Opérateur (mathématiques)

Définition d'un opérateur

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :

$O \ : \quad E \ \to \ F$

Un opérateur $O : E \to F$ est linéaire si et seulement si il transforme toute combinaison linéaire de E en une combinaison linéaire de F, i.e. :

$\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2, \ \forall (x_1, x_2) \in E, \quad O( \lambda x_1 + \mu x_2) \ = \ \lambda O(x_1) + \mu O(x_2)$

Lorsque $F = \mathbb{R}$ , un opérateur n'est rien d'autre qu'une forme linéaire sur E.

On appelle domaine (de définition) $D_O$ de l'opérateur O le sous-ensemble $D_O \subset E$ de E pour lequel cet opérateur est bien défini.

Soit $x_0 \in D_O$ . L'opérateur O est dit continu en $x_0$ si et seulement si pour tout voisinage V de $y_0 = O(x_0)$ , il existe un voisinage $U \subset D_O$ de $x_0$ tel que :

\forall x \, \in \, U \cap D_O \ , \quad O(x) \, \in \, V

L'opérateur O est dit continu si et seulement si il est continu pour tous les points $x_0 \in D_O$ de son domaine.

A.N. Kolmogorov & S.V. Fomin ; Introductory Real Analysis, Dover Publications, Inc. (1975), ISBN 0-486-61226-0.
T. Kato ; Perturbation Theory for Linear Operator, Serie : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (2 édition-1995), ISBN 3-540-58661-X.
B. Yosida ; Functionnal Analysis, Serie : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (6 édition-1995), ISBN 3-540-58654-7.