naturelle est la norme sup :

$\{\backslash |(u\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}\backslash |\}\_\{\backslash infty\}\; =\; \backslash sup\_\{n\; \backslash in\; \backslash N\}|u\_n|$

Norme d'algèbre

Définition

Une norme $\backslash mathcal\; N$ sur une algèbre A est dite norme d'algèbre s'il existe une constante réelle C telle que

$\backslash forall\; (x,y)\; \backslash in\; A^2,\; \backslash mathcal\; N(x\; \backslash times\; y)\; \backslash leq\; \backslash mathcal\; C\; N(x)\backslash times\; \backslash mathcal\; N(y)$.

Quitte à multiplier la norme par C, cette constante peut être ramenée à 1. La condition est alors celle de sous-multiplicativité.

Dans le cas d'une algèbre réelle ou complexe, la condition est équivalente à la continuité du produit comme application bilinéaire.

Si l'algèbre est unitaire, on peut exiger de la norme qu'elle vérifie aussi :

$\backslash mathcal\; N(1\_A)=1$,

auquel cas la multiplication par une constante ne peut plus être utilisée pour « renormaliser » la norme.

Exemples

• L'application module est une norme d'algèbre sur $\backslash mathbb\{C\}$ considéré comme $\backslash R$-algèbre.
• La norme d'opérateur sur $\backslash \; L\_c(E)$ est une norme d'algèbre.
• La norme infini sur $\backslash mathbb\{C\}^n$ induit la norme d'opérateur sur $\backslash \; \backslash mathbb\; \backslash mathcal\; M\_n(\backslash mathbb\; C)$ qui s'écrit

$\backslash forall\; (a\_\{i,j\})\; \backslash in\; \backslash mathcal\; \{M\}\_n\; (\backslash mathbb\; C),\backslash \; \backslash |(a\_\{ij\})\backslash |\; =\; \backslash max\_i\backslash sum\_j|a\_\{ij\}|$.

Notes

Voir aussi

• Vecteur
• Espace vectoriel normé
• Distance (mathématiques)
• Norme équivalente
• Produit scalaire
• Norme d'opérateur
• Norme ultramétrique
• Semi-norme